人教版八年级下册数学《第17章勾股定理》单元测试卷

2020-2021 学年人教新版八年级下册数学《第 17 章 勾股定理》 单元测试卷 一．选择题 1．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角 形的较长直角边为 a，较短直角边为 b，则 a4+b4 的值为（ ） A．35 B．43 C．89 D．97 2．若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：25 3．在一根长为 30 个单位的绳子上，分别标出 A，B，C，D 四个点，它们将绳子分成长为 5 个单位，12 个单位和 13 个单位的三条线段．自己握绳子的两个端点（A 点和 D 点交于 一处），两个同伴分别握住 B 点和 C 点，将绳子拉成一个几何图形，会得到（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能组成三角形 4．下列长度的 3 条线段能构成直角三角形的是（ ） ①8，15，17；②4，5，6；③7.5，4，8.5；④24，25，7；⑤5，8，17． A．①②④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④ 5．如图，一个长方体木箱的长、宽、高分别为 12m，4m，3m，则能放进此木箱中的木棒最 长为（ ） A．19 B．24 C．13 D．15 6．一艘轮船以 16 海里/时的速度离开 O 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以 12 海里/时 的速度离开 O 港向西南方向航行，经过 1.5 小时后它们相距（ ） A．25 海里 B．30 海里 C．40 海里 D．32 海里 7．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 二．填空题 8．已知△ABC 中，AB＝17cm，BC＝30cm，BC 上的中线 AD＝8cm，则△ABC 为 三 角形． 9．如图，半圆内数字分别为所在半圆的面积，则图中字母 A 所代表的半圆面积是 ． 10．一块等腰三角形钢板，腰长 10m，底边长 12m，则此钢板的面积是 m2． 11．写四组勾股数组． ， ， ， ． 12．请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长： ， ， ． 13．如果三角形的三边 a、b、c 满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形是 ，其中满足 a2+b2 ＝c2 的三个正整数，称为 ． 14．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为 a、b，高为 a+b）， 利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格： S 梯形＝ （上底+下底）•高＝ （a+b）•（a+b），即 S 梯形＝ （ ）① S 梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表示相应图形的面积） ＝ + + ，即 S 梯形＝ （ ）② 由①、②，得 a2+b2＝c2． 15．一根旗杆在离地面 12 米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 5 米处．旗杆折断之前有 米． 三．解答题 16．如图，四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．试判断△ ACD 的形状，并说明理由． 17．如图，两个直角三角形的直角边 a，b 在同一直线上，斜边为 c，请利用三角形和梯形 面积公式验证勾股定理． 18．如图，一轮船以 16n mi1e/h 的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12n mi1e/h 的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口 A2h 后，两船相距多远？ 19．如图是一个塑料大棚，它的宽 a＝4.8m，高 b＝3.6m，棚总长 d＝10m． （1）求大棚的占地面积． （2）覆盖在顶上的塑料布需要多少平方米？ 20．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是 1，则每个小格的顶点叫做格点． （1）如图①，以格点为顶点的△ABC 中，请判断 AB，BC，AC 三边的长度是有理数还 是无理数？ （2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为 3， ，2 ． 21．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 m 表示大于 1 的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1， 那么 a、b、c 为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出 一些勾股数． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．解：依题意有： a2+b2＝大正方形的面积＝13， 2ab＝四个直角三角形的面积和＝13﹣1＝12， ab＝6， 则 a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝（a2+b2）2﹣2（ab）2 ＝132﹣2×62 ＝169﹣72 ＝97． 故选：D． 2．解：A、因为 22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误； B、因为 32+42≠62，所以不能组成直角三角形，故选项错误； C、因为 42+62≠72，所以不能组成直角三角形，故选项错误； D、因为 72+242＝252，所以能组成直角三角形，故选项正确； 故选：D． 3．解：∵52+122＝132， ∴自己握绳子的两个端点（A 点和 D 点交于一处），两个同伴分别握住 B 点和 C 点，将 绳子拉成一个几何图形，会得到直角三角形． 故选：A． 4．解：①152+82＝172，故能构成直角三角形； ②42+52≠62，故不能构成直角三角形； ③7.52+42＝8.52，故能构成直角三角形； ④242+72＝252，故能构成直角三角形； ⑤52+82≠172，故不能构成直角三角形； 故选：D． 5．解：∵侧面对角线 BC2＝32+42＝52， ∴CB＝5m， ∵AC＝12m， ∴AB＝ ＝13（m）， ∴空木箱能放的最大长度为 13m， 故选：C． 6．解： OA 为第 2 艘轮船的行驶路线，OB 为第一艘轮船的行驶路线， 则 OA＝12×1.5＝18 海里， OB＝16×1.5＝24 海里， 且∠AOB 为 90°， ∴AB＝ ＝30 海里． 故选：B． 7．解：设这三边长分别为 x，x+1，x+2， 根据勾股定理得：（x+2）2＝（x+1）2+x2 解得：x＝﹣1（不合题意舍去），或 x＝3， ∴x+1＝4，x+2＝5， 则三边长是 3，4，5， ∴三角形的面积＝ ××4＝6； 故选：A． 二．填空题 8．解：如右图所示，AD 是中线， ∵AD 是中线， ∴BD＝15， 在△ABD 中，AD2+BD2＝289＝AB2， ∴△ABD 是直角三角形， ∴AD⊥BC， ∴AD 是△ABC 的中垂线， ∴AB＝AC， ∴△ABC 是等腰三角形， ∵AB2+AC2≠BC2， ∴△ABC 不是直角三角形． 故答案为：等腰． 9．解：∵以 EG 为直径的半圆的面积等于 400，即 π（ ）2＝400， ∴EG2＝ ， ∵以 FG 为直径的半圆的面积为 300， ∴ π（ ）2＝300， ∴FG2＝ ， 又∵△EFG 为直角三角形，根据勾股定理得： EG2＝EF2+FG2， ∴EF2＝EG2﹣FG2＝ ， 则半圆的面积为：A＝ π（ ）2＝ π× •EF2＝100． 故答案为 100． 10．解：作等腰三角形底边的高，在直角三角形中，斜边长＝10m， 一直角边长＝12× ＝6m，则高长＝ ＝8， 故钢板面积＝ ×12×8＝48m2． 11．解：四组勾股数组可以是：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41． 故答案为：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41（答案不唯一）． 12．解：三组以整数为边长的直角三角形的三边长可以是：3，4，5；6，8，10；5，12，13． 故答案为：3，4，5；6，8，10；5，12，13． 13．解：∵a2+b2＝c2，由勾股定理逆定理可得其为直角三角形，三个正整数即为勾股数． 14．解：因为 ， 又因为 S 梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ＝ ab+ c2+ ab＝ ， 所以 ＝ ， 得 c2＝a2+b2． 故答案为：a2+2ab+b2， ab， c2， ab，2ab+c2． 15．解：∵52+122＝169， ∴ ＝13（m）， ∴13+12＝25（米）． ∴旗杆折断之前有 25 米． 故答案为：25． 三．解答题 16．解：△ACD 是直角三角形．理由是： ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝9+16＝25，∴AC＝5， 又∵AC2+CD2＝25+144＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD 是直角三角形． 17．解：由图可得， ×（a+b）（a+b）＝ ab+ c2+ ab， 整理得， ＝ ， ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 18．解：∵一轮船以 16n mi1e/h 的速度从港口 A 出发向东北方向航行， 另一轮船以 12n mi1e/h 的速度同时从港口出发向东南方向航行， ∴∠BAC＝90°，离开港口 A2h 后，AB＝32n mi1e，AC＝24n mi1e， ∴BC＝ ＝40（n mi1e）． 答：离开港口 A2h 后，两船相距 40n mi1e． 19．解：（1）大棚的占地面积为：ad＝4.8×10＝48（m2）； （2）根据勾股定理，得直角三角形的斜边为 ＝6（m）， 由矩形的面积公式，得覆盖在顶上的塑料布为：6×10＝60（m2）． 20．解：（1）如图①所示：AB＝4，AC＝ ＝3 ，BC＝ ＝ ， 所以 AB 的长度是有理数，AC 和 BC 的长度是无理数； （2）如图②所示： 21．解：正确．理由： ∵m 表示大于 1 的整数， ∴a，b，c 都是正整数，且 c 是最大边， ∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2， ∴a2+b2＝c2， 即 a、b、c 为勾股数． 当 m＝2 时，可得一组勾股数 3，4，5．