人教版（2019）高一物理必修第一册第二章匀变速直线运动的研究学案

必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 1 - 第一节 实验：探究小车速度随时间变化的规律 （一）用打点计时器测速度 一、实验原理和方法 1．打点计时器的原理及使用． 电火花计时器 电磁打点计时器 结构 图示 工作电压 220 V 交流电源 6 V 以下交流电源 打点方式 周期性产生电火花 振针周期性上下振动 打点周期 0.02 s 0.02 s 记录信息 位置、时刻或位移、时间 2. 根据纸带计算平均速度：根据 v＝Δx Δt 可求出任意两点间的平均速度，Δx 是纸带上两点间的 距离，利用刻度尺测量，Δt 是这两点间的时间间隔． 3．粗略计算瞬时速度：纸带上某点的瞬时速度可以粗略地由包含该点在内的相距较近的两点 间的平均速度来表示． 二、实验器材 电磁打点计时器(或电火花计时器)、学生电源(电火花计时器使用 220 V 交流电源)、刻度尺、 纸带、复写纸、导线、坐标纸． 三、实验步骤 1．了解打点计时器的结构，然后把它固定在桌子上． 2．把电磁打点计时器的两个接线柱用导线与 6 V 的低压交流电源的接线柱相连接，让纸带穿 过两个限位孔，压在复写纸的下面． 3．接通电源，用手水平地拉动纸带，纸带上就打出一行小点，随后立即关闭电源． 4．取下纸带，从能看得清的某个点数起，数一数纸带上共有多少个点．如果共有 n 个点，则 用Δt＝0.02×(n－1)s 计算出纸带的运动时间Δt. 5．用刻度尺测量一下打下这些点纸带通过的距离Δx，利用公式 v ＝Δx Δt 计算纸带在这段时间 内的平均速度．把测量和计算的结果填入表中． 实验次数 点数 n 点划分出的间 隔数 n－1 运动时间Δt/s 位移Δx/m 平均速度 v /m·s－1 1 2 四、数据处理 1．用打点计时器测量瞬时速度 (1)选取一条点迹清晰便于分析的纸带． (2)从能够看清的某个点开始，每隔四个点取一个计数点，每两个计数点间的时间间隔 T＝0.1 s．在纸 带上用 O、A、B、C、D、…标出这些“计数点”，如图所示． 依次测出 OA、AB、BC、CD、…之间的距离 x1、x2、x3、x4、…. (3)A、B、C、D…各点的瞬时速度分别为：vA＝x1＋x2 2T 、vB＝x2＋x3 2T 、vC＝x3＋x4 2T 、vD＝x4＋x5 2T 、…. 2．用图象表示速度 用横轴表示时间 t，纵轴表示速度 v，建立直角坐标系．根据测量的数据在坐标系中描点，然 后用平滑的曲线把这些点连接起来，即得到如图所示的 vt 图象. 五、误差分析 1．利用平均速度来代替计数点的瞬时速度会带来系统误差．为减小误差，应取以计数点为中 心的较小位移Δx 来求平均速度． 2．分段测量计数点间的位移 x 会带来误差．减小此误差的方法是一次测量完成，即一次测出 各计数点到起始计数点 O 的距离，再分别计算出各计数点间的距离． 3．作图时，描点、连线存在偶然误差．为减小误差，应选取合适的坐标单位，利用坐标纸作图． 六、注意事项 1．如果在纸带上数出了 n 个点，那么，它们的间隔数是(n－1)个，它们的时间间隔为(n－ 1)×0.02_s. 2．使用打点计时器打点时，应先接通电源，待打点计时器打点稳定后，再拉动纸带． 3．手拉动纸带时速度应快一些，以防点迹太密集． 4．使用电火花计时器时，应注意把纸带正确穿好，墨粉纸盘位于纸带上方，使用电磁打点计 时器时，应让纸带穿过限位孔，压在复写纸下面． 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 2 - 5．为了减小实验误差，计数点要每隔 T＝0.1 s 选一个，即每隔四个点取一个计数点，而计算 计数点的瞬时速度时，Δx、Δt 应取此计数点前、后两个点之间的位移和时间，即 v＝xn＋xn＋1 2T . 6．打点计时器不能连续工作太长时间，打点之后应立即关闭电源． 7．对纸带进行测量时，不要分段测量各段的位移，正确的做法是一次测量完毕(可先统一测量 出各个测量点到起始点 O 之间的距离)．读数时应估读到毫米的下一位． 8．实验前要检查打点的稳定性和清晰程度，必要时要进行调节或更换器材． 【例 1】用打点计时器可测纸带运动的时间和位移．下面是没有按操作顺序写的不完整的实验 步骤，按照你对实验的理解，在各步骤空白处填上适当的内容，然后按实际操作的合理顺序，将 各步骤的字母代号按顺序写在空白处． A．在电磁打点计时器的两接线柱上分别接上导线，导线的另一端分别接在低压________(选 填“交流”或“直流”)电源的两个接线柱上． B．把电磁打点计时器固定在桌子上，让纸带穿过________，并压在________下面． C．用刻度尺测量从计时开始点到最后一个点间的距离Δx. D．切断电源，取下纸带，如果共有 n 个清晰的点，则这段纸带记录的时间Δt＝________. E．打开电源开关，再用手水平地拉动纸带，纸带上打下一系列小点． F．利用公式 v＝Δx Δt 计算纸带运动的平均速度．实验步骤的合理顺序是________________． 【例 2】某同学在“用打点计时器测速度”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带 的运动情况，在纸带上确定出 A、B、C、D、E、F、G 共 7 个计数点．相邻计数点间的距离如图 143 所示，每两个相邻的计数点之间的时间间隔为 0.10 s．(本题计算结果均保留 3 位有效数字) (1)在实验中，使用打点计时器时应先________再______(选填“释放纸带”或“接通电源”)． (2)每两个计数点间还有________个点没有标出． (3)试根据纸带上各个计数点间的距离，每隔 0.10 s 测一次速度，计算出打下 B、C、D 三个点 时小车的瞬时速度，并将各个速度值填入下表． vB vC vD vE vF 数值(m·s－1) 0.640 0.721 (4)将 B、C、D、E、F 各个时刻的瞬时速度标在直角坐标系中，并画出小车的瞬时速度随时间 变化的关系图线. 图象法处理数据“三注意” (1)建立坐标系时，坐标原点、坐标轴表示的物理量及单位都要标注清楚． (2)画速度—时间图象时，要用平滑的曲线将各个点连接起来，不能画折线． (3)标度的选取要适当，尽量让图象占据坐标系的大部分空间． 【针对训练】 1．关于打点计时器的使用，说法正确的是( ) A．电磁打点计时器使用的是 6 V 以下的直流电源 B．在测量物体速度时，先让物体运动，后接通打点计时器的电源 C．使用的电源频率越高，打点的时间间隔就越小 D．纸带上打的点越密，说明物体运动得越快 2．(多选)在“练习使用打点计时器”的实验中，下列操作正确的是( ) A．打点前，小车应靠近打点计时器处，要先接通电源，待计时器开始打点稳定后再释放小车 B．舍去纸带上开头比较密集的点，然后选取计数点 C．打点频率为 50 Hz，若每隔四个点取一个计数点，则计数点之间的时间间隔为 0.1 s D．实验中应使小车速度尽量小些 3．如图所示是一位同学使用打点计时器得到的两条纸带，他将两条纸带(甲、乙)上下并排放 在一起进行比较，在图中 A、B 两点之间，两条纸带(甲、乙)运动的时间之比是( ) A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．无法比较 4．电火花计时器通常的工作电压为________伏，实验室使用我国民用电时，每隔________秒 打一次点；如图 146 所示纸带是某同学练习使用电火花计时器时得到的，纸带的左端先通过电火 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 3 - 花计时器，从点迹的分布情况可以断定纸带的速度变化情况是________(选填“速度减小”或“速 度增大”)．若所用电源的频率为 50 Hz，从打下 A 点到打下 B 点共 14 个点迹，历时________s. 5．(1)电磁打点计时器使用的电源应是________(填“交流 4～6 V”或“交流 220 V”)，实验 室使用我国民用电(频率 50 Hz)时，如果每相邻的计数点间还有 4 个点未标出，则相邻两个计数点 的时间间隔为________s. (2)在“练习使用打点计时器”的实验中，某同学选出了一条清晰的纸带，并取其中的 A，B， C…七个点进行研究，这七个点与刻度尺标度的对应情况如图所示． 可求出 A 点到 D 点的距离是________cm. (3)由实验数据可得 A 点到 D 点的平均速度是______m/s；B 点的瞬时速度是__________m/s.(结 果保留两位有效数字) 6．如图 148 所示是用打点计时器测瞬时速度实验时得到的一条纸带的一部分，从 0 点开始 依照打点的先后依次标为 0、1、2、3、4、5、6…现在量得 0、1 间的距离 x1＝5.18 cm，1、2 间的 距离 x2＝4.40 cm,2、3 间的距离 x3＝3.62 cm,3、4 间的距离 x4＝2.78 cm,4、5 间的距离 x5＝2.00 cm,5、 6 间的距离 x6＝1.22 cm(频率为 50 Hz)． (1)根据上面记录，计算打点计时器在打 1、2、3、4、5 点时的速度(保留两位小数)并填在下表中． 位置 1 2 3 4 5 v/(m·s－1) ______ ______ ______ ______ ______ (2)根据(1)中表格，在图中画出小车的速度图象. （二）探究小车速度随时间变化的规律 一、实验原理与方法 1．利用打点计时器所打纸带的信息，代入计算式 vn＝xn＋xn＋1 2T ，即用以 n 点为中心的一小段时 间间隔的平均速度代替 n 点的瞬时速度． 2．用描点法作出小车的 vt 图像，根据图像的形状判断小车的运动性质．若所得图像为一条 倾斜直线，则表明小车做匀变速直线运动． 3．利用 vt 图像求出小车的加速度． 二、实验器材 打点计时器、一端附有定滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源． 三、实验步骤 1．如图所示，把一端附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固 定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路． 2．把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下边挂上钩码，把纸带穿过打点计时器，并把 纸带的一端固定在小车的后面． 3．把小车停在靠近打点计时器处，接通电源后，释放小车，让小车拖着纸带运动，打点计时 器就在纸带上打下一列小点． 4．换上新的纸带，重复实验两次． 5．增减所挂钩码，按以上步骤再做两次实验． 四、数据处理 1．表格法 (1)从几条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉开始一些比较密集的点，在后面便于测量的 地方找一个点，作为计数始点，以后依次每五个点取一个计数点，并标明 0、1、2、3、4、…，如 图 212 所示． (2)依次测出 01、02、03、04、…的距离 x1、x2、x3、x4、…，填入表中． 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 4 - 位置 1 2 3 4 5 6 长度 x1 x2 x3 x4 x5 x6 各段长度 0～2 1～3 2～4 3～5 4～6 时间间隔 v/(m·s－1) (3)1、2、3、4、…各点的瞬时速度分别为：v1＝x2 2T 、v2＝x3－x1 2T 、v3＝x4－x2 2T 、v4＝x5－x3 2T 、…. 将计算得出的各点的速度填入表中． (4)根据表格中的数据，分析速度随时间变化的规律． 2．图像法 (1)在坐标纸上建立直角坐标系，横轴表示时间，纵轴表示速度，并根据表格中的数据在坐标 系中描点． (2)画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，不在线上的点均匀分布在直线的两侧，偏差 比较大的点忽略不计，如图所示． (3)观察所得到的直线，分析物体的速度随时间的变化规律． (4)根据所画 vt 图像求出小车运动的加速度 a＝Δv Δt . 五、误差分析 1．木板的粗糙程度不同，摩擦不均匀． 2．根据纸带测量的位移有误差，从而计算出的瞬时速度有误差． 3．作 vt 图像时单位选择不合适或人为作图不准确带来误差． 六、注意事项 1．开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器． 2．先接通电源，等打点稳定后，再释放小车． 3．打点完毕，立即断开电源． 4．选取一条点迹清晰的纸带，适当舍弃点密集部分，适当选取计数点(注意计数点与计时点的 区别)，弄清楚所选的时间间隔 T 等于多少． 5．要防止钩码落地，避免小车跟滑轮相碰，当小车到达滑轮前及时用手按住． 6．要区分打点计时器打出的计时点和人为选取的计数点，一般在纸带上每隔 4 个点取一个计 数点，即时间间隔为 t＝0.1 s. 7．在坐标纸上画 vt 图像时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图像尽量分布在较大的坐标 平面内． 【例 1】在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器在纸带上打的点记录 了小车的运动情况．某同学做此实验时的步骤如下： A．拉住纸带，把小车停在靠近打点计时器的位置，放开纸带，再接通电源； B．将打点计时器固定在长木板上； C．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面挂上适当的钩码； D．小车停止运动后，直接取下纸带； E．将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔； F．换上新纸带，再重复操作两次，然后从各纸带中选取一条点迹清晰的进行测量并数据处理． 其中错误或遗漏的步骤有 ①__________________________________________________________； ②__________________________________________________________. 将以上步骤完善后，其合理的顺序为____________________________ 【例 2】在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，如图所示为一次记录小车运动情况 的纸带，图中 A、B、C、D、E 为相邻的计数点(A 点为第一个点)，相邻计数点间的时间间隔 T＝ 0.1 s. (1)根据________________计算各点的瞬时速度，则 vD＝________m/s，vC＝________m/s，vB ＝________m/s. (2)在如图所示坐标系中画出小车的 v t 图线，并根据图线求出 a＝________. (3)将图线延长与纵轴相交，交点的物理意义： 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 5 - 【针对训练】 1．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，下列说法中正确的是( ) A．长木板一定要水平摆放 B．使用刻度尺测量长度时，不必估读 C．使用刻度尺测量长度时，要估读到分度值的下一位 D．作 vt 图像时，所描线必须经过每一个点 2．(多选)一小球在水平桌面上做直线运动，用照相机对着小球每隔 0.1 s 拍照一次，得到一幅 频闪照片，用刻度尺量得照片上小球各位置如图所示，已知照片与实物的比例为 1∶10，则( ) A．图中对应的小球在通过 8 cm 距离内的平均速度是 2 m/s B．图中对应的小球在通过 8 cm 距离内的平均速度是 1.6 m/s C．图中对应的小球通过 6 cm 处的瞬时速度是 2.5 m/s D．图中对应的小球通过 6 cm 处的瞬时速度是 2 m/s 3．打点计时器使用的交流电源频率为 50 Hz，在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验 中，若交流电源的频率变小了而未被发现，则测得小车的速度值与真实值比较将( ) A．偏大 B．偏小 C．无影响 D．无法判断 4．(多选)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，得到如图所示的纸带，其中 A、B、 C、D、E、F、G 为计数点，相邻两计数点间的时间间隔为 T，x1、x2、x3、x4、x5、x6 分别为 AB、 BC、CD、DE、EF、FG 间的位移，下列可用来准确计算 D 点小车速度的表达式是( ) A. x3＋x4 T B. x3＋x4 2T C. x2＋x3＋x4＋x5 4T D. x1＋x6 2T 5．如图是某同学用手水平地拉动纸带通过打点计时器后(电源频率为 50 Hz)得到的纸带，从 A 点通过计时器到 D 点通过计时器历时________ s，位移为________ m，这段时间内的平均速度为 ________ m/s，BC 段的平均速度为______ m/s，F 点的瞬时速度可以粗略地认为是________ m/s.(平 均速度和瞬时速度的结果保留三位有效数字) 6．(1)在做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，给你以下器材：电磁打点计时器、 电池组、纸带、复写纸、小车、钩码、细绳、一端附有定滑轮的长木板．其中不需要的器材是 ________________，还需要增添的器材有________________． (2)关于“探究小车速度随时间变化的规律”这一实验，下列说法正确的是________． A．长木板不能侧向倾斜，也不能一端高一端低 B．在释放小车前，小车应靠近打点计时器 C．应先接通电源，待打点计时器打点稳定后再释放小车 D．打点计时器应接在低压直流电源上 E．小车运动时要保持纸带与打点计时器平面、木板平行 F．作 v t 图像时，应先描点后连线，并且要把描出的所有点都连接起来 7. 某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动 的纸带的运动情况，在纸带上确定出 0、1、2、3、4、5、6 共 7 个测量点．其中相邻点间的距离 如图所示，每两个相邻的测量点之间的时间间隔为 0.1 s，则： (1)根据纸带上各个测量点间的距离，某同学已将 1、2、3、5 点对应的瞬时速度进行计算并填 入表中，请你将 4 点对应的瞬时速度填入表中．(要求保留三位有效数字)． 瞬时速度 v1 v2 v3 v4 v5 数值/(m·s－1) 0.165 0.214 0.263 0.363 (2)在下图所示直角坐标系中画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线． (3)由图像求出小车的加速度 a＝________m/s2.(保留三位有效数字) 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 6 - 第二节 匀变速直线运动的速度与时间的关系 一、匀变速直线运动及 v t 图像 1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动． 2．分类： (1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加的直线运动； (2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小的直线运动． 3．图像：匀变速直线运动的 vt 图像是一条倾斜的直线． （1）匀速直线运动的 vt 图像：如图甲所示，由于匀速直线运动的速度不随时间改变，因而 vt 图像是一条平行于时间轴的直线．从图像中可以直接读出速度的大小和方向． 甲 乙 （2）匀变速直线运动的 vt 图像：如图乙所示，匀变速直线运动的 vt 图像是一条倾斜的直线． 4．vt 图像的应用 图线上某点的纵坐标 正负号 表示瞬时速度的方向 绝对值 表示瞬时速度的大小 图线的斜率 正负号 表示加速度的方向 绝对值 表示加速度的大小 图线与坐标 轴的交点 纵截距 表示初速度 横截距 表示开始运动或速度为零的时刻 图线的拐点 表示加速度改变 两图线的交点 表示速度相等 图线与横轴所围图形的面积 表示位移，面积在横轴上方时位移为正值，在横轴下方时位移为负值 【例 1】物体从静止开始做直线运动，vt 图像如图所示，则该物体( ) A．在第 8 s 末相对于起点的位移最大 B．在第 4 s 末相对于起点的位移最大 C．在第 2 s 末到第 4 s 末这段时间内的加速度最大 D．在第 4 s 末和第 8 s 末在同一位置上 分析 vt 图像时的两点注意 (1)加速度是否变化看 vt 图线有无折点：在折点位置，图线的斜率改变，表示此时刻物体的加 速度改变．vt 图像为曲线，可认为曲线上处处是折点，加速度时刻在改变． (2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点：在与时间轴的交点位置，纵坐标的符号改变，表 示物体的速度方向改变． 【变式】(多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的 vt 图像如图所示， 下列判断正确的是( ) A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动 B．两物体两次速度相同的时刻分别在第 1 s 末和第 4 s 末 C．乙在前 2 s 内做匀加速直线运动，2 s 后做匀减速直线运动 D．2 s 后，甲、乙两物体的速度方向相反 二、速度与时间的关系式 1．速度公式：v＝v0＋at. 2．对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，在 t 时刻的速度 v 等于物体在开始时刻的速度 v0 加上在整个过程中速度的变化量 at. 3．公式的矢量性 (1)公式中的 v0、v、a 均为矢量，应用公式解题时，首先要规定正方向，一般取 v0 的方向为正 方向，a、v 与 v0 的方向相同时取正值，与 v0 的方向相反时取负值．计算时将各量的数值和正负号 一并代入计算． (2)a 与 v0 同向时物体做匀加速直线运动，a 与 v0 方向相反时，物体做匀减速直线运动． 4．公式的适用条件 公式 v＝v0＋at 只适用于匀变速直线运动． 5．公式的特殊形式 (1)当 a＝0 时，v＝v0(匀速直线运动)． (2)当 v0＝0 时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)． 6．速度公式 v＝v0＋at 与加速度定义式 a＝v－v0 t 的比较 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 7 - 速度公式 v＝v0＋at 虽然是加速度定义式 a＝v－v0 t 的变形，但两式的适用条件是不同的： (1)v＝v0＋at 仅适用于匀变速直线运动． (2)a＝v－v0 t 还可适用于匀变速曲线运动． 【例 2】在平直公路上，一辆汽车以 108 km/h 的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车， 刹车时加速度大小为 6 m/s2，求： (1)刹车后 3 s 末汽车的速度大小； (2)刹车后 6 s 末汽车的速度大小． 处理刹车问题的三点提醒 (1)明确车辆的刹车时间(车辆末速度变为零时所用的时间)．通常可由 t＝v－v0 a 计算得出．并判 断要研究的时长与刹车时间的大小关系． (2)若要研究的时长小于刹车时间，则汽车在要研究的时间段内的实际运动时间等于时长；反 之，实际运动时间等于刹车时间． (3)常见错误：误以为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动，简单套用速度公式 v＝v0 ＋at，得出的速度出现负值． 【变式】磁悬浮列车由静止开始加速出站，加速度为 0.6 m/s2，假设列车行驶在平直轨道上， 则 2 min 后列车速度为多大？列车匀速运动时速度为 432 km/h，如果以 0.8 m/s2 的加速度减速进站， 求减速 160 s 时速度为多大？ 【针对训练】 1．如图所示为四个物体做直线运动的速度—时间图像，由图像可知做匀加速直线运动的是( ) A B C D 2．(多选)在公式 v＝v0＋at 中，涉及四个物理量，除时间 t 是标量外，其余三个 v、v0、a 都是 矢量．在直线运动中这三个矢量的方向都在同一条直线上，当取其中一个量的方向为正方向时， 其他两个量的方向与其相同的取正值，与其相反的取负值，若取初速度方向为正方向，则下列说 法正确的是( ) A．匀加速直线运动中，加速度 a 取负值 B．匀加速直线运动中，加速度 a 取正值 C．匀减速直线运动中，加速度 a 取负值 D．无论匀加速直线运动还是匀减速直线运动，加速度 a 均取正值 3．歼20 飞机在第 11 届中国国际航空航天博览会上进行飞行展示，这是中国自主研制的新一 代隐身战斗机首次公开亮相．在某次短距离起飞过程中，战机只用了 10 s 就从静止加速到起飞速 度 288 km/h，假设战机在起飞过程中做匀加速直线运动，则它的加速度大小为( ) A．28.8 m/s2 B．10 m/s2 C．8 m/s2 D．2 m/s2 4．一物体从静止开始以 2m/s2 的加速度做匀加速直线运动，经 5s 后做匀速直线运动，最后 2s 的时间内物体做匀减速直线运动直至静止．求： (1)物体做匀速直线运动时的速度大小； (2)物体做匀减速直线运动时的加速度. 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 8 - 第三节 匀变速直线运动的位移与时间的关系 一、匀速直线运动的位移 1．位移公式：x＝vt. 2．vt 图像特点： (1)平行于时间轴的直线． (2)位移在数值上等于 vt 图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示． 二、匀变速直线运动的位移 1．位移在 vt 图像中的表示 (1)微元法推导 ①把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应 矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和． ②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个 过程的位移． ③把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表 物体在相应时间间隔内的位移． 甲 乙 丙 (2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着 vt 图像中的图线与对应的时间轴所包围的面积． 2．位移与时间的关系 面积即位移：x＝1 2 v0＋vt 速度公式：v＝v0＋at ⇨x＝v0t＋1 2at2. 3．公式的适用条件：位移公式 x＝v0t＋1 2at2 只适用于匀变速直线运动． 4．公式的矢量性：公式 x＝v0t＋1 2 at2 为矢量公式，其中 x、v0、a 都是矢量，应用时必须选取 统一的正方向．一般选 v0 的方向为正方向．通常有以下几种情况： 运动情况 取值 若物体做匀加速直线运动 a 与 v0 同向，a 取正值(v0 方向为正方向) 若物体做匀减速直线运动 a 与 v0 反向，a 取负值(v0 方向为正方向) 若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同 若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反 5. 公式的两种特殊形式 (1)当 a＝0 时，x＝v0t(匀速直线运动)． (2)当 v0＝0 时，x＝1 2at2(由静止开始的匀加速直线运动)． 【例 1】国歌从响起到结束的时间是 48 s，国旗上升的高度是 17.6 m．国歌响起同时国旗开始 向上做匀加速运动 4 s，然后匀速运动，最后匀减速运动 4 s 到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时 国歌结束．求： (1)国旗匀加速运动的加速度大小； (2)国旗匀速运动时的速度大小． 对公式 x＝v0t－1 2at 2 的理解 (1)表示以初速度方向为正方向的匀减速直线运动． (2)a 表示加速度的大小，即加速度的绝对值． 【变式】汽车以 20 m/s 的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为 5 m/s2，那么开始刹 车后 2 s 内与开始刹车后 6 s 内汽车通过的位移之比为( ) A．1∶1 B．1∶3 C．3∶4 D．4∶3 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 9 - 三、用图像表示位移 1．xt 图像：以时间 t 为横坐标，以位移 x 为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像．图像 上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移． 2．常见的 xt 图像 (1)静止：一条平行于时间轴的直线． (2)匀速直线运动：一条倾斜的直线． 3．xt 图像的应用 位移 大小 初、末位置的纵坐标差的绝对值 方向 末位置与初位置的纵坐标差的正负值，正值表示位移沿正方向，负值表示 位移沿负方向 速度 大小 斜率的绝对值 方向 斜率的正负值，斜率为正值，表示物体向正方向运动；斜率为负值，表示 物体向负方向运动 运动开始位置 图线起点纵坐标 运动开始时刻 图线起点横坐标 两图线交点的含义 表示两物体在同一位置(相遇) 4．两点提醒 (1)位移—时间图像不是物体的运动轨迹． (2)位移—时间图像只能描述直线运动，不能描述曲线运动． 【例 2】如图是 A、B 两个质点做直线运动的位移—时间图像．则( ) A．在运动过程中，A 质点总比 B 质点运动得快 B．在 0～t1 这段时间内，两质点的位移相同 C．当 t＝t1 时，两质点的速度相等 D．当 t＝t1 时，A、B 两质点的加速度不相等 运动图像的应用技巧 (1)确认是哪种图像，vt 图像还是 xt 图像． (2)理解并熟记五个对应关系． ①斜率与加速度或速度对应． ②纵截距与初速度或初始位置对应． ③横截距对应速度或位移为零的时刻． ④交点对应速度或位置相同． ⑤拐点对应运动状态发生改变． 【变式】(多选)物体甲的 xt 图像和物体乙的 vt 图像分别如图所示，则这两物体的运动情况是 ( ) 甲 乙 A．甲在整个 t＝6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为 4 m B．甲在整个 t＝6 s 时间内来回运动，它通过的总位移为零 C．乙在整个 t＝6 s 时间内来回运动，它通过的总位移为零 D．乙在整个 t＝6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为 4 m 四、匀变速直线运动的两个重要推论 1. 平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间 t 内的平均速度等于这段时间内中间时 刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即 v ＝vt 2 ＝1 2(v0＋v)＝x t. 推导：设物体的初速度为 v0，做匀变速直线运动的加速度为 a，t 秒末的速度为 v. 由 x＝v0t＋1 2at2 得， ① 平均速度 v ＝x t ＝v0＋1 2at ② 由速度公式 v＝v0＋at 知，当 t′＝t 2 时，vt 2 ＝v0＋at 2 ③ 由②③得 v ＝vt 2 ④ 又 v＝vt 2 ＋at 2 ⑤ 联立以上各式解得 vt 2 ＝v0＋v 2 ，所以 v ＝vt 2 ＝v0＋v 2 . 2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔 T 内，位移之差是一个常量，即 Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2 推导：时间 T 内的位移 x1＝v0T＋1 2aT2 ① 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 10 - 在时间 2T 内的位移 x2＝v0×2T＋1 2a(2T)2 ② 则 xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1 ③ 联立①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2 此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度． 【例 3】从斜面上某一位置每隔 0.1 s 释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动， 在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得 xAB＝15 cm，xBC＝20 cm. 试问： (1)小球的加速度是多少？ (2)拍摄时小球 B 的速度是多少？ (3)拍摄时 xCD 是多少？ 【变式】如图所示是每秒拍摄 10 次的小球沿斜面匀加速滚下的频闪照片，照片中直尺的最小 分度值为 cm，开始两次小球的照片 A、B 不清晰，此后 C、D、E、F 位置如图 2 所示．试由此确 定小球运动的加速度大小． 【例 4】一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是 24 m 和 64 m，每一个时间间隔为 4 s，求物体的初速度、末速度及加速度. 速度的四种求解方法 (1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解． (2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度． (3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度．平均速度 整个过程不变． (4)图像法，通过画 vt 图像求解． 【变式】一质点做匀变速直线运动，第 3 s 内的位移为 12 m，第 5 s 内的位移为 20 m，则该质 点运动过程中( ) A．初速度大小为零 B．加速度大小为 4 m/s2 C．第 4 s 内的平均速度为 8 m/s D．5 s 内的位移为 50 m 【针对训练】 1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是 x＝4t＋2t 2，x 与 t 的单位分别为 m 和 s，则 质点的初速度与加速度分别为( ) A．4 m/s 与 2 m/s2 B．0 与 4 m/s2 C．4 m/s 与 4 m/s2 D．4 m/s 与 0 必修一 第二章 匀变速直线运动专题 - 11 - 2. (多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第 3 s 内通过的位移是 3 m，则( ) A．前 3 s 的位移是 6 m B．3 s 末的速度是 3.6 m/s C．3 s 内的平均速度是 2 m/s D．第 5 s 内的平均速度是 5.4 m/s 3．折线 ABCD 和曲线 OE 分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移—时间图像，如图 236 所示，t＝2 s 时，两图线相交于 C 点，下列说法正确的是( ) A．两个物体同时、同地、同向出发 B．第 3 s 内，甲、乙运动方向相反 C．2～4 s 内，甲做减速运动，乙做加速运动 D．第 2 s 末，甲、乙未相遇 【针对训练】 1．一颗子弹以大小为 v 的速度射进一墙壁但未穿出，射入深度为 x，如果子弹在墙内穿行时 做匀变速直线运动，则子弹在墙内运动的时间为( ) A.x v B.2x v C. 2x v D. x 2v 2．一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第 3 s 内发生的位移为 8 m，在第 5 s 内发生 的位移为 5 m，则关于物体运动加速度的描述正确的是( ) A．大小为 3 m/s2，方向为正东方向 B．大小为 3 m/s2，方向为正西方向 C．大小为 1.5 m/s2，方向为正东方向 D．大小为 1.5 m/s2，方向为正西方向 3．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速滚下，到达斜面中点用时 1 s，速度为 2 m/s，则下列 说法正确的是( ) A．斜面长度为 1 m B．斜面长度为 2 m C．物体在斜面上运动的总时间为 2 s D．到达斜面底端时的速度为 4 m/s 4．(多选)物体做匀加速直线运动，在时间 T 内通过位移 x1 到达 A 点，接着在时间 T 内又通过 位移 x2 到达 B 点，则物体( ) A．在 A 点的速度大小为x1＋x2 2T B．在 B 点的速度大小为3x2－x1 2T C．运动的加速度为2x1 T2 D．运动的加速度为x1＋x2 T2 第四节 匀变速直线运动的速度与位移的关系 一、匀变速直线运动的速度与位移关系 1．公式：v2－v20＝2ax. 2．推导 速度公式 v＝v0＋at. 位移公式 x＝v0t＋1 2at2. 可得到速度和位移的关系式：v2－v20＝2ax. 3．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动． 4．公式的矢量性：公式中 v0、v、a、x 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选 v0 方向为正方向． (1)物体做加速运动时，a 取正值；做减速运动时，a 取负值． (2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若 Δ