鲁教五四版九年级下册5.6直线和圆的位置关系同步练习卷

5.6 直线和圆的位置关系 一．选择题 1．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以 C 为圆心，r 为半径的 圆与边 AB 有公共点，则 r 的取值范围为（ ） A．r≥ B．r＝3 或 r＝4 C． ≤r≤3 D． ≤r≤4 2．如图所示，∠APB＝30°，O 为 PA 上一点，且 PO＝6，以点 O 为圆心，半径为 3 的 圆与 PB 的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相离或相交 3．如图 PA、PB 是 ⊙ O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在 上，过 C 作 ⊙ O 的切线分别 交 PA、PB 于点 D、E，连接 OD、OE，若∠P＝50°，则∠DOE 的度数为（ ） A．130° B．50° C．60° D．65° 4．如图，直线 a⊥b，垂足为 H，点 P 在直线 b 上，PH＝4cm，O 为直线 b 上一动点，以 O 为圆心，1cm 为半径作圆，当 O 从点 P 出发以 2cm/s 速度向右作匀速运动，经过 ts 与直 线 a 相切，则 t 为（ ） A．2s B． s 或 2s C．2s 或 s D． s 或 s 5．如图，在△ABC 中，O 是 BC 边上的点，以点 O 为圆心，BO 为半径的 ⊙ O 与 AC 相切于 点 A，D 是优弧 AB 上一点，∠ADB＝65°，则∠C 的度数是（ ） A．40° B．50° C．65° D．45° 6．如图，AB 是 ⊙ O 的直径，BP 是 ⊙ O 的切线，AP 与 ⊙ O 交于点 C，D 为 BC 上一点，若 ∠P＝36°，则∠ADC 等于（ ） A．18° B．27° C．36° D．54° 7．如图，AB 与 ⊙ O 切于点 B，OB＝3，C 是 OB 上一点，连接 AC 并延长与 ⊙ O 交于点 D， 连接 OD，∠A＝40°，∠D＝30°，则 的长为（ ） A． B． π C． D． 8．如图，菱形 OABC 的顶点 A，B，C 在 ⊙ O 上，过点 B 作 ⊙ O 的切线交 OA 的延长线于点 D．若 ⊙ O 的半径为 1，则 BD 的长为（ ） A．1 B．2 C． D． 9．如图，PA，PB 是 ⊙ O 的切线，∠OAB＝32°，则∠P 的度数为（ ） A．32° B．58° C．64° D．116° 10．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠AOC＝30°，半径为 2cm 的 ⊙ P 的圆心在直线 OA 上，且与点 O 的距离为 6cm，如果 P 以 1cm/s 的速度沿直线 AB 由 A 向 B 的方向移动， 那么 ⊙ P 与直线 CD 相切时 ⊙ P 运动的时间是（ ） A．3 秒或 10 秒 B．3 秒或 8 秒 C．2 秒或 8 秒 D．2 秒或 10 秒 二．填空题 11．如图，AB、AC 是 ⊙ O 的两条弦，过点 B 的切线与半径 OC 的延长线交于点 D，若∠D ＝40°，则∠A 的度数为 ． 12．如图，PA，PB 切 ⊙ O 于 A，B 两点，CD 切 ⊙ O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D．若 ⊙ O 的半径为 r，△PCD 的周长等于 3r，则 cos∠APB 的值是 ． 13．如图，已知 AB 是 ⊙ O 的直径，PC 切 ⊙ O 于点 C，∠PCB＝35°，则∠B 等于 度． 14．如图，△ABC 的周长为 24cm，AC＝8cm， ⊙ O 是△ABC 的内切圆， ⊙ O 的切线 MN 与 AB、BC 分别交于点 M、N，则△BMN 的周长为 cm． 15．《九章算术》是我国数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆 径几何？”其意思是：“直角三角形短直角边长为 8 步，长直角边长为 15 步，问该直角 三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”如图，请写出内切圆直径是 步． 16．如图，等腰△ABC 的内切圆 ⊙ O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AB＝AC ＝5，BC＝6，则 DE 的长是 ． 17．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC 的内切圆半径等于 ． 三．解答题 18．如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆 PA 与点 A 运动所形成的 ⊙ O 交于 B 点，现 测得 PB＝8cm，AB＝10cm． ⊙ O 的半径 R＝9cm，求此时 P 点到圆心的距离． 19．如图， ⊙ O 的直径为 AB，点 C 在圆周上（异于 A，B），AD⊥CD． （1）若∠CAB＝36°，AB＝10，求图中扇形 COB 的面积． （2）若 AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是 ⊙ O 的切线． 20．如图，BF 为 ⊙ O 的直径，直线 AC 交 ⊙ O 于 A、B 两点，点 D 在 ⊙ O 上，BD 平分∠OBC， DE⊥AC 于点 E．求证：直线 DE 是 ⊙ O 的切线． 21．如图，已知 P 是 ⊙ O 外一点，PO 交 ⊙ O 于点 C，OC＝CP＝4，弦 AB⊥OC，劣弧 AB 所对的圆周角度数为 60°，连接 PB． （1）求 BC 的长； （2）求证：PB 是 ⊙ O 的切线． 22．如图， ⊙ O 与△ABC 的 AC 边相切于点 C，与 BC 边交于点 E， ⊙ O 过 AB 上一点 D， 且 DE∥AO，CE 是 ⊙ O 的直径． （1）求证：AB 是 ⊙ O 的切线； （2）若 BD＝4，EC＝6，求 AC 的长． 参考答案 一．选择题 1．解：作 CD⊥AB 于 D，如图所示： ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝ ＝5， ∵△ABC 的面积＝ AB•CD＝ AC•BC， ∴CD＝ ＝ ＝， 即圆心 C 到 AB 的距离 d＝ ， ∵AC＜BC， ∴以 C 为圆心，r＝ 或 4 为半径所作的圆与斜边 AB 只有一个公共点， ∴若 ⊙ C 与斜边 AB 有公共点，则 r 的取值范围是 ≤r≤4． 故选：D． 2．解：过 O 作 OC⊥PB 于 C， ∵∠APB＝30°，OP＝6， ∴OC＝ OP＝3＜3 ， ∴半径为 3 的圆与 PB 的位置关系是相交， 故选：C． 3．解：如图，连接 OA、OB、OC， ∵PA、PB 是 ⊙ O 的切线，A、B 为切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝50°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∵DE 切 ⊙ O 于 C， ∴OC⊥DE， ∴∠DCO＝∠ECO＝90°， ∵PA、PB、DE 是 ⊙ O 的切线，切点是 A、B、C， ∴∠AEO＝∠CEO，∠CDO＝∠BDO， ∵∠AOE＝180°﹣∠OAE﹣∠AEO，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠CEO， ∴∠AOE＝∠COE， 同理可证：∠COD＝∠BOD， ∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝ ∠AOB＝ ×130°＝65°． 故选：D． 4．解：∵直线 a⊥b， ∴ ⊙ O 与直线 a 相切时，切点为 H， ∴OH＝1cm， 当点 O 在点 H 的左侧， ⊙ O 与直线 a 相切时，如图 1 所示： OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）； ∴t＝ s； 当点 O 在点 H 的右侧， ⊙ O 与直线 a 相切时，如图 2 所示： OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）； ∴t＝ s ∴ ⊙ O 与直线 a 相切，t 为 s 或 s， 故选：D． 5．解：连接 AO， ∵∠ADB＝65°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝130°， ∴∠AOC＝50°， ∵AC 是 ⊙ O 的切线， ∴∠OAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， 故选：A． 6．解：连接 BC， ∵BP 是 ⊙ O 的切线， ∴AB⊥BP， ∴∠ABP＝90°， ∴∠BAP＝90°﹣∠P＝54°， ∵AB 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAP＝36°， 由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝36°， 故选：C． 7．解：∵AB 与 ⊙ O 切于点 B， ∴∠ABO＝90°， ∵∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°， ∴∠OCD＝∠ACB＝50°， ∵∠D＝30°， ∴∠DOB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴ 的长＝ ＝ ， 故选：C． 8．解：连接 OB， ∵四边形 OABC 是菱形， ∴OA＝AB， ∵OA＝OB， ∴OA＝AB＝OB， ∴∠AOB＝60°， ∵BD 是 ⊙ O 的切线， ∴∠DBO＝90°， ∵OB＝1， ∴BD＝ OB＝ ， 故选：D． 9．解：连接 OB， ∵∠OAB＝32°， ∴∠AOB＝180°﹣2×32°＝116°， 又∵PA、PB 是 ⊙ O 的切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣116°＝64°． 故选：C． 10．解：作 PH⊥CD 于 H， 在 Rt△OPH 中，∠AOC＝30°， ∴OP＝2PH， 当点 P 在 OA 上， ⊙ P 与直线 CD 相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点 P 运动的距离为 6﹣4＝2， ∴ ⊙ P 运动的时间是 2 秒， 当点 P 在 AO 的延长线上， ⊙ P 与直线 CD 相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点 P 运动的距离为 6+4＝10， ∴ ⊙ P 运动的时间是 10 秒， 故选：D． 二．填空题 11．解：连接 OB， ∵BD 是 ⊙ O 的切线， ∴OB⊥BD， ∴∠OBD＝90°， ∵∠D＝40°， ∴∠DOB＝∠OBD﹣∠D＝90°﹣40°＝50°， ∵∠DOB 与∠CAB 对着同一条弧， ∴∠A＝ ＝ ＝25°． 故答案为：25°． 12．解：连接 OA、OB、OP，延长 BO 交 PA 的延长线于点 F． ∵PA，PB 切 ⊙ O 于 A、B 两点，CD 切 ⊙ O 于点 E， ∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB， ∵△PCD 的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝3r， ∴PA＝PB＝ r． 在 Rt△PBF 和 Rt△OAF 中， ， ∴Rt△PBF∽Rt△OAF． ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴AF＝ FB， 在 Rt△FBP 中， ∵PF2﹣PB2＝FB2 ∴（PA+AF）2﹣PB2＝FB2 ∴（ r+ BF）2﹣（ ）2＝BF2， 解得 BF＝ r， ∴OF＝BF﹣OB＝ r， ∴cos∠APB＝cos∠AOF＝ ＝ ＝ ， 故答案为： ． 13．解：∵PC 切 ⊙ O 于点 C，∠PCB＝35°， ∴∠A＝∠PCB＝35°， ∵AB 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴35°+∠B＝90°， 解得∠B＝55°． 故答案为：55． 14．解：设 ⊙ O 与△ABC 与各边的切点分别为 D、E、F， ⊙ O 与 MN 相切于 G 点，如图， ∴AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE， ∵AC＝8，即 AF+CF＝8， ∴AD+CE＝8， ∵△ABC 的周长为 24， ∴AB+BC+AC＝24， ∴AB+BC＝16， 即 BD+AD+BE+CE＝16， ∴BD+BE＝8， ∵ ⊙ O 的切线 MN 与 AB、BC 分别交于点 M、N， ∴MD＝MG，NG＝NE， ∴ △ BMN 的 周 长 ＝ BM+BN+MN ＝ BM+BN+MG+NG ＝ BM+BN+MD+NE ＝ BD+BE ＝ 8 （cm）． 故答案为 8． 15．解：根据题意，直角三角形的斜边为 ＝17， 所以直角三角形的内切圆的半径＝ ＝3， 所以直角三角形的内切圆的直径为 6． 故答案为 6． 16．解：连接 OA、OE、OB，OB 交 DE 于 H，如图， ∵等腰△ABC 的内切圆 ⊙ O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F， ∴OA 平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD， ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC， ∴点 A、O、E 共线， 即 AE⊥BC， ∴BE＝CE＝3， 在 Rt△ABE 中，AE＝ ＝4， ∵BD＝BE＝3， ∴AD＝2， 设 ⊙ O 的半径为 r，则 OD＝OE＝r，AO＝4﹣r， 在 Rt△AOD 中，r2+22＝（4﹣r）2， 解得 r＝ ， 在 Rt△BOE 中，OB＝ ＝ ， ∵BE＝BD，OE＝OD， ∴OB 垂直平分 DE， ∴DH＝EH，OB⊥DE， ∵ HE•OB＝ OE•BE， ∴HE＝ ＝ ＝ ， ∴DE＝2EH＝ ． 故答案为： ． 17．解：如图， 在 Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8； 根据勾股定理 AB＝ ＝10； 四边形 OECF 中，OE＝OF，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°； ∴四边形 OECF 是正方形； 由切线长定理，得：AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF； ∴CE＝CF＝ （AC+BC﹣AB）； 即：r＝ （6+8﹣10）＝2． 故答案是：2． 三．解答题 18．解：连接 PO 交圆于 C，并延长 PO 交圆于 D； ∵PB＝8cm，AB＝10cm， ∴PA＝18cm； 由割线定理，得：PB•PA＝PC•PD； 设点 P 到圆心的距离是 xcm，则有： （x﹣9）（x+9）＝144， 解得 x＝15cm． 故 P 点到圆心的距离为 15cm． 19．解：（1）∵AB 是 ⊙ O 直径，∠CAB＝36°，AB＝10， ∴∠BOC＝2∠CAB＝72°，OB＝5， ∴图中扇形 COB 的面积＝ ＝5 π ； （2）证明：∵AC 是∠DAB 的角平分线， ∴∠DAC＝∠BAC， 又∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠DCA＝∠CBA， 又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OAC+∠OBC＝90°， ∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°， ∴DC 是 ⊙ O 的切线． 20．证明：如图所示，连接 OD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD 平分∠OBC， ∴∠OBD＝∠DBE， ∴∠ODB＝∠DBE， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∵OD 是 ⊙ O 的半径， ∴直线 DE 是 ⊙ O 的切线． 21．（1）解：连接 OB， ∵弦 AB⊥OC，劣弧 AB 所对的圆周角度数为 60°， ∴劣弧 AB 的度数为 60°， ∴弧 BC 与弧 AC 的度数为：60°， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC 是等边三角形， ∴BC＝OC＝4； （2）证明：∵OC＝CP，BC＝OC， ∴BC＝CP， ∴∠CBP＝∠CPB， ∵△OBC 是等边三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝60°， ∴∠CBP＝30°， ∴∠OBP＝∠CBP+∠OBC＝90°， ∴OB⊥BP， ∵点 B 在 ⊙ O 上， ∴PB 是 ⊙ O 的切线． 22．（1）证明：连接 OD， ∵OD＝OE， ∴∠OED＝∠ODE， ∵DE∥OA， ∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC， ∵AC 是切线， ∴∠ACB＝90°， 在△AOD 和△AOC 中 ， ∴△AOD≌△AOC（SAS）， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∵OD 是半径， ∴AB 是 ⊙ O 的切线； （2）解：∵AB 是 ⊙ O 的切线， ∴∠BDO＝90°， ∴BD2+OD2＝OB2， ∴42+32＝（3+BE）2， ∴BE＝2， ∴BC＝BE+EC＝8， ∵AD，AC 是 ⊙ O 的切线， ∴AD＝AC， 设 AD＝AC＝x， 在 Rt△ABC 中，AB2＝AC2+BC2， ∴（4+x）2＝x2+82， 解得：x＝6， ∴AC＝6．