六年级下册数学-关于兔子数列（斐波那契数列）的小学奥数试题

关于兔子数列（斐波那契数列）的小学奥数试题 数学中有一个以斐波那契的名字命名的著名数列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 你看出是什么规律了吧，不错，就是 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。 这个数列是斐波那契在 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌）， 而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后 一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第 n 个月时的兔子数就是斐波那契数列的第 n 项。斐波 那契数列和黄金分割数有很密切的联系。 除此以外，人们从很多地方也发现了这类数列。如：茉莉花（3 个花瓣），毛莨（5 个花瓣），翠雀（8 个 花瓣），万寿菊（13 个花瓣），紫宛（21 个花瓣），雏菊（34、55 或 89 个花瓣）。这些花的花瓣数恰好 构成斐波那契数列中的一串数。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式。 有关兔子数列的小学奥数题： 1、 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…… 第 2014 项除以 5 的余数是几？ 2、 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…… 一共 2014 项，其中奇数个数比偶数个数多还是少，差几个？ 3、 如果你爬 10 级台阶，每次可以爬 1 级或者 2 级，一共有几种走法？ 4、假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小 兔。如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年可以繁殖成（ ）对兔子。 A.144 B.233 C.288 D.466 5、1，3，4，7，11，（ ） A.14 B.16 C.18 D.20 6.4，9，15，26，43，（ ） A.68 B.69 C.70 D.71 7.2，4，6，9，13，19，（ ） A.28 B.29 C.30 D.31 8. 1，3，5，9，17，31，57，（） A.105 B.89 C.95 D.135 因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都 不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对 两个月后，生下一对小兔对数共有两对 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对 －－－－－－ 依次类推可以列出下表： 幼仔对数=前月成兔对数 成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那就是：前 面相邻两项之和，构成了后一项。 必然还是巧合： 1.斐波那契数与植物花瓣 百合和蝴蝶花有 3 个花瓣，蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花有 5 个花瓣，翠雀花有 8 个花瓣，金盏 和玫瑰有 13 个花瓣，紫宛有 21 个花瓣，这些花瓣数都是斐波那契数列中的数。 2.黄金分割 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值 0.6180339887..… 也就是说 55/89，89/144，144/233，233/377，这些比值是越来越接近 0.618 组合数学： 有一段楼梯有 10 级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第 10 级台阶有几种不同的走法? 分析：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级 台阶，有五种登法……这就是一个斐波那契数列： 所以我们列出斐波那契数列，1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，第 10 个数是 89，所以有 89 种不同的走法。 取豆子游戏： 游戏是这样的：有一堆豆子,两个人轮流从其中取走一定的豆子,取走最后所有豆子的人为赢家,不过得遵循 如下规则: 1.第一次取不能取完,至少取 1 颗. 2.从第二次开始,每个人取的豆子数至少为 1,至多为对手刚取的豆子数的两倍。 掌握了斐波那契数列，就能让我们在游戏中百战百胜 先给出结论：当 n 为斐波那契数时，先手必败 举几个例子： ①当有 2 颗豆子时，先手只能取一颗，先手必败 ②当有 3 颗豆子时，先手不能取 3 颗，只能取 1 或 2。 若取 1，则后手取 2，先手败； 若取 2，则后手取 1，先手败。 ③当有 5 颗豆子时，先手只能取 1,2,3,4,。 若取 1，则后手取 1，留 3 颗豆子，此时情况又回到 3 颗豆子的情况，先手败； 若取 2，则后手可直接取 3，先手败； 若取 3,4，则后手都可一次取光，先手败。 ④当有 8 颗豆子时，先手为了不让对手一次取光，只能取 1,2,3,颗豆子 若取 1，则后手取 2，留给对方 5 颗豆子，此时情况又回到 3 颗豆子的情况，先手败； 若取 2，则后手取 1，留给对方 5 颗豆子，此时情况又回到 3 颗豆子的情况，先手败； 若取 3，则后手可以一次性取光，因为按照规定取不超过 6 颗豆子即可，先手败。 其他情况同理，方法就是只要让留出斐波那契数的豆子让对方取，就可保证胜利。 第二个结论：当 n 不为斐波那契数时，先手必胜 这个就不需要过多解释了，因为先手可以先拿出几颗，给对方留出斐波那契数的豆子即可。 事实上关于斐波那契数列的知识还有很多，比如杨辉三角，质数数量，尾数循环 ，数列与矩阵，斐波那 契弧线等等。我们就不一一列举了，希望大家有兴趣我们在一起探讨。 最后又两个趣题，可以给身边的朋友们出一出 1.某人回家需要走一个 11 级台阶，每一步只能跨一级或两级，要登上这个台阶有几种不同的走法? 2.有 10 颗豆子，两个人轮流从其中取走一定的豆子,取走最后所有豆子的人为赢家,不过得遵循如下规则: 1.第一次取不能取完,至少取 1 颗. 2.从第二次开始,每个人取的豆子数至少为 1,至多为对手刚取的豆子数的两倍。 你准备先取还是后取？第一次你要取几颗？ 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 1。如此进行直到为 1 时操作停止。问： 经过 11 次操作变为 1 的数有多少个? 该问题属于斐波那契数列问题，解题思路可化为以下 3 道题目，关于斐波那契数列及其被用来炒股的事在 文章末尾有介绍。 题目一（简单） 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 1。如此进行直到为 1 时操作停止。问： 经过 4 次操作变为 1 的数有多少个? 题目一： 答：3 个。 反推： 经过 1 次操作变为 1 的数是 2，有 1 个； 经过 2 次操作变为 1 的数即为经 1 次操作变为 2 的，是 4，有 1 个； 经过 3 次操作变为 1 的数即为经 1 次操作变为 4 的，是 3 或 8，有 2 个； 经过 4 次操作变为 1 的数即为经 1 次操作变为 3 或 8 的，是 6、7 或 16，有 3 个。 题目二(中等难度) 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 1。如此进行直到为 1 时操作停止。问： 经过 n+1 次操作变为 1 的偶数个数与经过 n 次操作变为 1 的自然数个数是否相同？ 题目二： 答：相同。 经 n+1 次操作变为 1 的所有偶数，1 次操作后正好是经 n 次操作变为 1 的所有自然数。二者个数相等。 题目三(进阶思考) 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 1。如此进行直到为 1 时操作停止。问： 经过 11 次操作变为 1 的数有多少个？ 题目三： 答：89 个。 从题目二知道，经 n+1 次操作变为 1 的偶数个数与经 n 次操作变为 1 的所有自然数个数相同。 现考虑经 n+1 次操作变的数即为经次操作变为 1 的奇数，1 次操作后恰好变成 n 次操作后变为 1 的偶数， 其个数与经 n-1 次操作变为 1 的自然数个数相同。 将经 n 次操作变为 1 的自然数个数记为 a(n)， 则：a(n+1)=a(n)+a(n-1)， 即每一项都是前两项之和. 从题目一知道，数列前 4 项为 1、1、2、3, 整个数列为 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…… 所以，第 11 项为 89。 注：类似于题目中这种前 2 项为 1, 每一项都等于前 2 项之和的数列叫斐波那契数列。 该数列神奇的地方在于 n 足够大之后,后前一项与前后一项的比接近黄金分割数 0.618,该性质被用于模拟 计算股票从低点到高点的差值(或相反),取得了很好的效果。