义务教育课程标准实验教科书数学 沪科版九年级下册第 24 章
2.3 确定圆的条件
一、教学目标：
1、知识目标:掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不
在同一条直线的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的
外心等概念。
2、能力目标:①经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过
程，培养学生的探索能力。②通过探索不在同一条直线上的三个点确
定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。
3、情感与价值观：①形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略
的多样性，发展实践能力与创新精神。②学会与人合作，并能与他人
交流思维的过程和结果。
二、教学重点：
1、 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能
掌握这个结论。
2、 掌握过不在同一条直线的三个点作圆的方法。
3、 了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
三、教学难点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过
程。形成解决问题的一些策略。
四、教学方法：合作探究法
五、教学流程：
（一）类比联想，提出问题
1．提问：同学们会画圆吗？
学生回答：会．
2．怎么画？作圆的关键是确定什么?
学生回答：作一个圆，关键是确定圆心和半径。
3、提出问题，让学生思考，并进一步讨论：
(1)经过一个点 A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？
学生讨论回答后，请一名学生说明(如图)，并得出：经过一个点 A
作圆很容易，只要以点 A 外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 的距
离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个
(2)经过两个点 A，B 如何作圆呢？能作几个？
同样，在学生讨论回答的基础上，再让一名学生说明，并得出：经过
两个点 A，B 作圆，只要以与点 A，B 距离相等的点为圆心，即以线段
AB 的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点 A 或点 B 的距离
为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个.(如图)
(以上两点由于有前边两节课的知识作铺垫，学生比较容易作出．)
二、动手实践，发现新知
下面来研究，经过三个已知点作圆又会怎么样呢？
仍然让学生讨论，自己动手作图，这时，学生会发现：由于两点确定
一条直线，因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的
三个点两种情况．
1．作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点．
例 1 已知：不在同一直线上的三个已知点 A，B，C(如图)
求作：⊙O，使它经过点 A，B，C.
分析：作圆的关键是确定圆心和半径．
由于所作圆要经过已知点，所以如果圆心的位置确定了，那么圆的半
径也就随之确定．因此，这个问题就转化为找圆心的问题．
因为所求的圆要经过 A，B，C 三点，所以圆心到这三点的距离相等．因
此，这个点既要在线段 AB 的垂直平分线上，又要在线段 BC 的垂直平
分线上，显然这两条垂直平分线交于一点且到这三点的距离相等．可
见圆心、半径都确定了，圆便可以作出．
学生口述，多媒体展示．
证明：因为⊙O 的半径为 OA，所以点 A 在⊙O 上，即⊙O 经过点 A，
又因为点 O 在 AB 的垂直平分线 DE 上所以 OB＝OA 则⊙O 经过点 B．
同理可证⊙O 经过点 C．所以⊙O 是所求的圆．
结合以上作法和证明，请同学回答：
师：经过不在同一直线上的三点 A，B，C 的圆是否存在？
生：存在．
师：是否还有其他符合条件的圆呢？
生：没有．
师：根据是什么？
生：线段 AB，BC 的垂直平分线有且只有一个交点.
这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作圆是唯一
的．在黑板上写出：
定理 :过不在同一直线上的三个点确定一个圆．
2．过同一直线上的三点能不能做圆呢？我们不妨试试看．
教师和学生一起用圆规和直尺按照上面的作法作圆，看能否作出圆
来，再看不按上面的作法是否有办法作圆．实践的结果是不能作圆．
实际上，假定过 A，B，C 三点可以作圆，不妨设这个圆心为 O．
由点的轨迹可知，点 O 在线段 AB 的垂直平分线 l′上，并且在线段
BC 的垂直平分线 l″上，即点 O 为 l′与 l″的交点，这与“过一点
有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．(如图所示)．
所以，过同一直线上的三点不能作圆．
（思考）经过四个点或四个以上的点是否能作一个圆？
3．现在我们回过头来再看看，由于任意一个三角形的三个顶点都不
在同一直线上，所以由定理可知，经过三角形三个顶点可以作且只能
作一个圆．
介绍有关概念：
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的
圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．
(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
由上面作图方法还可以看出：三角形的外心是三角形三边中垂线的交
点．
三、应用举例，巩固新知
（一）抢答：
填空：(投影打出)
1、经过一个点可以作 ___ 个圆
2、经过二个点可以作 ___ 个圆
3、经过不在同一条直线上的三个点，可以作___个圆
4、如右图：⊙O 是△ABC 的____圆， △ABC
是⊙O 的____三角形，O 是△ABC 的____心
C
A
B
O
(经过练习，巩固前边所学的知识)
（二）判断：
1、经过三个点一定可以作圆（ ）
2、任意一个三角形有并且只有一个外接圆 （ ）
3、每个三角形都只有一个外心（ ）
4、任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形
（ ）
5、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等（ ）
（三）生活应用：如图，这是一块残缺的砂轮，同学们能去配制一块
和原来完全相同的砂轮吗？
分析：要想知道圆轮的半径，只要作出圆轮残片所在圆的圆心，而从
本节所学定理可知，经过不在同一直线上的三个点可确定一个圆，于
是可在残片的圆弧上任取三点，作过此三点的圆，即可确定残片的圆
心和半径．(此题实际上是一个作图题，可由学生口述，教师板演)
（四）动手操作：
1、画边长分别为 2cm、2.5cm、3cm 的三角形，再画出这个三角形的
外接圆，并量出这个圆的直径（要求尺规作图，结果精确到 0.1cm)
2、锐角三角形的外心在三角形的___ 部；直角三角形的外心在___ ;
钝角三角形的外心在三角形的___ 部。
(应用)在△ABC 中，∠C=90°， ∠A=30°，BC=2cm, △ABC 的外接圆
的半径为多少？
A
2cm
B
C
四、师生共同小结
1．先由教师提出问题：
(1)这节课我们主要学习了哪些具体内容？
(2)用什么方法解决过已知点作圆的问题？
(3)学习本节知识需要注意哪些问题？
2．在学生回答的基础上，教师加以小结：
(1)本节课我们主要学习了经过不在同一直线上的三点作圆的问题．
(2)我们在分析过已知点作圆的问题时，紧紧抓住对圆心和半径的探
讨．已知圆心和半径就可作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思想，
因此作圆的问题，是如何根据已知条件找圆心和半径的问题．由于作
圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定．因
此作圆的问题就又变成了找圆心的问题．
(3)学习本节定理，必须注意强调三个点的位置关系，只有当三个点
不在同一直线上时，才能确定一个圆，笼统地说"三点确定一个圆”
是不确切的．
关于“内接”与“外接”这两个术语，学生常常混淆不清，应指出，
“内”与“外”是相对的概念，以一个图形为准，说明另一个图形是
在它的里面或外面，这样内外关系即可自明
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