沪科版（2012）数学八年级下册17.2.4因式分解教案

《因式分解》教学设计 （一）教学目标： 1、 目标： （1）、了解因式分解、公因式等概念；了解因式分解的作用。 （2）、理解因式分解和多项式乘法之间的互逆关系。 （3）、运用提公因式法、公式法等方法分解因式。 2、过程性目标： （1）、让学生体会因式分解与多项式乘法之间的互逆关系，利用这种关系解答因 式分解的问题。 （2）、让学生通过观察、分析、归纳分解因式的方法。 （二）教学重点、难点： 教学重点：因式分解的目的，因式分解的方法。 （学生习惯依葫芦画瓢，作题有时不理解题目要求，常常把分解因式的题做成 多项式的乘法。让学生理解因式分解的目的是很重要的。讲讲因式分解的作用可以帮 助学生理解因式分解的目的。） 教学难点：因式分解的方法，特别是公式法。 （在以往的教学中发现，学生在使用公式法分解因式时不够灵活，易出错。原 因是不能理解公式中 a、b 是变量，可以变成其它的式子，单项式或多项式；两个公 式只是两种计算规律。 学生的思维往往被公式中 a、b 这两个字母迷惑。） 教学突破点： 1、 强调因式分解的目的，强调因式分解与多项式乘法的互逆关系，要求学生使 用这种互逆关系检验因式分解的结果。 2、 用“规律”来解释“公式”，强调公式只是描述了一种运算规律；用符号来描 述这种规律。 （三） 教学过程：(共 3 课时，教学过程的内容就是学习卷的内容。) 教学过程 设计意图 复 习 部 分 一、还记得“分解质因数”吗？ 1、列各书分解质因数： （1）15= （2）18= （3）65= （4）81= 2、把下列各分数约成最简： （1） 18 15 = （2） 81 65 = （3） 27 81 = （4） 216 36 = 分解因式与分解因 数的概念类似，借复习 分解质因数这个学生熟 悉的小学知识来帮助学 生理解“分解因式”。 教学过程 设计意图 复 习 部 分 二、请思考： (1)、 2^2 5a^4 a = 2^2 3^22a^2 a a = （2）、 ba ba   2^2^ = = 初步了解因式分解的作 用： 借助这两小题向学 生解释分数约分约的是 公因数，式子的化简约 的是公因式。对于多项 式，须先转化成几个式 子的积的形式才可考虑 约去公因式。（2）可让 学生先讨论。 新 课 引 入 三、 把一个多项化成几个整式的积的形式，叫做多项式的 因式分解，它与整式的乘法正好互为逆运算。 1、计算下列各式： 2、把下列各式分解因式： (1) m(a+b+c)= (1) ma+mb+mc= (2) 5a(b+1)= (2) 5ab+5a= (3) 5a(a+1)= (3) 5a2+5a= (4) -5a(a-5)= (4) -5a2+25a= (5) (a+b)(a-b)= (5) a2-b2= (6) (x+1)(x-1)= (6) x2-1= (7) (x+3)(x-3)= (7) x2-9= (8) (a-b)2= (8) a2-2ab+b2= (9) (a+b)2= (9) a2+2ab+b2= (10) (x+2)2= (10) x2+4x+4= (11) (x-3)2= (11) x2-6x+9= (12) (2x-3y)2= (12) 4x2-12xy+9y2= (13) (x+1)(x-4)= (13) x2-3x-4= 让学生利用这种互 逆关系直接写出因式分 解的结果，从而体会这 种关系。有第 1 小题做 参考，学生可以很轻松 的答出第 2 小题。 新 课 讨 论 四、你能把下列各式分解因式吗？ ★前 4 小题考虑用乘法分配律的逆运算：ma+mb=m(a+b) 后面的题考虑用”竖乘法”的逆运算。 (1) 3ab-3ac= (2) 3a2-9ab= (3) m2-2m= (4) x3-2x2+x= (5) x2-16= (6) 9-y2= (7) 25x2-4= (8) x2y2-1= (9) x2+2x+1= (10) x2-10x+25= (11) x2-4xy+4y2= (12) x2+3x+2= (13) x2+5x+6= (14) x2-5x+6= 鼓励学生”猜”答 案。引导学生利用因式 分解与多项式乘法的互 逆性检验答案是否正 确。 教学过程 设计意图 新 课 讨 论 五、讨论一下第四部分怎样“猜”比较“快而且准”？ （先分小组讨论） 让学生展示答案，并 讨论答案的正确性。说 说自己的“猜”的方法。 如果有同学每题都 能“猜”对，那他的“猜” 法一定有他的道理。 新 课 讲 解 六、我们来总结因式分解的方法： 一种图形代表同一 个数或式子（可以是单 项式，也可以是多项 式）。例 2 和例 4 先把各 项公因式填入方形内。 方法一：提公因式法（适合各项有公因式的式子） 图形描述： + + = ( + + ) 例 1、xm-ym+zm=( )· 例 2、3x4y-6x2y2+9x2y3 - + = · - · + · = ·( - + ) 例 3、2m2-4m = · - · = ·( - ) 例 4、2(a+b)2 - 4(a+b) _ = · - · = ·( - ) 教学过程 设计意图 新 课 讲 解 方法二：“竖乘法”（适合二次多项式，分解平方项及常数项， 检验中间项） 例 5、a2-5a+4=( )( ) 草稿：（a -2） ( a -4) (a -2) ( a -1) a2-2a-2a+4≠a2–5a+4 a2 –a –4a +4=a2–5a+4 例 6、a2-4a+4=( )( ) 草稿： ( a ) ( a ) a2 例 7、a2-4=( )( ) 草稿： ( a ) ( a ) a2 根据我们做多项式 的乘法的经验，一个二 次多项式若无公因式可 提那么只可能分解成两 个一次二项式的积。通 过分解平方项（又叫二 次项）和常数项，我们 可以估计出分解后的几 种可能结果，然后用竖 乘法检验一下交叉相乘 后中间项是否符合题目 要求。 课 堂 练 习 七、请选择适合的方法把下列各式分解因式： (1) 6mn-18mp (2) 3a2-6ab+3a (3) a2-5a-6 (4) a2-5a+6 (5) x2-y2 (6) -a2+16 (7) x2-14x+49 (8) 25x2+10xy+y2 教学过程 设计意图 总 结 规 律 并 应 用 规 律 解 题 八、★两种可用竖乘法分解因式的有规律的二次多项式。 （一）平方差： 图形描述： 2 2 - =（ + ）（ - ） （二）完全平方： 图形描述： 2 2 2 ±2 + = （ ± ） 例 8、请观察下列各式符合哪个规律的左边，并根据规律直 接写出它分解因式后的结果。 （1）4y2-x2= 2 2 - =（ + ）（ - ） （2）（a+b）2-c2= 2 2 - =（ + ）（ - ） (3) a2+6a+9= 2 2 2 ±2 + = （ ± ） (4) (a+b)2+6(a+b)+9= 2 2 2 ±2 + = （ ± ） 九、看谁能最快得出下列各式分解因式的结果： （1） x2-16= （2） a2-4b2= （3） x2-4xy+4y2= （4） 4a2-12ab+9b2= （5） a2b2+2ab+1= （6） (a+b)2-12(a+b)+36= （7） (2x+y)2-9= （8） (2x+y)2-9m2= （9） 9x2-30x+25= （10） 0.25+a+a2 = 一种图形代表同一 个数或式子（可以是单 项式，也可以是多项 式）。 如果一个二项式满 足等式左边的形式，那 么它分解因式的结果一 定满足等式右边的形 式。利用规律，可以提 高解题效率。 用图形描述这两个 公式，学生能够轻松接 受，而且能够帮助学生 理解平方项为多项式的 情况。 注意：可用竖乘法 解释一下这两个规律的 原理。 教学过程 设计意图 综 合 应 用 十、请思考，你有办法把下列各式分解因式?吗 (1) a3-4a (2) (ab+a)+(cb+c) (3) a4-18a2+81 (4) a4-b4 (5) a(a+4)+4 (6) (a+b)2-4ab 第十部分的题目须综 合应用各种分解因式的 方法。建议先让学生自己 思考、尝试、讨论。在下 一课时进行分析总结。 例：学生可能的答案： (1) a3-4a=(a2-2a)(a+2) (1) a3-4a=a(a2-4) 让 学 生 比 较 各 种 答 案，讨论最优答案。 分析： ★有公因式的话，先考虑提公因式。 (1) a3-4a = a ·( - ) 提公因式 a = a ( )( ) 再用规律分解因式 (2) (ab+a)+(cb+c) = a ( ) +c ( ) 分组提公因式 = ( a+c ) ( ) 再提公因式 ★ a4 次方的处理手法是写成 (a2)2 。 (3) a4-18a2+81 = ( )2 -2· ·9 +92 =( ) 2 用规律分解因式 =[ ] 2 再次用规律分解因式 (4) a4-b4 = ( )2 - ( )2 =（ ）（ ） 用规律分解因式 =（ ）（ ）（ ） 再次用规律分解 ★有的题目必须先化简，然后才能分解因式。 (5) a(a+4)+4 = a2+4a+4 先去括号化简 = ( )2 再分解因式 (6) (a+b)2-4ab = a2+ +b2-4ab = a2+ +b2 先去括号合并同类项化简 = ( )2 再分解因式 教学过程 设计意图 综 合 应 用 十一、综合训练，把下列各式分解因式。 (1) a3-14a2+49a (2) 3a3-27ab2 (3) x4-x2+1 (4) (x-2)2-x (5) 2am+an+2bm+bn (6) -25xy+25x2+4y2 (7) (x-1)(x-3)+1 (8) (ab+a)+(2b+2) 训练学生的综合运用 能力：分析题目，选择 方法。 提 高 能 力 十二、在上一章，我们学习过（√2）2=2，（√3）2=3,你能把 下列各式分解因式吗？ (1) x2-2 (2) a4-9 (3) a2+2√3a+3 (4) x2-2√6x+6 持笔人：徐圆圆