华东师大版九年级下册数学教案第26章二次函数

第 26 章 二次函数 26．1 二次函数 认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式． 重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围． 难点 熟练地列出二次函数关系式． 一、创设情境，引入新课 (1)正方形边长为 a(cm)，它的面积 s(cm2)是多少？ (2)已知正方体的棱长为 x cm，表面积为 y cm2，则 y 与 x 的关系是________． (3)矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平 方厘米，试写出 y 与 x 的关系式． 请观察上面列出的三个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数 吗？ 二、探究问题，形成概念 1．请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义． 2．归纳：二次函数的概念． 3．结合“情境”中的三个二次函数的关系式，给出常数 a，b，c 的取值范围． 4．结合“情境”中的三个二次函数的关系式，说说它们的自变量的取值范围． 例 1 m 取哪些值时，函数 y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以 x 为自变量的二次函数？ 分析：若函数是二次函数，须满足的条件是：m2－m≠0. 解：若函数 y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则 m2－m≠0，解得 m≠0，且 m ≠1.因此，当 m≠0，且 m≠1 时，函数 y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数． 探索：若函数 y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些值？ 例 2 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． (1)写出正方体的表面积 S(cm2)与正方体棱长 a(cm)之间的函数关系式； (2)写出圆的面积 y(cm2)与它的周长 x(cm)之间的函数关系式； (3)某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和 y(元)与所 存年数 x 之间的函数关系式； (4)菱形的两条对角线的和为 26 cm，求菱形的面积 S(cm2)与一对角线长 x(cm)之间的函 数关系式． 学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概 念． 归纳结论：形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a 叫做二 次项的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项． 三、练习巩固 1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y＝x2＝0； (2)y＝(x＋2)(x－2)－(x－1)2； (3)y＝x2＋1 x ； (4)y＝ x2＋2x－3. 2．当 k 为何值时，函数 y＝(k－1)xk2＋k＋1 为二次函数？ 3．已知正方形的面积为 y(cm2)，周长为 x(cm)． (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数． 4．正方形铁片边长为 15 cm，在四个角上各剪去一个边长为 x(cm)的小正方形，用余下 的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积 S(cm2)与小正方形边长 x(cm)之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3 cm 时，求盒子的表面积． 四、小结与作业 小结 1．叙述二次函数的定义． 2．二次函数定义：形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫做常数项． 作业 1．布置作业：教材“习题 26.1”中第 1，2，4 题． 2．完成同步练习册中本课时的练习． 本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二 次函数．通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单 的函数关系式，总体效果良好！ 26．2 二次函数的图象与性质 1． 二次函数 y＝ax2 的图象与性质 1．能够利用描点法作出 y＝x2 的图象，并能根据图象认识和理解二次函数 y＝x2 的性质． 2．能作出二次函数 y＝－x2 的图象，并能够比较与 y＝x2 的图象的异同，初步建立二次 函数关系式与图象之间的联系． 重点 会画 y＝ax2 的图象，理解其性质． 难点 结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来． 一、创设情境，引入新课 导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义和图象特征，思考二次函数的图象又有何特 征呢？ 导语二 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有 何联系呢？ 导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规 律？怎样用数学规律来描述呢？ 二、探究问题，形成概念 1．函数 y＝ax2 的图象画法及相关名称 【探究 1】画 y＝x2 的图象 学生动手实践、尝试画 y＝x2 的图象 教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线 教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出 y＝x2 的图象，如图 1. 【共同探究】该二次函数图像有何特征？特征如下： ①形状是开口向上的抛物线； ②图象关于 y 轴对称； ③有最低点，没有最高点． 结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向． 2．函数 y＝ax2 的图象特征及其性质 【探究 2】在同一坐标系中，画出 y＝1 2x2，y＝x2，y＝2x2 的图象． 学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出两 函数的图象．如图 2. 比较图中三个抛物线的异同． 相同点：①顶点相同，其坐标都为(0，0)； ②对称轴相同，都为 y 轴； ③开口方向相同，它们的开口方向都向上． 不同点：开口大小不同． 【练一练】画出函数 y＝－x2，y＝－1 2x2，y＝－2x2 的图象．(分析：仿照探究 2 的实施 过程) 比较函数 y＝－x2，y＝－1 2x2，y＝－2x2 的图象．找出它们的异同点． 相同点：①形状都是抛物线； ②顶点相同，其坐标都为(0，0)； ③对称轴相同，都为 y 轴； ④开口方向相同，它们的开口方向都向下． 不同点：开口大小不同． 【归纳】y＝ax2 的图象特征： (1)二次函数 y＝ax2 的图象是一条抛物线； (2)抛物线 y＝ax2 的对称轴是 y 轴，顶点是原点．当 a>0 时，抛物线开口向上，顶点是 抛物线的最低点．当 a0 时，x＝h 时，y 最小值＝k；当 a0，c>0 B．ab>0，c