沪教版九年级数学第一学期24.3相似三角形的判定和性质-基础概念

1 第三讲 相似三角形的判定和性质 -基础概念 知识点 1：相似形的定义 相似三角形：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三 边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。即：在 和 中，如 果， ， , , 我们就说 和 相 似,记作 ∽ ， 就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的 位置上) 相似三角形的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 例 1、下列图形中，一定相似的组数有（ ） ①两个等边三角形②两个含100o 角的等腰三角形；③两个含30o 角的等腰三角形；④两个等腰直角三角形 （A）1 组 （B）2 组 （C）3 组 （D）4 组 知识点 2： 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三 角形相似。 例 2、如图 1，E 是 ABCDY 的对角线 BD 上一点，射线 AE 交 CD 于点 F，交 BC 的延长线于点 G； 找出有几对相似的三角形。 练习：如图 1、在 ABCDY 中，点 E 是 DC 延长线上一点，AE 交 BD 于 F，交 BC 于点 G，则下列结论正 确的个数有( ) ① ABF EDFV :V ② AFD GFBV :V ③ ECG ABFV :V ④ ADE GBAV :V (A)1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 图1 G F E D CB A 2 知识点 3：AA 相似三角形的判定定理 1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这 两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两个三角形相似。 例 3、如图 3、 ABCV 是等边三角形，P 是边 BC 上任意一点（不与点 B、C 重合），联结 AP。线段 AP 的 垂直平分线交 AB、AC 于点 E、F，联结 PE、PF。 求证：（1） EBP PCFV :V （2） BE CF=BP PC  例 4、如图、在 ABCV 中， 60ABC   ，P 是 ABCV 形内一点，且 APB BPC CPA     （1）求证： PAB ∽ PBC （2）如果 PA=4，PB=6，求 PC 的长 练习：如图 4、在 Rt ABCV 中， BAC=90 o ，D 是 BC 的中点，联结 DA，过点 D 作 BC 的垂线交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 F。求证：DA 是 DE 和 DF 的比例中项。 知识点 4：SAS 相似三角形的判定定理 2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等， 那么这两个三角形相似。 可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 例 5、如图，，在 △ABC 中，高 BD 与 CE 相交于点 H，联结 DE。 求证：（1）△ADE∽△ABC；（2）△EHD∽△BHC 图3 E P F CB A 图4 F E D CB A H E D CB A P CB A 3 例 6、如图、在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，且 CF= 1 4 CD，联结 AE、 EF、AF。求证：（1）△ABE∽△ECF； (2)△ABE∽△AEF； 例 7、如图，已知 P 是边长为 4 的正方形 ABCD 内部的一点，且 PB=3，联结 PA，又 BE⊥PB， 垂足为 B，请在射线 BE 上找点 M，使得以 M、B、C 为顶点的三角形与△ABP 相似。 例 8、如图， ,AB BD CD BD  ，点 E 在 BD 上，且 AE CE ，点 F 在 DE 上，且 DCF ECA   ， 求证：BE=DF 练习：1、如图，在 ABCV 中， 90ACB   ，CD⊥AB 于点 D，求证：(1) AC BC CD AB   (2) 2CD BD DA  (3) 2 2,AC AD AB BC BD AB    (4) 2 2 AC AD BC BD  F E D CB A D C B A P E CB A D c b a FE D C B A 4 2、如图，在 ABCV 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、CA 上，DE=DF， A EDF   （1）找出图中所有的相似三角形，并加以证明； （2）求证： AB BE BC CF  知识点 5：SSS 相似三角形的判定定理 3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似. 知识点 6：HL 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形 的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。简述为：斜边和直角边对应 成比例，两个直角三角形相似。 例 9、如图，在 ABC 中， ACB=90 CD AB ， 于点 D，又 ACE BCF 与 都是等边三角形， 联结 DE、DF。求证：DE  DF 练习：如图，在 Rt ABC 中， BAC=90 AD BC ， 于点 D，直线 BF 交 AC 于点 F，交 AD 于点 M，过点 D 作 ADE= ABF  ，交 BF 于点 E。求证： BE BF=BD BC  F E D C B A F E D C BA M E D CB A 5 知识点 7：相似形的性质 1 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2、相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形的周长比等于相似比。 例 10、解下列各题： （1）如果 ABC ∽ DEF ， ABC 的最大边 AB=35， DEF 的最大边 DE=14，AB 边上的中 线与 DE 边上的中线之和为 28，求这两条中线的长。 （2）如果两个相似三角形的相似比为 2 3 ，且其中一个三角形的周长为 24，求另一个三角形 的周长； 例 11、如图，AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边，若点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上， 沿直线 MN 将△MCN 翻折，使点 C 落在边 AB 上，设其落点为 P （1）当点 P 为 AB 的中点时，求证： PA CM=PB CN （2）当点 P 不是 AB 的中点时， PA CM=PB CN 是否仍然成立？请证明你的结论。 练习：1、如图，AD=5，DB=4，AE=3，EC=12 （1）求证：△ADE∽△ACB （2）若 DE=2，求 BC 的长。 E D C B A P NM C BA P N M C BA 6 2、如图、在 Rt△ABC 中， ACB=90 CD AB ， （1）若 AC=16， BC=9，求 AD DB 的值； （2）若 AD=16，BD=9，求 AC BC 的值。 3、如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是边 BC 上一点，且 AE∥CD， BDE= DAE  求证：（1）△BDE∽△BCD； （2） DE BC=BD AE  4、如图，在△ABC 中，AB=8，AC=6，BC=4，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE 与 BC 的延长线相交于点 F，且 （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）如果△ADE 与四边形 BCED 的周长相等，求 DE 的长。 知识点 8：相似形的性质 2 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 例 12、已知两个相似三角形的一组对应边的长分别是 9 和 6，如果它们的面积差为 10，求这 两个三角形的面积。 D C BA E D CB A F E D C B A 7 例 13、如图，在 ABC 中，DE∥BC，AB=5，BC=6，AC=7 (1)如果 ADE BCEDS =S 梯形 ，求 DE 的长。 （2）如果 ADE BCEDC =C 梯形 ，求 DE 的长。 例 14、如图，在 ABC 中，点 D 在 BC 上，DE∥AB 交 AC 于点 E，DF∥AC 交 AB 于点 F， 且 BC=5， AEDF ABC S 12=S 25 四边形 ，求 BD 的长。 练习：1、如图， AC AB BD CD ， ，AC 和 BD 相交于点 E， ADE BCES =8 S =16. ， （1）求 AD BC 的值。 （2） BEC 是不是一个定角？请说明理由。 2、如图，在 ABC 中，D 是边 AC 上一点， 2 ABC ADBAB =AD AC S S =25:4  ， ： ，BD=12， AD=4，求 BC 和 DC 的长。 ED CB A F E D CB A E D CB A D C B A 8 例 15、如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=2，M 为 BC 的中点，P 是边 AB 上一动点（与 A、B 不重合），过点 P 作 PE∥BC，交 CD 于点 E，PE 交 AM 于点 F，BE 与 AM 交于点 G。 （1）若 EF= 4 3 ，求 AP 的长。 （2）点 P 在 AB 上移动，线段 EF 与 EG 能否相等？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由。 （3）△EFG 能否为等边三角形？为什么？ 回家作业:判定： 1、如图 4、在 ABCV 中， 90ACB  o ，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与 ABCV 相似的三角形有( ) (A)1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 2、如图 5、点 D、，E 分别在 AB、AC 上，BE 与 CD 相交于点 F，且 B C   ，则图中的相似三角形共 有（ ） （A）1 对 （B）2 对 （C）3 对 （D）4 对 3、如图 6， ABCV 中，AC=4，AB=5，D 是 AC 上一点，E 是 AB 上一点，且 ADE B   ，设 AD = x ， AE= y ，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ） （A） 5 (0 4)4y x x   （B） 5 (0 4)4y x x   （C） 4 (0 4)5y x x   （D） 4 (0 4)5y x x   4、如图 7、AB∥CD，那么对应边成比例的式子是 = = M P G F E D CB A 图4 D E C B A 图5 D F E C B A 图6 D E CB A 9 5、如图 8、 ADE C   ，那么对应边成比例的式子是 = = 6、如图 9、 1 2 3     ，那么图中相似的三角形有 对，它们分别为 7、如图 10，在 ABCV 中， 90ACB  o ， CD  AB，垂足为点 D，若 AD=9，BD=4，则 CD= 8、如图 11，在直角梯形 ABCD 中， 90A  o ，BD⊥DC，若 AD=2，BC=8，则 BD= 9、如图 12，DE 是 ABCV 的中位线，BE 平分 ABC ，DE=3，则 AB= 10、如图 13、在 ABCV 中， 90ACB  o ， 60ABC  o ，若 ABC 的平分线交 AC 于 D，则 AD：DC= 11、 如图 14、在 ABCV 中， 90A  o ，AD  BC 于 D，DE⊥AB 于 E，则图中与 ABCV 相似的三角形 有 个。 12、如图 15、在梯形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC、BD 相交于点 P，过点 P 的直线交 AB 于 E，交 CD 于 F，则 PE PF = 13、如图 16、边长为 6 的正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 BC 的中点，DE 交 AC 于 F，则 EF= 14、如图 17、已知 ABCDY 两条对角线相交于 O，若 AB= a ，BC=b ，在 AB 的延长线上取 BF=C，连接 OF 交 BC 于 E，则 BE= 15、如图 18、四边形 ABFE 和四边形 EFCD 是两个全等的正方形，M 是 CF 的中点，DM 和 AC 相交于点 N，若正方形的边长为 a ，则 NC 的长为 图10图9图8图7 3 2 1O E ED DD D C C CC BB B B A A AA 图14图13图12图11 D E D D DC CCC B B BB A A A A E 图18图17图16图15 F O O N M P E E DD D D C C C CB B B BA A A A E EF FF 10 16、如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，EB⊥AB，联结 AE，且∠BAE=∠DAC， 求证： AB AC AD AE   17.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，过点 C 作射线 CE，交 AD 的延长线于点 E，且 ∠BCE=∠CAD，求证： AB AC AD AE   . 18.如图，在△ABC 中，DA 平分∠BAC，AD 的垂直平分线交 CB 的延长线于点 P，求证： PD 是 PB 与 PC 的比例中项。 19.如图，在△ABC 中，∠ 90C   ,点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AB AD AC AE   ， 求证：ED⊥AB。 E D CB A E D CB A P D CB A E D C B A 11 20.如图，一直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分 别为 9、6，求正方形丙的边长。 21.如图，在矩形 ABCD 中，AB= 3 , 6AD  ，M 是 BC 的中点，联结 AM、BD， 求证：AM⊥BD。 22.如图，在△ABC 中，AC=4，AB=5,BC=6，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且∠AED=∠B， 如果四边形 BCED 的周长为 13，求 DE 的长。 23、在△ABC 中，AB=AC，D 是边 AC 上的一点，E 是边 AB 上的一点，联结 BD、DE。已 知 AD=BD=BE=BC，写出该图形中的所有相似三角形，并简要说明理由。 24、如图、已知 ABC ∽△ 1 1 1A B C ，点 1 1B C B C、 分别对应点 、 ，联结 1 1BB CC、 ，求证： 1 1ABB = ACC  丙乙 甲 M D CB A E D CB A CB A 12 25、如图，在△ABC 中，∠ABC=2∠C，点 D 在边 AC 上，且 2AB =AD AC ，联结 BD。试 问：DB 是不是∠ABC 的平分线？并证明你的结论。 性质：填空： （1）已知 ABC ∽ 1 1 1A B C ，AB=12，BC=10，CA=14，AB 的对应边 1 1A B =3，那么 1 1 1A B C 的周长 为 ，这两个三角形的面积比为 。 （2）把一个三角形各边边长扩大为原来的 100 倍，那么扩大后的三角形面积为原三角形面积的 倍。 （3）如图 1，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 E，过点 E 作 FG⊥AB，交 AB 于点 F，交 CD 于点 G，已知 AB=8，CD=12，EF=3，则 EG= 。 （4）D、E 分别是 ABC 的边 AB、AC 的中点，那么 ADE BCEDS S 四边形： = （5）如图 2，AB、CD 交于点 E， A= C=90   ，BE=5，BC=4，DE=8，那么 ADES = （6）CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高，已知 AD=9cm，DB=4cm，那么 CD= cm，AC= cm。 （7）两个相似三角形的面积比为 3，周长比为 k ，那么 3 k = （8）已知在 ABCD 中，E 为 BA 延长线上一点，CE 交 AD 于点 F，若 AE：AB=1:2，则 ABCF CDFS S  四边形 = （9）在 1：5000 的地图上，一个三角形地区的周长为 60cm，面积为 200 2cm ，那么这个地区的实际周长 为 m,面积为 2cm . (10)如图 3、在 ABC 中，DE∥FG∥BC，且 DE、FG 把 ABC 的面积分为三等份，若 BC=6cm,则 FG= cm. (11)如图 4，已知 1 2, 10, : 2:3AB AD DB     ，那么 AC= 图1 G F E DC BA 图2 E D C BA 图3 GF ED CB A D CB A 13 （12）如图 5，已知 DGFE 是 ABC 的内接正方形，AH⊥BC 于点 H，AH=5cm，AD：BD=2:3， 那么 GF= cm. (13)在 Rt ABC 中， 90 ,BAC AD BC   于点 D，且 AB=2AC，那么 AD：BC= （14）如图 6，已知 1 C   ，AB=5cm，AE=3.5cm ,那么 AC= cm. (15)在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0），点 B（2,1），在 x 轴上找一点 C（原点 O 除外）， 使得 ABC 与△OAB 相似，这样的点共有 个。 (16)已知 ABC 与△DEF 相似，且 A E   ，AB=4，BC=5，AC=6，EF=12，则 DF= （17）在梯形 ABCD 中，AB∥CD，EF 过对角线交点 O，且点 E 在 CD 上，点 F 在 AB 上， 如果 EO：OF=1：2，那么 :COD AOBS S  = :COD ABCS S  = （18）在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=8，E 是 BC 的中点，那么点 D 到直线 AE 的距离为 (19)在等腰 ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，点 D 在边 AC 上，若将 ABC 沿直线 BD 翻折， 使点 C 落在直线 AC 上的 1C 处，则 A 1C = 2、如图，在正方形 ABCD 中，AB=1，E 是边 AD 上的一点（不与 A、D 重合），BE 的垂直 平分线 GF 交 BC 的延长线于点 F （1）求证： AE BE BG BF  （2）若 AE=a，联结 EF 交 CD 于点 P，联结 GP，当 a 为何值时，GP∥BF？ 图4 2 1 D CB A 图5 HG F F ED CB A 图6 1 E D C B A PG F E D CB A