沪教版八年级第一学期第16章：二次根式综合复习

1 第三讲 二次根式综合 一、主要知识点 1．有理化因式 2．二次根式混合运算 （1）二次根式的加、减、乘与整式的加、减、乘类似，在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。 （2）二次根式的除法，一般是先写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行。 二、重点剖析 1．有理化因式 （1）二次根式的有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数，例如 3 的有理化因式可以是 33,32,3 ……但在一般情况下，我们所找的有理化因式应是最简单的，例如： 8 的有理化因式为 2 ， 5325  的有理化因式为 5325  。 （2）一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形： ① aa和 ② baba  和 ； ③ baba  和 ； ④ bnambnam  和 2．分母有理化的一般方法：用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。 3．二次根式混合运算注意事项 （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则根 式中仍然适用。 （2）二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 （3）二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一 个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。 （4）在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。 例如可以由 baab ba 11  来计算 23 1 12 1 )12)(23( 1223 )12)(23( 13         32212312  例 1、已知 16  的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a-b. 例 2、比较下列每组数里两个数的大小: 1） 6 3 4 7与 ; (2) 6 2 5 3 与 . 答案： 6 3 4 7 答案： 6 2 5 3   (3) 4 3 与 3 2 的大小 (4) 1n n  与 1n n  的大小 答案： 4 3 3 2   答案： 1 1n n n n     例 3 计算 2 （1） ])2 51()2 51[( 5 1 22  （2） 32 32 35 3 13 5      （3） m nban m m nmnm ab m na 222 )(  （4） 6)23()23(6  分析（1）可运用 ))((22 bababa  计算 （2）每个二次根式分别进行分母有理化，再进行二次根式的加减运算。 （3）把括号中的每一项化成最简二次根式，再根据整式除法法则，  aba b 1 进行运算。 （4）可把除式成分式，再根据分母有理化进行计算。 解（1）原式 15 5 1)2 51 2 51)(2 51 2 51( 5 1  （2）原式 )32)(32( )32( )35)(35( )35(3 )13)(13( )13(5 2       342 5 2 17)347(2 315 2 515  （3）原式 n m ba mnmmnm abmnm a 22 2 1)1(  22 2 22 2 22 2 1111 ba abamn mnba abamn nba mnm aba  （4）原式 6 23 23 6    66 6)23( )23)(23( )23(6     33 522 733 122 13223  例 4、化简 )23)(36( 23346   分析 本题如果按一般方法分母有理化，不容易作出来，又不可能直接约分，但如果注意到 )23(3)36(23346  ，可运用关系： baab ba 11  来计算。 3 解 原式 )23)(36( )23(3 )23)(36( 36     36 3 23 1     263623  例 5 先化简再求值。 ab ba abab ba baba     ] )())(( 4[ ，其中 a=3，b=4 分析 根据本题特点，可先通分做加法，后做除法进行化简，再代入。 解 原式 ba ab babaab ba babaab ab       ] ))(( )( ))(( 4[ 2 ba ab babaab ba     ))(( )( 2 ba ab ba ba ba      1 当 a=3 b=4 时 原式= 2343 34   例 6 已知 23 23, 23 23     yx ，求代数式 22 353 yxyx  的值 分析 先将 x，y 化简，多项式可用 x+y 及 xy 的形式表示，为此求出 x+y，xy，最后代值计算。 解 ∵ 625 23 23   x 625 23 23   y ∴ 10625625  yx 1)625)(625( xy ∵ xyxyyxxyyxyxyx 5]2)[(35)(3353 22222  xyx 11)1(3 2  将 x+y=10，xy=1 代入，得 原式 289111103 2  例 7 设 2611 的整数部分为 x，小数部分为 y，求 yyx 2 的值。 分析 先对 2611 进行化简， 2611 可以进行配完全平方。 4 解 222 )29()2(182)9(182112611  2329  通过估算可知 23  的整数部全为 1，则 221)23( y 52223 22 2)22(12    yyx 例 8 计算 3232  分析 注意 3232 