沪教版八年级数学第一学期18.1：函数的概念、正比例函数

1 第七讲 函数的概念、正比例函数 函数的概念 一、知识点 1. 变量与常量 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义 在某个变化过程中有两个变量 x 和 y ，如果在 x 的允许取值范围内，变量 y 随着 x 的变化而变化，它 们存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函数， x 叫做自变量。 3. 函数的定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果 y 是 x 的函数，那么对于 x 在定义域内取定的一个值 a ，变量 y 的对应值叫做当 x a 时的函数值. 符号“  y f x ”表示 y 是 x 的函数， f 表示 y 随 x 变化而变化的规律. 二、例题讲解 例 1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg ，其中，m 表示质量，G 表示重力， 9.8g  牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量 m 的函数？ 解：物体所受的重力G 随它的质量 m 的变化而变化，由G mg 可知，这两个变量之间存在确定 的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量 m 的函数. 例 2 汽车的速度为 50 千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程 y （千米）关于时间 x （时）的函数解 析式及定义域. 分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为 0x  . 解：函数解析式为 50y x ，定义域为 0x  . 例 3 求下列函数的定义域： （1） 2 3y x  ; （2） 1 1y x   ； （3） 2 1y x  . 解：（1）对于整式 2 3x  ，无论 x 取什么实数，它都有意义，所以函数 2 3y x  的定义域是一切 实数； （2）对于分式 1 1x  ，当 1x  时，它没有意义.所以函数 1 1y x   的定义域是 1x  ； （3）对于二次根式 2 1x  ，当 1 2x   时，它有意义，所以函数 2 1y x  的定义 域是 1 2x   . 说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例 4 已知   3 2 1 xf x x    ，求 1 2f     的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取 2 某一数值时，函数的一个对应值.求 1 2f     的值，就是当 1 2x   时，求 3 2 1 xy x    的值， 只需要把 1 2x   代入后计算即可. 解： 131 3 22 .2 412 12 f                    例 5 等腰三角形的周长等于 20cm，请写出这个等腰三角形的底边长  x cm 和腰长  y cm 之间的解析式. 分析 根据周长的定义，得 2 20x y  ，整理得 202 20 , 2 xy x y    ， 即 1 102y x   .函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或 公式，比如周长公式、面积公式等等. 答案： 1 102y x   说明：1. 变量 2x  是不是变量 x 的函数？ 解： 对于代数式 2x  ，给定 x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以 2x  与 x 有着确定的依 赖关系，可以把变量 2x  看做 y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量 x 和 y ，如 果在 x 的允许取值范围内，变量 y 随着 x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那 么变量 y 叫做变量 x 的 2. 对于“ ”中的“ f ”怎样理解？ 答：记号“  f x ”表示“ y 是 x 的函数”，这个记号比较抽象，“ f ”并不是表示一个变量，  f x 也 不是表示“ f ”与“ x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为 x ，用 f 表示变量 y 随着 x 的变化而变 化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如    g x h x、 等，以免引起混乱. 三、 巩固练习 1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？ （1）正方形的周长C 与它的边长 a ； （2）银行一年定期存款的本金 x 元与利息 y 元； （3）等腰三角形顶角的度数 x 与底角的度数 y ； （4）长方形的宽一定时，其长与面积； （5）等腰三角形的底边长与面积； 3 （6）关系式 y x 中的 y 与 x . 答案：（1）变量是周长 C 与边长 a ，是函数关系；（2）变量是本金 x 元与利息 y 元，是函数关系； （3）变量是顶角的度数 x 与底角的度数 y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系； （5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是 y 与 x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域； （1） 2y x  ； （2） 1y x  ； 答案： 一切实数 答案： 1x   （3） 2 3 4y x x   ； （4） 1 1y x   ； 答案：一切实数 答案： 1x  （5） 1y x x   ； （6） 2 xy x   答案： 0x  答案： 0x  且x 2 3. 在 ABCV 中，它的底边长是 a ，底边上的高是 h ，则三角形面积 1 2S ah ，当 a 为定长时，在此式子 中（ A ）. A. S、h 是变量， a 是常量 B. , ,S h a 是变量， 1 2 是常量 C. ,a h 是变量， 1 ,2 S 是常量 D. S 是变量， 1 , ,2 a h 是常量 4. 下列函数中，自变量的取值范围是 1 13 x  的是（ D ）. A. 1 3 1 xy x   B. 3 1 1 xy x   C. 1 3 1 xy x   D. 1 1 1 3 1 y x x     5. 如果   9f x x x   ，那么  3f  ___ 3 ____. 6. 已知   2 3 4 xf x x   ，则  0f  ___ 3 4 ____,  2f  ____ 5 2 8 14  _____. 7. 若 1 2 yx y   ，则 y 用 x 的代数式表示为 y  ___ 2 1 1 x x   ___. 4 8. 设某种电报收费标准是每个字 0.1 元，写出电报费 y （元）与字数 x （个）之间的函数关系式，并求自 变量 x 的取值范围. 答案：  0.1 0y x x x  且 是整数 提高题 1. 若函数 2 2 2 1 x xy x    ，则与函数值 0y  对应的 x 的值是（ D ）. A. 1x   或 2x  B. 1x  或 2x   C. 1x   且 2x  D. 2x  2. 把一块边长为 20 厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为 x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒 子的容积V（立方厘米）关于自变量 x（厘米）的函数解析式为__  220 2V x x  __,定义域为_ 0 10x  _. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量 y （升）与时 间 x （分）之间关系的图像大致是（ C ） A. B. c. D. . 正比例函数 一、知识点 1. 正比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为 y kx  或  0y kx k  . 解析式形如  0y kx k  的函数叫做正比例函数，其中，常数 k 叫做比例系数，正比例函数 y kx 的 定义域是一切实数. 2. 正比例函数的图像和基本性质 函数名称 解 析 式 图 像 性质 正比例函数  0y kx k  1.图像为过原点和点 1,k 的一条直线. 2. 当 0k  时，直线过第一、三象限. 1. 当 0k  时， y 的值随着 x 的增大而增大. 2. 当 0k  时， y 的值随着 x 5 3. 当 0k  时，直线过第二、四象限. 的增大而减小. 二、例题 例 1 若函数   31 my m x   是正比例函数，则 m  _________,函数的图像经过_________象限. 分析 由正比例函数的解析式可知， 3 1m   ，所以 4m  .把 4m  代入函数解析式，得 3y x ，再由 正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解： 4m  ，图像经过第一、三象限. 例 2 若 y 与 2 1x  成正比例，且函数图像经过点  3,1A  ,求 y 与 x 的函数解析式. 分析 由 y 与 2 1x  成正比例，可以设   2 1 0y k x k   .再把点 A 的坐标 3,1 代入函数解析式，即 可求出 k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法. 解 : Q y 与 2 1x  成 正 比 例 ，  设   2 1 0y k x k   . 把 点 A  3,1 代 入 ， 得 1 5k   ，  1 2 15y x    例 3 已知点 1 1,x y 和 2 2,x y 在正比例函数  2y k x  的图像上，当 1 2x x 时， 1 2y y ，那么 k 的取 值范围是多少？ 分析 由条件当 1 2x x 时， 1 2y y ，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值 y 随着 x 的值增大而减 小，即比例系数小于零. 解 ：由题意，函数值 y 的值随着 x 的值增大而减小， 0, 2k k   例 4 直角三角形的一条直角边是 6，写出它的面积 y 关于另一条直角边 x 的函数关系式并画出这个函数的 图像. 解：由直角三角形的面积公式，得 1 62 x y  .  3 0y x x   说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量 x 的取值范围，因为定义域为 6 0x  ，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点. 1. 如何理解正比例函数的性质：当 0k  时， y 随着 x 的值增大而逐渐增大，当 0k  时， y 随着 x 的值 增大而逐渐减小？ 答：从解析式来看，当 0k  时，若 1 2x x ，由不等式的性质有 1 2kx kx ，即 1 2y y ；当 0k  时，若 1 2x x 由不等式的性质有 1 2kx kx ，即 1 2y y ; 也可以结合正比例函数的图像去理解：当 0k  时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化， 点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值 y 相应地从小到大逐渐变化.当 0k  时类似. 2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性 质. 三、 巩固练习 1. 填空： （1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_ 2y x  __;函数的图像经过第__二、 四__象限. （2）正比例函数 2y x  的图像上一点横坐标为 2，纵坐标是__-4___, 函数值随 x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线 PO 的解析式：___ 3 4y x ___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过 原点（0,0）的一条直线；② y 的值随 x 的值增大而增大. 请你举出一个满足上述条件的函数：____ 2y x _（答案不唯一）___. 2. 选择： （1）下列函数中，正比例函数的是（ B ） A. 3y x  B. 3 2y x  C. 2 1 3 xy  D. 2y x （2）下列各点中，在直线 2y x 上的点有（ A ）. A. 2 , 12      B.  2, 2 C.  5, 10 D.  2,1 （3）函数 y kx 的图像经过点（1,4），那么  2y k x  的图像经过第（ B ）象限. 7 A. 一、三 B. 二、四 C. 一、二 D. 三、四 3. 已知 y 是 x 的正比例函数，当 2x  时， 1 2y  （1）求 y 与 x 的函数解析式； （2）求当 3x  时， y 的值； （3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1） 1 4y x ；（2） 3 4y  ；（3）略 4. 正比例函数 21 12y k x k       的图像经过第二、四象限，求函数的解析式. 答案： 1 2y x  5. 已知 3y  与 x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7） （1）求 y 与 x 的函数解析式； （2）求当 4x  时， y 的值； （3）求当 3y   时， x 的值. 答案：（1） 2 3y x  ； （2）11； （3）-3 6. 如果 2 8my mx  是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值  ,x y ，有 0xy  .求 m 的值. 答案：-3 7. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离 y （米）与时间 x （分）之间的关系. 根据图像回答： （1） 小明家与学校的距离是___3000__米； （2） 小明骑自行车的平均速度是___200___米/分； （3） 写出小明汽车途中，离开家的距离 y （米） 与时间 x （分）的函数关系式及定义域：___  200 0 15y x x   ___. 提高题 1. 正比例函数 y kx 的图像上有一点 A，过点 A 向 x 轴作垂线，垂足为点 B，点 B 的坐标为（2,0）.若 8 三角形 OAB 的面积为 6，试求 k 的值. 答案：3 或-3 2. 已知正比例函数的自变量 x 减小 2 时，对应的函数值增加 4.求该正比例函数的解析式. 答案： 2y x  3. 已知点    1 22, , 1,A y B y 是正比例函数 y kx 的图像上的两个点.若 1 2y y ，试判断 k 的取值范围. 答案： 0k  家庭作业 一、 填空题： 1. 若   2 1 my m x  是正比例函数，则 m  ___1___. 2. 已知函数   3 3 g x x   ，则  2g  ___3___. 3. 在直角坐标系中，若点  , 4M x  和点  3,N y 关于 x 轴对称，则 x y  _7__. 4. 如果正比例函数 3 xy  的图像过点 6,k ，那么 k  ___2___. 5. 已知矩形的周长为 12，若矩形一边长为 x ，面积为 y ，则 y 与 x 的函数关系式及定义域是 __  2 6 0 6y x x x     ___. 6. 若 等 腰 三 角 形 顶 角 的 度 数 为 y ， 底 角 的 度 数 为 x ， 则 y 与 x 的 函 数 关 系 式 及 定 义 域 是 __  180 2 0 90y x x     ___. 7. 若等腰三角形的周长是 20cm ，腰长与底边长分别是 ycm 和 xcm ，那么 y 与 x 的函数关系式为 __ 10 2 xy   __,定义域为__0 10x  __. 8. 若  2 5y a x b    是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则 a b  __2__. 9. 若等腰梯形的周长为 20cm ，上底长 ycm ，底角为 30 ，腰长 xcm ，则 y 与 x 的函数关系式为 __ 2 310 2y x  __. 10. 若 y 与 x 成正比例，且当 4x  时， 3y   则当 32x  时， y  __ 6 2 ___. 二、 选择题 11. 若  2 ,P x y 是 1P 关于 y 轴的对称点，而点 1P 在第三象限内，则（ A ） 9 A. 0, 0x y  B. 0, 0x y  C. 0, 0x y  D. 0, 0x y  12. 若点  1 1 1,P x y 与  2 2 2,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ） A. 1 2 1 2x x y y   ； B. 1 2 1 2x x y y   ； C. 1 2 1 2 y y x x  ； D. 1 2 2 1x y x y . 13. 平面直角坐标系中有点  4,3A  ,那么点 A 到 x 轴的距离是（ A ） A. 3 ; B. -3 ; C. 4 ; D. -4. 14. 点  1 1,A x y 与  1 1,B y y 之间的距离是（ A ） A. 1 1x y ； B. 1 12 x y ； C. 2 2 1 1x y ； D. 2 2 1 12 x y ； 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高； C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长； D. 商品的价格确定时，销售额与销售量； E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标； F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、 简答题 16. 求下列函数的定义域： （1） 3 22 6 12y x x x    ； （2） 2 7y x  ； 答案：一切实数 答案： 7 2x  （3） 12 6 xy x   ； （3） 2 14 3 xy x   . 答案： 12 6x x  且 答案： 14 3x  17. 已知   22 5f x x   ，求    5 +13f f a f a    、 、 . 答案： 5 5 3 9f       ；   22 5f a a   ； 22 4 3a a   18. 已知正比例函数 2 3y x  . (1) 当 x 取何值时， 3y   ； (2) 当 x 取何值时， 3y   ； (3) 当 x 取何值时， 3y   ； 10 (4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）    9 9 9; 2 ; 3 (4)2 2 2x x x   略 四、 综合题 已知函数  0y kx k  的图像与函数 3 4y x 的图像关于 y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各 （1） 在函数 3 4y x 的图像上取一点 A（横坐标为 4），点 A 的坐标是__ 4,3 __;设点 A 关于 y 轴对称的 点为 A’，那么 A’的坐标是__ 4,3 __; （2） 过原点和点 A’画直线 OA’，它与直线 3 4y x 关于 y 轴对称吗？___对称____; （3） 如果在函数 3 4y x 的图像上选取另一点 B，点 B 关于 y 轴对称的点 B’在直线 OA’上吗？ ________在_______; （4） 已知函数  0y kx k  的图像与函数 3 4y x 的图像关于 y 轴对称，那么 k 的值是多少？ _____ 3 4y x  ____.