注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷 选择题部分（共 60 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2021·湖南高三月考）已知全集 1 8U A B x x N ， 1,3,5,7UA B ð ，则 B （ ）
A． 1,0,2,4,6,8 B． 2,4,6 C． 2,4,6,8 D． 0,2,4,6,8
【答案】D
【解析】
求出全集U ，结合 1,3,5,7UA B ð 可求得集合 B .
【详解】
0,1,2,3,4,5,6,7,8U A B ， 1,3,5,7UA B ð ，
因此， 0,2,4,6,8B ，
故选：D.
2．（2021·浙江高一单元测试）魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾
尔内于 1974 年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大
不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切
开所得，现将三阶魔方中 1 面有色的小正方体称为中心方块，2 面有色的小正方体称为边缘方块，3 面有色
的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
A． 2
9 B． 8
27 C． 4
9 D． 1
2
【答案】C
【解析】
由题可知正方体切开共有 27 个小正方体，其中只有 2 个面涂色的小正方体共有 12 个，进而根据古典概型
即可得答案.
【详解】
沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有 27 个，
其中有 3 个面涂色的小正方体共有 8 个，
只有 2 个面涂色的小正方体共有 12 个，
只有 1 个面涂色的小正方体共有 6 个，
所以恰好抽到只有 2 个面有色的小正方体的概率为 12 4
27 9
．
故选：C．
3．（2021·甘肃高三二模（文））中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子·地员篇》的三分损益法，
三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其 1
3
，即三分损一，可得出该弦音的
上方五度音；将该弦增长 1
3
，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫､徵(zhǐ)，
商､羽､角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为 81，请
根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为（ ）
A．72 B．48 C．54 D．64
【答案】B
【解析】
按三分损一和三分益一的顺序交替进行计算可得结果
【详解】
依题意，将“宫”的律数 81 三分损一可得“徵”的律数为 181 (1 ) 543
，
将“徵”的律数 54三分益一可得“商”的律数为 154 (1 ) 723
，
将“商”的律数 72 三分损一可得“羽”的律数为 172 (1 ) 483
.
故选：B
4．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，直线
2 0x y 经过C 的左焦点 1F ，交 y 轴于 A点，交双曲线 C 的右支于 B 点，若 1 2F A AB ，则该双曲线
的离心率是（ ）
A． 102 2
B． 3 2 10
2
C． 3 2 5
2
D． 3 2 52
【答案】B
【解析】
直线 2 0x y 经过C 的左焦点 1F ，交 y 轴于 A点，可得两点的坐标，由对称性得出 1 2| |,| |F A F A
，由
1 2F A AB 得出| |AB
uuur ，利用勾股定理得出 2F B
，根据定义求出 2a 和 2c ，以及双曲线的离心率．
【详解】
由直线 2 0x y 经过双曲线 C 的左焦点 1F ，可知 1 -2,0 , 0,2F A ，结合已知条件可得
1 2| | | | 2| | 2 2F A F A AB ， 2 90BAF ，则 2 10F B ，所以 1 22 3 2 10a F B F B ，
又 2 4c ，所以该双曲线的离心率 4 3 2 10
23 2 10
ce a
，故选 B．
5．（2021·山东高三专题练习）若非零向量 ,a b
满足 3a b
， 2 3a b b
，则 a
与b
的夹角为（ ）
A．
6
B．
3
C． 2
3
D． 5
6
【答案】C
【解析】
先由 2 3a b b 得出向量 ,a b
的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
2 3a b b Q
r r r
， 2
2 3 2 3 0a b b a b b
r r r r r r
，
23
2a b b
r r r
又 3a b
22
2
3 3
12 2
23
cos
3
b
a b b b
bb
b
a
rr r
r r r
r
r r ，
又向量夹角范围为[0, ] ，所以 a
与b
的夹角为 2
3
，
故选：C.
6．（2021·全国高二课时练习）已知 2 2,
n
x n n N ，展开式中 x 的系数为 f n ，则
2 3 20192 2 2 2
(2) (3) (4) (2020)f f f f
等于（ ）
A． 2019
110 B． 2019
505 C．1009
1010 D． 1009
505
【答案】B
【解析】
由题知 2 22n
nf n C ，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案.
【详解】
∵ 2 2,
n
x n n N ，展开式中 x 的系数为 2 22n
nf n C ，
∴则
2 3 2019 2 3 2019
2 2 2 2 2018
3 4 2020
2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 2020 1 2 2 2f f f f C C C
2 2 2
3 4 2020
2 2 2 2 2 22 2 3 2 4 3 2000 2019
2 2 2
C C C
4 4 42 3 2 4 3 2020 2019
1 1 1 1 1 12 4 2 3 3 4 2019 2020
1 1 20192 4 2 2020 505
，
故选：B．
7．（2021·甘肃高三二模（文））抛物线 2 2 0y px p 准线上的点 A 与抛物线上的点 B 关于原点O 对称，
线段 AB 的垂直平分线 OM 与抛物线交于点 M ，若直线 MB 经过点 4,0N ，则抛物线的焦点坐标是（ ）
A． 4,0 B． 2,0 C． 1,0 D． 1 ,02
【答案】C
【解析】
设点 1 1,B x y 、 2 2,M x y ，设直线 MB 的方程为 4x my ，将直线 MB 的方程与抛物线的方程联立，
列出韦达定理，由 0OB OM 可求出 p 的值，进而可得出抛物线的焦点坐标.
【详解】
设点 1 1,B x y 、 2 2,M x y ，则点 1 1,A x y ，可得 1 2
px ，则 1 2
px ，
设直线 MB 的方程为 4x my ，联立 2
4
2
x my
y px
，可得 2 2 8 0y mpy p ，
所以， 1 2 8y y p ，
由题意可知，
2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 22 2
64 8 16 8 04 4
y y pOB OM x x y y y y p pp p
，解得 2p .
因此，抛物线的焦点为 1,0 .
故选：C.
8．（2015·江西鹰潭市·高三一模（理））设函数 ，若对任意给定的 ，都存在
唯一的 ，满足 ，则正实数 a 的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：当 时， ，值域为（0,1]，所以 ；当 时， ，
值域为 ，所以 ；当 时， ，值域为 ，则
，故 ，当 时， 值域为 ,当
时， 值域为 ，因为 ，所以 ，对称轴为
，故 在 上是增函数，则 在上 的值域为 ，即
），有题意知， ，解得 ，故正实数 a 的最小值为 .
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．（2021·浙江高一期末）已知 ,z a bi a b R 为复数，z 是其共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
A． 22z z B． 2z z z
C．若 2z 为纯虚数，则 0a b D．复数 z 是实数的充要条件是 z z
【答案】BD
【解析】
利用特殊值法可判断 A 选项的正误；利用复数的乘法可判断 B 选项的正误；利用复数的乘法以及复数相等
可判断 C 选项的正误；利用复数的概念结合充分条件、必要条件的定义可判断 D 选项的正误.
【详解】
对于 A 选项，取 1z i ，则 22 1 2z i i ， 2 2 21 1 2z ，所以， 22z z ，A 选项错误；
对于 B 选项， 22 2z z a bi a bi a b z ，B 选项正确；
对于 C 选项， 22 2 2 2z a bi a b abi 为纯虚数，则
2 2 0
2 0
a b
ab
，即 0a b ，C 选项错误；
对于 D 选项，充分性：若 z 为实数，即 z a ，此时 z a ， z z ，充分性成立.
必要性：若 z z ，即 a bi a bi ，可得b b ，即 0b ， z R ，必要性成立.
所以，复数 z 是实数的充要条件是 z z ，D 选项正确.
故选：BD.
10．（2020·湖北高三期中）已知曲线 2( ) ( 0)xf x ae a 与曲线 2( ) ( 0)g x x mm 有公共点，且在第一
象限内的公共点处的切线相同(e 是自然对数的底数)，则当 m 变化时，实数 a 取以下哪些值能满足以上要求
（ ）
A．1 B．e C． 2e D． 2e
【答案】AB
【解析】
两个函数有公切线，则在切点处函数值相同，导数值相同，可以得到参数 a，m 与切点的关系，从而可以构
造函数，把问题转化为函数交点问题，求参数取值范围，然后观察选项是否在区间内即可.
【详解】
设公切点为 0 0( , )x y ， 0 0x ，则 0 2 2
0 0
xy ae x m ，
求导得， 2( ) xf x ae ， ( ) 2g x x ，
由切线相同知， 0 0( ) ( )f x g x ，即 0 2
02xae x ，
则 2 2
0 0 0 0 02 2 0 2x m x m x x x ，
0
0
2
2
x
xa e ，
令 2
2( ) x
xh x e ， 2x ，
2
2 2( ) x
xh x e
，在 2x 时， ( ) 0h x ， ( )h x 单调递减， ( ) (2) 4h x h ；
故函数 ( )h x 的值域为 (0, 4) ，即只需 (0,4)a 均可满足条件.
易知， 1a 或 e 时均满足， 2a e 或 2e 时不满足；
故选：AB.
11．（2021·江苏徐州市·高三月考）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相
同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截
而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 2 ，则（ ）
A．BF⊥平面 EAB
B．该二十四等边体的体积为 20
3
C．该二十四等边体外接球的表面积为 8π
D．PN 与平面 EBFN 所成角的正弦值为 2
2
【答案】BCD
【解析】
A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；
D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．
【详解】
解：对于 A ，假设 A 对，即 BF 平面 EAB ，于是 BF AB ，
90ABF ，但六边形 ABFPQH 为正六边形， 120ABF ，矛盾，
所以 A 错；
对于 B ，补齐八个角构成棱长为 2 的正方体，
则该二十四等边体的体积为 3 1 1 202 8 1 1 13 2 3
，
所以 B 对；
对于 C ，取正方形 AC PM 对角线交点 O ，
即为该二十四等边体外接球的球心，
其半径为 2R ，其表面积为 24 8R ，所以C 对；
对于 D ，因为 PN 在平面 EBFN 内射影为 NS ，
所以 PN 与平面 EBFN 所成角即为 PNS ，
其正弦值为 1 2
22
PS
PN
，所以 D 对．
故选： BCD．
12．（2021·江苏徐州市·高三月考）已知函数 sin cosx xf x e e ，其中 e 是自然对数的底数，下列说法中，
正确的是（ ）
A． f x 在 0, 2
是增函数
B．
4f x
是奇函数
C． f x 在 0, 上有两个极值点
D．设 f xg x x
，则满足 1
4 4
n ng g
的正整数 n 的最小值是 2
【答案】ABD
【解析】
利用函数单调性与导数的关系可判断 A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断 B 选项的正误；利用函
数的极值与导数的关系可判断 C 选项的正误；验证 1n 、2 时， 1
4 4
n ng g
是否成立，由此可
判断 D 选项的正误.
【详解】
对于 A 选项，当 0, 2x
时， sin 0x ， cos 0x ，
sin coscos sin 0x xf x x e x e ，所以，函数 f x 在 0, 2
是增函数，A 选项正确；
对于 B 选项，令 sin cos4 4
4
x x
g x f x e e
，该函数的定义域为 R ，
sin sin cos4 2 4 4x x x
，
cos cos sin4 2 4 4x x x
，
则 sin cos cos sin4 4 4 4
4
x x x x
g x f x e e e e g x
，
所以，函数
4f x
为奇函数，B 选项正确；
对于 C 选项，当 0, 2x
时， 0f x ，且 1 02f
，
所以，函数 f x 在 0, 2
内无极值点；
sin 2 cos 2cos sin cos sinx xf x e x x e x x ，
①当 3,2 4x
时， 2sin ,12x
， 2cos ,02x
，则 2 1cos 0, 2x
，
则 2cos sin 0x x ， 2cos sin 0x x ，此时， 0f x ，
所以，函数 f x 在 3,2 4
上单调递减，
12f ，
2 2
2 23 2 04 2f e e
，
所以，函数 f x 在 3,2 4
上只有一个极值点；
②当 3 ,4x
时， 2sin 0, 2x
， 2cos 1, 2x
，
所以， sin cosx x ， sin cosx x ，则 sin cos 0x xe e ，
所以， sin coscos sinx xx e x e ，则 sin cos sin coscos sin cos sin 0x x x xf x x e x e x e x e ，
所以，函数 f x 在 3 ,4
上没有极值点.
综上所述，函数 f x 在 0, 上只有一个极值点，C 选项错误；
对于 D 选项， sin cosx xf x e eg x x x
.
当 1n 时，
sin os4 c 4
04
4
g e e
，
sin cos2 2 2 1 02
4
2
g e e e
， 2
4 4g g
不成立；
当 2n 时，
3 3sin cos 2 24 4
2 23 4
34 3
4
e eg e e
，
当 3,2 4x
时， 2sin ,12x
， 2cos ,02x
，
4 2
3 ， 2 2
2 2 1.57e e
， 1 1.71e ，则
2 2
2 24 2 13 e e e
，
所以， 3
4 2g g
，
所以，满足 1
4 4
n ng g
的正整数 n 的最小值是 2 ，D 选项正确.
故选：ABD.
第 II 卷 非选择题部分（共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．（2020·全国高二课时练习）若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S9＝－36，S13＝－104，则 a5 与 a7 的等差
中项为________．
【答案】－6
【解析】
由等差数列的通项公式即可得出结果.
【详解】
设等差数列{an}的公差为 d，
∵ 9 1 1
13 1
9 36 36 4
13 78 104 2
S a d a
S a d d
∵a5 与 a7 的等差中项为 a6，∴a6＝4＋5×(－2)＝－6.
故答案为：-6
14．（2021·全国高三其他模拟）已知直线l ： 8 2 0kx y k 过定点 P ，过点 P 向圆O ： 2 2 1x y 作
切线，切点分别为 ,A B ，则弦 AB 所在的直线方程为______．
【答案】8 2 1 0x y
【解析】
根据直线过定点求得 P 点坐标，根据 , , ,O A P B 四点共圆可知弦 AB 是圆O 和圆C 的公共弦，由圆心和半
径可得圆 C 方程，利用两圆相交时，相交弦所在直线方程的求法可得所求直线方程.
【详解】
8 2 0kx y k Q ， 8 2 0k x y ，
由 8 0
2 0
x
y
得： 8
2
x
y
， 8,2P ．
PA OA ， PB OB ，点 , , ,O A P B 四点共圆，且圆心C 为 OP 的中点，
弦 AB 是圆O 和圆C 的公共弦，
又 8 0 2 0,2 2C
，即 4,1C ，且圆 C 的半径 172
OPR ，
圆C ： 22 24 1 17x y …①，又圆O ： 2 2 1x y …②，
由① ②得：弦 AB 所在直线方程为：8 2 1 0x y ．
故答案为：8 2 1 0x y .
15．（2021·全国高二课时练习）在“学习强国”APP 中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得 3 分，第二局胜
利得2分，失败均得1分.如果甲每局胜利的概率为 1
4
，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分期望为______．
【答案】 11
4
【解析】
根据题意，分析可得 可取的值为 2，3，4，5，由互斥事件的概率公式计算可得 ( 2)P 、 ( 3)P 、 ( 4)P 、
( 5)P 的值，由随机变量的期望公式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，该人参加两局答题活动得分为 ，则 可取的值为 2，3，4，5，
若 2 ，即该人两局都失败了，则 1 1 9( 2) (1 ) (1 )4 4 16P ，
若 3 ，即该人第一局失败了，而第二局胜利，则 1 1 3( 3) (1 )4 4 16P ，
若 4 ，即该人第一局胜利，而第二局失败，则 1 1 3( 4) (1 )4 4 16P ，
若 5 ，即该人两局都胜利了，则 1 1 1( 5) 4 4 16P ，
故 9 3 3 1 44 112 3 4 516 16 16 16 16 4E ，
故答案为：11
4
．
16．（2020·江苏常州市·高一期中）记号 max ,a b 表示 a ，b 中取较大的数，如 max 1,2 2 ．已
知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，且当 0x 时，
2
2
2max , 4x x x af x a
．若对任意 xR ，
都有 1f x f x ，则实数 a 的取值范围是______．
【答案】 2 2,0 0,4 4
【详解】
由题意，当 0x 时，令
2
2
2 4 0x x x aa
，故 2 44 0x a
解得 20 2x a ，此时
22 2 2
2 2
2 2 2
1 1
2 4
x a af x x x a x xa a a
2 22 2f a a
故 20 2x a 时，
2
22 , 4
af x a
令
2
2
2 4 0x x x aa
，故 2 44 0x a
解得 22x a ，此时 24f x x a ，
又因为函数 f x 是定义域 R 上的奇函数，所以图象关于原点对称，且 0 0f ，
故 22 0a x 时，
2
2,2 ,4
af x a
所以函数 f x 的图象如图所示，
要使得 ( 1)f x f x ，根据图象的平移变换，
由图象分析可得 2 24 ( 4 ) 1a a 且 0a ，解得 28 1a 且 0a ，即 2 2
4 4a 且 0a .
故答案为： 2 2,0 0,4 4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·全国高二课时练习）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知满足______，求公比q以及a12+a22+…+an2．
从①a2a5=-32 且 a3+a4=-4，②a1=1 且 S6=9S3，③S2=a3-1 且 S3＝a4-1 这三组条件中任选一组，补充到上面问
题中，并完成解答．
【答案】答案见解析
【解析】
由选出的题设条件求出等比数列{an}的首项、公比，判断 2{ }na 为等比数列，利用公式求和而得.
【详解】
若选①，则有 a2a5=a3a4=-32，故有 a3a4=-32，a3+a4=-4，解得 a3=4，a4=-8，或 a3=-8，a4=4，即 q=-2 或 1
2q ，
因为 2{ }na 是以 2
1a 为首项，q2 为公比的等比数列，
若 q=-2，则 a1= 3
2
a
q =1，此时 2 2 2
1 2
4 1
3
n
na a a L ；
若 1
2q ，则 a1= 3
2
a
q
-32，此时
12
2 2 2
1 2
2 1(1 )3 4n na a a ．
若选②，S3≠0， 6 3 4 5 6
3 1 3 3
8S S a a a
S a a a
，即 q3=8，故 q=2．
因为 2{ }na 是以 2
1a 为首项，q2 为公比的等比数列，所以 2 2 2
1 2
4 1
3
n
na a a L ．
若选③，S2=a3-1，S3=a4-1，两式相减，得 a3=a4-a3，即 a4=2a3，故 q=2．
又 a1+a2=a3-1，则 a1+2a1=4a1-1，即 a1=1．
因为 2{ }na 是以 2
1a 为首项，q2 为公比的等比数列，所以 2 2 2
1 2
4 1
3
n
na a a L ．
18．（2021·四川成都市·树德中学高一月考）如图，在凸四边形 ABCD 中，C 、D 为定点， 3CD ，A ，
B 为动点，满足 1AB BC DA .
（1）若
4C = ，求 cos A的值；
（2）设 BCD△ 和 ABD△ 的面积分别为S和T ，求 2 2S T 的最大值.
【答案】（1） 6 12
；（2） 7
8 .
【解析】
（1）连接 BD ，根据 3CD ， 1AB BC DA ，分别在 BCD△ 和 ABD△ 中，利用余弦定理结合
4C =
求解；
（2）在 BCD△ 和 ABD△ 中，分别利用面积公式得到 S，T，再由 2 2S T
2
3 3 7cos2 6 8C
，利
用二次函数的性质求解.
【详解】
（1）如图所示：
连接 BD ，
∵ 3CD ， 1AB BC DA ，
∴在 BCD△ 中，利用余弦定理得： 2 2 2 2 cos 4 2 3 cosBD BC CD BC CD C C ；
在 ABD△ 中， 2 2 2cosBD A ，
∴ 4 2 3 cos 2 2cosC A ，
则 cos 3 cos 1A C ；
2 6cos 3 1 12 2A .
（2）由 1 3sin sin2 2S BC CD C C ， 1 1sin sin2 2T AB AD A A ，
∵ cos 3 cos 1A C ，
∴ 2 2 2 2 2 23 1 3 1sin sin 1 cos 1 cos4 4 4 4S T C A AC ，
23 3 3cos cos2 2 4C C ，
2
3 3 7cos2 6 8C
.
则当 3cos 6C 时，
2 2S T 有最大值 7
8 .
19．（2021·全国高三其他模拟）如图所示，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB BC ，点 1A 在平面 ABC 的射
影为线段 AC 的中点，侧面 1 1AAC C 是菱形，过点 1B ， B ， D 的平面 与棱 1 1AC 交于点 E .
（1）判断四边形 1BB ED 的形状并证明；
（2）求 1CB 与平面 1 1ABB A 所成角的正弦的最大值.
【答案】（1）矩形，证明见解析；（2） 2
3 .
【解析】
（1）由已知根据线面平行的判定定理证得 1 //B B 平面 1 1A ACC .再运用面面平行的判定和性质证得四边形
1BB ED 为平行四边形.运用线面垂直的判定定理可证得 BD 平面 1 1ACC A ，从而得出结论.
（2）由（1）知 DB ， AC ， 1A D 两两垂直，以 DB ， AC ， 1A D 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系 D xyz .运用线面角的向量求解方法可求得答案．
【详解】
解：（1）四边形 1BB ED 为矩形，证明如下：
取 1 1AC 中点为 E ，连接 1B E ，DE .在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1A ABB 为平行四边形，所以 1 1//B B A A，
又因为 1B B 平面 1 1A ACC ， 1A A 平面 1 1A ACC ，所以 1 //B B 平面 1 1A ACC .
因为 1B B 平面 1BB D ，且平面 1BB D 平面 1 1A ACC DE ，所以 1 //B B DE .
因为在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 //ABC 平面 1 1 1A B C ，平面 1BB D 平面 ABC BD ，
平面 1BB D 平面 1 1 1 1A B C B E ，所以 1//BD B E ，所以四边形 1BB ED 为平行四边形.
在 ABC 中，因为 AB BC ， D 是 AC 的中点，所以 BD AC .
由题可知 1A D 平面 ABC ，所以 1A D BD ， 1A D AC ，
因为 1AC A D D ，所以 BD 平面 1 1ACC A ，
所以 BD DE ，故四边形 1BB ED 为矩形.
（2）由（1）知 DB ， AC ， 1A D 两两垂直，以 DB ， AC ， 1A D 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz .
设 1AD ， BD a ，在 1AA D△ 中， 1 2AA AD ， 1 90A DA ，所以 1 3A D ，
所以 (0,0,0)D ， (0, 1,0)A ， 1 0,0, 3A ， ( ,0,0)B a ，则 1 0,1, 3AA
， ( ,1,0)AB a
.
因为 0,1, 3E ，所以 1 ,1, 3DB DE DB a
，即 1 ,1, 3B a .
因为 (0,1,0)C ，所以 1 ,0, 3CB a
.设平面 1 1ABB A 的法向量为 ( , , )n x y z ，
则 1 0,
0,
n AA
n AB
即 3 0,
0,
y z
ax y
所以
3 ,
3 .
y z
x za
令 z a ，则 3y a ， 3x ，所以 3, 3 ,n a a
.
设 1CB 与平面 1 1ABB A 所成角为 ，
则 1
1 2 2
1
2 3sin cos ,
3 4 3
n CB an CB
n CB a a
4 2
2
2
2 3 2 3 2 3 2
39 12 154 9 15 4 15
a
a a a a
，
当且仅当 2
2
94a a
，即 6
2a 时等号成立.
故 1CB 与平面 1 1ABB A 所成角的正弦值最大为 2
3 .
20．（2021·湖北高二期中）已知新高考数学共 4 道多选题，评分标准是每题满分 5 分，全部选对得 5 分，部
分选对得 2 分，有错选或不选的得 0 分.每道多选题共有 4 个选项，正确答案往往为 2 项或 3 项.为了研究多
选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为 1
2
，正确答案是“选三项”
的概率为 1
2 .现有学生甲､乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
（1）已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得 0 分的概率；
（2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试比较两个同学的策略，谁的策
略能得更高的分数？并说明理由.
【答案】（1） 2
3
；（2）学生甲的策略最好，理由见解析.
【解析】
（1）分情况：乱猜一个选项得 2 分，乱猜两个选项得 5 分，利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可
求解.
（2）甲得分 X 的可能取值为 0，2；乙得分Y 的可能取值为 0，2，5，列出分布列，求出数学期望即可比
较得分的高低.
【详解】
（1）分两类：乱猜一个选项得 2 分，乱猜两个选项得 5 分.
①猜一个选项得 2 分的概率为 1
2
；
②猜两个选项得 5 分的概率为
2
2
2
4
1
6
C
C
，
故已知某题正确答案是“选两项”，学生甲不得 0 分的概率 1 1 2
2 6 3P .
（2）设甲､乙两人的得分分别为 X ，Y ，
两人的得分期望分别为 E X ， E Y ，
学生甲： X 的可能取值为 0，2，
1 1 1 3 52 2 2 2 4 8P X ，
1 1 1 1 30 2 2 2 4 8P X ，
学生甲的得分 X 的分布列为
X 0 2
P 3
8
5
8
故 5
4E X .
学生乙：Y 的可能取值为 0，2，5，
2
3
2
4
1 12 2 4
CP Y C
，
2
2
2
4
1 15 2 12
CP Y C
， 20 3P Y ，
学生乙的得分Y 的分布列为
Y 0 2 5
P 2
3
1
4
1
12
故 11
12E Y .
因为 E X E Y ，所以学生甲的策略最好.
21．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆 C：
2 2
2 2
x y
a b
＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 2
2
，且由椭圆上顶点、
右焦点及坐标原点构成的三角形面积为 2．
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ)已知 P(0，2)，过点 Q(﹣1，﹣2)作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点(异于 P)，直线 PA、PB 的斜率分别为
k1、k2．试问 k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．
【答案】(Ⅰ)
2 2
8 4
x y ＝1；(Ⅱ)是，定值为 4.
【解析】
(Ⅰ)由离心率得 2
2
ce a
，三角形面积得 1 22 bc ，结合 2 2 2a b c 可解得 , ,a b c ，得椭圆方程；
(Ⅱ) 当直线 l 斜率不存在时，直接求得 ,A B 两点坐标，计算 1 2k k ，当直线 l 斜率存在时，设其方程为
( 2) [ ( 1)]y k x ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程代入椭圆方程后整理并应用韦达定理得 1 2 1 2,x x x x ，
代入 1 2k k 化简后可得结论．
【详解】
(Ⅰ)由题意得
2 2 2
2
2
1 22
a b c
c
a
bc
，解得 a2＝8，b2＝4，所以椭圆 C 的方程为
2 2
8 4
x y ＝1．
(Ⅱ)k1+k2 为定值 4，证明如下：
(ⅰ)当直线 l 斜率不存在时，l 方程为 x＝﹣1，由方程组 2 2
1
18 4
x
x y
易得 14( 1, )2A ， 141, 2B
，
于是 k1＝
142 4 142
0 ( 1) 2
，k2＝
142 ( ) 4 142
0 ( 1) 2
，所以 k1+k2＝4 为定值．
(ⅱ)当直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y﹣(﹣2)＝k[x﹣(﹣1)]，即 y＝kx+k﹣2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组 2 2
2
18 4
y kx k
x y
，消去 y，得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k＝0，
由韦达定理得
1 2 2
2
1 2 2
4 ( 2)
1 2
2 8
1 2
k kx x k
k kx x k
(*)
∴k1+k2＝ 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
2 2 ( 2) ( 2)y y y x y x
x x x x
＝ 1 2 2 1
1 2
( 4) ( 4)kx k x kx k x
x x
＝ 1 2 1 2
1 2
2 ( 4)( )kx x k x x
x x
＝2k+(k﹣4)• 1 2
1 2
x x
x x
，将(*)式代入上式得 k1+k2＝4 为定值.
22．（2021·山东高三二模）已知函数 21( ) cos 22f x x x ， 21( ) sin e2
bxg x x x ．
（1）求函数 ( )f x 的最小值；
（2）若关于 x 的不等式 ( ) ( )f x g x 在 [0, )x 恒成立，求实数b 的取值范围．
【答案】（1） 1 ；（2）[1,+ ) ．
【解析】
（1）求导分析单调性从而求得最小值；
（2）不等式 ( ) ( )f x g x 等价于 e sin cos 2 0bx x x ，设 ( ) e sin cos 2bxp x x x ，通过求导讨
论参数分析单调性，求得最小值，即可求得结果．
【详解】
解：（1） 21( ) cos 22f x x x ， ( ) sinf x x x ．
令 ( ) sinh x x x ，则 ( ) 1 cosh x x
因为 ( ) 0h x 在 R 上恒成立，所以 ( )h x 在 R 上单调递增．
又因为 (0) 0h ，所以当 0x 时， ( ) 0h x ；当 0x 时， ( ) 0h x ．
即 (0) 0f ，当 0x 时， ( ) 0f x ；当 0x 时， ( ) 0f x ，
所以 ( )f x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，
因此， ( )f x 的最小值为 (0) 1f ；
（2）不等式 ( ) ( )f x g x 等价于 e sin cos 2 0bx x x ．
设 ( ) e sin cos 2bxp x x x ，则由题意得 ( ) 0p x 在 [0, )x 内恒成立，
( ) e cos sinbxp x b x x ， (0) 1p b ．
①当 1b 时， (0) 0p ，这时 0 0x ，使当 00,x x 时， ( ) 0p x ，
从而 ( )p x 在 00, x 上单调递减，又因为 (0) 0p ，所以当 00,x x 时，
( ) 0p x ，这与 ( ) 0p x 在[0, ) 内恒成立不符．
②当 1b 时，对于任意的 0x ，bx x ，从而 e ebx x ，这时 ( ) e sin cos 2xp x x x ．
设 ( ) e sin cos 2xq x x x ，则 ( ) e cos sinxq x x x
设 ( ) e 1xx x ，则 ( ) e 1xx ，
当 0x 时， ( ) 0x ，所以 ( ) x 在[0,+ ) 上单调递增，
又因为 (0) 0 ，所以当 0x 时， ( ) 0x ，即 e 1x x ，
因此， ( ) 1 cos sin 0q x x x x ，所以 ( )q x 在[ )0,+¥ 上单调递增，
又因为 (0) 0q ，所以当 0x 时， ( ) 0q x ，从而 ( ) 0p x ．
综上，实数b 的取值范围为[1,+ ) ．
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