2021 届山东省(新高考)数学临考仿真模拟演练卷(二)
(时间:120 分钟 分值:150 分)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 { || | 3, }A x x x Z , { || | 1, }B x x x Z ,则 A B ( )
A. {1,2,3,5,7,11}A B.{ 3, 2,2,3}
C.{ 2,0,2} D.{ 2,2}
2.设复数 z 满足| |1 1z ,则 z 在复平面内对应的点为 ( ),x y ,则( )
A. 2 21 1x y B. 2 21 1( )x y C. 2 2( )1 1x y D. 22 1 1x y
3.函数 ( )f x x x a b 是奇函数的充要条件( )
A. 0ab B. 2 2 0a b C. a b D. 0a b
4.函数 log 1a
af x x ax
的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知 m , n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列判断正确的是( )
A.若 , m , n ,则直线 m 与 n 一定平行
B.若 m , n , ,则直线 m 与 n 可能相交、平行或异面
C.若 m , //n ,则直线 m 与 n 一定垂直
D.若 m , n , // ,则直线 m 与 n 一定平行
6.已知函数 2 1, 2
2 3 , 2
x
x a
xf x
x
,若 2 1f f ,则实数 a 的取值范围是( )
A. ,2 B. ,3 C. 3, D. 2,
7.点 F 为抛物线 2 4y x 的焦点,点 (2,1)A ,点 P 为抛物线上与直线 AF 不共线的一点,则 APF△
周长的最小值为( )
A.3 2 B.3 2 C. 4 D. 2 2
8.若某同学连续 3 次考试的名次( 3 次考试均没有出现并列名次的情况)不低于第 3 名,则称该同
学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续 3 次考试名次的数据,推断一定是尖子
生的是( )
A.甲同学:平均数为 2 ,方差小于1 B.乙同学:平均数为 2 ,众数为1
C.丙同学:中位数为 2 ,众数为 2 D.丁同学:众数为 2 ,方差大于1
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.已知函数 πcos 0, 0, 2f x A x A
的部分图象如图所示,则下列关于函数
f x 的说法中正确的是( )
A.函数 f x 最靠近原点的零点为
3
π B.函数 f x 的图象在 y 轴上的截距为 3
C.函数 5π
6f x
是偶函数 D.函数 f x 在 7π2π, 3
上单调递增
10. ABC△ 中, D 为边 AC 上的一点,且满足 1
2AD DC ,若 P 为边 BD 上的一点,且满足
0, 0AP mAB nAC m n ,则下列结论正确的是( )
A. 2 1m n B. mn 的最大值为 1
12
C. 4 1
m n
的最小值为 6 4 2 D. 2 29m n 的最小值为 1
2
11.如图,在棱长为 6 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,E 为棱 1DD 上一点,且 2DE ,F 为棱 1 1C D
的中点,点G 是线段 1BC 上的动点,则( )
A.无论点 G 在线段 1BC 上如何移动,都有 1 1AG B D
B.四面体 A BEF 的体积为 24
C.直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 2 10
15
D.直线 1AG 与平面 1BDC 所成最大角的余弦值为 1
3
12.设函数 ( ) lnf x x x , 21( ) 2g x x ,给定下列命题,其中正确的是( )
A.若方程 ( )f x k 有两个不同的实数根,则 1 ,0k e
B.若方程 2( )kf x x 恰好只有一个实数根,则 0k
C.若 1 2 0x x ,总有 1 2 1 2m g x g x f x f x 恒成立,则 11m
D.若函数 ( ) ( ) 2 ( )F x f x ag x 有两个极值点,则实数 10, 2a
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.某工厂为研究某种产品产量 x(吨)与所需某种原材料 y(吨)的相关性,在生产过程中收集 4
组对应数据( ,x y )如下表所示:
x 3 4 6 7
y 2.5 3 4 m
根据表中数据,得出 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 0.7y x a .据此计算出在样本 4,3 处的残差为
0.15 ,则表中 m 的值为________.
14.若 61x x a 与 61 0ax a 的展开式中 3x 的系数相等,则实数 a 的值为________.
15.给图中 A,B,C,D,E,F 六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.
若有 4 种颜色可供选择,则共有______种不同的染色方案.
16.在 ABC△ 中,角 A , B ,C 分别为三角形的三个内角,且 sin 2 3sinsin
B CA
,则 π
6B 的取
值范围是______, sin sin
sin sin
C A
A C
的取值范围是_________.
四、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)数列 na 是公差不为 0 的等差数列,满足 1 1a , 18 2 9a a a ,数列 nb 满足 2 na
nb .
(1)求数列 na 和 nb 的通项公式;
(2)令 1 1 2 2 3 3n n nT a b a b a b a b ,求 nT 的值.
18.(12 分)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
① 3cos cos cos sinA c B b C a A ;
② 2cos 2
b cC a
;
③ tan tan tan 3 tan tanA B C B C .
已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对应边分别为 , ,a b c , .
(1)求 A ;
(2)若 2a , 10b c ,求 ABC△ 的面积.
19.(12 分)已知函数 2ln 2 1f x x ax a x .
(1)当 1a 时,求 y f x 曲线在 1x 处的切线方程;
(2)讨论 f x 的单调性.
20.(12 分)如图,在四棱锥 S ABCD 中,ABCD 为直角梯形,AD BC∥ ,BC CD ,平面 SCD
平面 ABCD . SCD△ 是以CD 为斜边的等腰直角三角形, 2 2 4BC AD CD , E 为 BS 上一
点,且 2BE ES .
(1)证明:直线 SD∥平面 ACE ;
(2)求二面角 S AC E 的余弦值.
21.(12 分)公元 1651 年,法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡
(B.Pascal)提请了一个问题,帕斯卡和费马(Fermat)示讨论了这个问题,后来惠更斯(C.Huygens)
也加入了讨论,这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下:
设两名赌徒约定谁先赢 1,k k k N 局,谁便赢得全部赌注 a 元.每局甲赢的概率为
(0 1)p p ,乙赢的概率为1 p ,且每局赌博相互独立.在甲赢了 ( )m m k 局,乙赢了 ( )n n k
局时,赌博意外终止.赌注该怎么分才合理?这三位数学家给出的答案是:如果出现无人先赢 k 局
则赌博意外终止的情况,甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比 :P P甲 乙 分
配赌注.
(1)甲、乙赌博意外终止,若 243a , 4k , 2m , 1n , 2
3p ,则甲应分得多少赌注?
(2)记事件 A 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”,试求当 4k , 2m , 1n 时赌博继续进
行下去甲赢得全部赌注的概率 ( )f p ,并判断当 4
5p 时,事件 A 是否为小概率事件,并说明理由.规
定:若随机事件发生的概率小于 0.05,则称该随机事件为小概率事件.
22.(12 分)已知直线 :l y x m 交抛物线 2: 4C y x 于 ,A B 两点.
(1)设直线l 与 x 轴的交点为T .若 2AT TB ,求实数 m 的值;
(2)若点 ,M N 在抛物线C 上,且关于直线l 对称,求证: , , ,A B M N 四点共圆.
答 案
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】因为| | 3x ,所以 3 3x ,
又 xZ ,所以 { 2, 1,0,1,2}A ,
因为| | 1x ,所以 1x 或 1x ,所以 { | 1B x x 或 1, }x x Z ,
所以 { 2,2}A B ,故选 D.
2.【答案】B
【解析】设 (i , )z x y x y R ,
由| |1 1z ,得| ( ) |1 i 1x y ,∴ 2 21 1( )x y ,故选 B.
3.【答案】B
【解析】由于 f x 为奇函数,所以 0f x f x 恒成立,
即 0x x a b x x a b ,
2 0x x a x a b 恒成立,
由于 xR ,所以 0a b= = .
在四个选项中,与 0a b= = 等价的是 2 2 0a b ,
所以 B 选项符合,故选 B.
4.【答案】A
【解析】由 2 ax ax
,当且仅当 ax x
时,取等号,
又 1a ,所以 2 2ax ax
,故 log log 1 0a a
af x x x
,
所以只有 A 正确,故选 A.
5.【答案】C
【解析】对于 A, m , n 可能平行、异面、相交,故 A 错误;
对于 B,若 m , n , ,则直线 m 与 n 不可能平行,故 B 错误;
对于 C,根据线面垂直、线面平行的性质可知直线 m 与 n 一定垂直,故 C 正确;
对于 D,若 m , n , // ,则直线 m 与 n 可能平行,也可能异面,故 D 错误,
故选 C.
6.【答案】A
【解析】 2 3 8 3 1af f f ,3 9a ,即 2a ,故选 A.
7.【答案】B
【解析】根据题意,焦点 1,0F ,准线方程为 1x ,
过点 P 作准线的垂线,垂足为 P' ,过点 A 作准线的垂线,垂足为 A,且与抛物线交于点 0P ,
作出图象如图,
故 2AF ,
由抛物线的定义得 PF PP ,
则 APF△ 周长为 2 2 2C PF PA PP PA AA ,
当且仅当点 P 在点 0P 处时,等号成立,
因为 3AA , 2 2 3 2C PF PA AA ,
所以 APF△ 周长的最小值为3 2 ,故选 B.
8.【答案】A
【解析】对于甲同学,平均数为 2 ,方差小于1,
设甲同学三次考试的名次分别为 1x 、 2x 、 3x ,
若 1x 、 2x 、 3x 中至少有一个大于等于 4 ,
则方差为 2 2 22
1 2 3
1 42 2 23 3s x x x ,与已知条件矛盾,
所以, 1x 、 2x 、 3x 均不大于 3 ,满足题意;
对于乙同学,平均数为 2 ,众数为1,则三次考试的成绩的名次为1、1、 4 ,
即必有一次考试为第 4 名,不满足题意;
对于丙同学,中位数为 2 ,众数为 2 ,可举反例: 2 、 2 、 4 ,不满足题意;
对于丁同学,众数为 2 ,方差大于1,可举特例: 2 、 2 、5 ,则平均数为 3 ,
方差为 2 22 1 2 2 3 5 3 2 13s ,不满足条件,
故选 A.
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.【答案】ABC
【解析】根据函数 cosf x A x 的部分图象知, 2A ,
设 f x 的最小正周期为T ,则 2π π π
4 3 6 2
T ,∴ 2πT , 2π 1T
.
∵ π π2cos 26 6f
,且 π
2
,∴
6
π ,
故 π2cos 6f x x
.
令 π2cos 06f x x
,得 π π π6 2x k , k Z ,
即
3 π2πx k , k Z ,因此函数 f x 最靠近原点的零点为 π
3
,故 A 正确;
由 0 2cos 36
πf
,因此函数 f x 的图象在 y 轴上的截距为 3 ,故 B 正确;
由 5 2cos 2coπ sπ6f x x x
,因此函数
6
π5f x
是偶函数,故 C 正确;
令 π2 π 2π π6k x k ,k Z ,得 π52 2 6π6
ππk x k ,k Z ,此时函数 f x 单调递增,
于是函数 f x 在 13π2π, 6
上单调递增,在 13π 7π,6 3
上单调递减,故 D 不正确,
故选 ABC.
10.【答案】BD
【解析】对于 A, 3AP mAB nAC mAB nAD ,
, ,B P D 三点共线, 3 1m n ,A 错误;
对于 B, 3 1m n ,
21 1 3 133 3 2 12
m nmn m n
(当且仅当 3m n 时取等号),
B 正确;
对于 C, 4 1 4 1 12 123 7 7 2 7 4 3n m n mm nm n m n m n m n
(当且仅当
12n m
m n
,即 2 3m n 时取等号),C 错误;
对于 D, 2
2 2 3 19 2 2
m nm n (当且仅当 3m n 时取等号),D 正确,
故选 BD.
11.【答案】ABD
【解析】在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,易证 1DB 面 1 1A BC ,
又 1AG 平面 1 1A BC ,所以 1 1AG B D ,则 A 正确;
1 1
1 1 4 6 6 243 2A BEF F ABE D ABE B AD EV V V V 三棱锥 三棱锥 三棱锥 三棱锥 ,则 B 正确;
在棱 1CC 上取点 N ,使 2CN ,连接 , , (BN NE FN 如图 ) ,
则易知 FBN 为直线 AE 与 BF 所成角或其补角,
可得 2 10BN , 5FN , 9FB ,
则
2 2 2(2 10) 9 5 8 4 10cos 152 9 2 10 3 10
FBN
,
则直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 4 10
15
,则 C 错误;
由题意知三棱锥 1 1A BDC 为棱长为 6 2 的正四面体,
作 1AO 平面 1BDC ,O 为垂足,
则O 为正 1BDC△ 的中心,且 1AGO 为直线 1AG 与平面 1BDC 所成角,
所以
2
1
1 2
1 1
cos 1 AOOGAGO AG AG
,
当点 G 移动到 1BC 的中点时, 1AG 最短,如图,此时 1cos AGO 最小, 1AGO 最大,
此时 1
1
6 1cos 33 6
OGAGO AG
,则 D 正确,
故选 ABD.
12.【答案】AD
【解析】因为 ( ) lnf x x x ,所以 ( )f x 的定义域为 (0, ) ,
则 ( ) ln 1f x x ,
令 ( ) 0f x ,解得 1x e
,
可知 ( )f x 在 1(0, )e
上单调递减,在 1( , )e
上单调递增,
所以 min
1 1( ) ( )f x f x f e e
极小值 ,
当 0x 时, ( ) 0f x ,
又 1 0f ,从而要使得方程 ( )f x k 有两个不同的实根,
即 ( )y f x 与 y k 的图象有两个不同的交点,
所以 1( ,0)k e
,故选项 A 正确;
因为 1x 不是方程 2( )kf x x 的根,
当 1x 时, ( ) 0f x ,
方程 2( )kf x x 有且只有一个实数根,等价于 y k 与
ln
xy x
只有一个交点,
2
ln 1
(ln )
xy x
,
又 0x 且 1x ,
令 0y ,即 ln 1x ,有 x e ,知
ln
xy x
在 (0,1) 和 (1, )e 上单调递减,在 ( , )e 上单调递增,
1x 是一条渐近线,极小值为 e .
由
ln
xy x
大致图象可知 0k 或 k e ,故选项 B 错误;
当 1 2 0x x 时, 1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )m g x g x f x f x 恒成立等价于
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )mg x f x mg x f x 恒成立,
即函数 ( ) ( )y mg x f x 在 (0, ) 上为增函数,
即 ( ) ( ) ln 1 0y mg x f x mx x 恒成立,即 ln 1xm x
在 (0, ) 上恒成立,
令 ln 1( ) xr x x
,则 2
ln( ) xr x x
,
令 ( ) 0r x ,得 ln 0x ,解得 0 1x ,
从而 ( )f x 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ) 上单调递减,
则 max 1( ) 1r x r ,所以 1m ,故选项 C 错误;
函数 ( ) ( ) 2 ( )F x f x ag x 有两个极值点,等价于 ( ) ln 1 2 0F x x ax 有两个不同的正根,
即方程 ln 12 xa x
有两个不同的正根,由选项 C 可知, 0 2 1a ,
即 10 2a ,故选项 D 正确,
故选 AD.
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.【答案】5.9
【解析】根据样本 4,3 处的残差为 0.15 ,即3 (0.7 4 ) 0.15a ,可得 0.35a ,
即回归直线的方程为 ˆ 0.7 0.35y x ,
又由样本数据的平均数为 3 4 6 7 54x , 2.5 3 4
4
my ,
所以 0.7 5 0.3 2.5 5 3 4
4
m ,解得 5.9m ,
故答案为5.9.
14.【答案】 8
3
【解析】 6x a 的展开式通项为 6
1 6C ,0 6r r r
rA x a r r
N ,
且 6 6 61 xx x a x a x a ,
所以 61x x a 的展开式通项为
6 6 7 6
1, 1 6 6 6 6C C C Ck k k r r r k k k r r r
k rT x x a x a x a x a
,
由 7 3
6 3
k
r
,解得 4
3
k
r
,
所以 61x x a 的展开式中 3x 的系数为 4 4 3 3
6 6C Ca a ,
61ax 的展开式的通项为 6 6 6
1 6 6C Cmm m m m
mB ax a x
,
由 6 3m ,可得 3m ,所以 61ax 的展开式中 3x 的系数为 3 3
6C a ,
所以 4 4 3 3 3 3
6 6 6C C Ca a a ,解得
3
6
4
6
C
C
2 8
3a ,
故答案为 8
3
.
15.【答案】96
【解析】要完成给图中 A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F 六个区域进行染色,染色方法可分两类,
第一类是仅用三种颜色染色,即 AF 同色, BD 同色,CE 同色,
则从四种颜色中取三种颜色有 3
4C 4 种取法,三种颜色染三个区域有 3
3A 6 种染法,
共 4 6 24 种染法;
第二类是用四种颜色染色,即 AF , BD ,CE 中有一组不同色,
则有 3 种方案 (AF 不同色或 BD 不同色或CE 不同色),
先从四种颜色中取两种染同色区有 2
4A 12 种染法,剩余两种染在不同色区有 2 种染法,
共有 3 12 2 72 种染法.
由分类加法原理得总的染色种数为 24 72 96 种,故答案为 96.
16.【答案】 π 5π,6 6
, 2,4
【解析】根据正弦定理 sin 2 3sinsin
B b CA a
,
所以 2 3 sinb a C , sin 2 3 sin sinb B a C B ,得 2 2 3 sinb ac B ,
再由
2 2 2 2 2 2 3 sincos 2 2
c a b c a ac BB ac ac
,
得 2 2 π2 cos 3sin 4 sin 6a c ac B B ac B
,
因为 ,π0B , 7π π π,6 6 6B
,
而 2 2π4 sin 26ac B a c ac
,所以 π 1sin 6 2B
,
所以 5π π π,6 6 6B
,
所以 π 1sin ,16 2B
,所以 π4sin 2,46B
,
而
2 2sin sin π4sinsin sin 6
C A c a a c BA C a c ac
,
故 sin sin
sin sin
C A
A C
的取值范围是 2,4 .
四、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】(1) na n , 2n
nb ;(2) 11 2 2n
nT n .
【解析】(1)设数列 na 的公差为 d ,
由题意得 1 17 1 1 8d d d ,解得 1d 或 0(舍),
∴ 1 1 1na n n ,∴ 2n
nb .
(2)由(1)知 2 3
1 1 2 2 3 3 1 2 2 2 3 2 2n
n n nT a b a b a b a b n ,
∴ 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n n
nT n n ,
两式相减得 2 3 1 11 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2n n n
nT n n ,
∴ 11 2 2n
nT n .
18.【答案】(1) π
3A ;(2) 3
2
.
【解析】(1)方案①:由已知及正弦定理得 23cos sin cos sin cos sinA C B B C A ,
所以 23cos sin sinA C B A ,所以 23 cos sin sinA A A ,
又 0,πA ,所以sin 0A ,所以 tan 3A ,所以 π
3A .
方案②:由已知正弦定理得 2cos sin 2sin sin 2sin sinC A B C A C C
2sin cos 2cos sin sinA C A C C ,
所以 2cos sin sin 0A C C ,即 2cos sin sinA C C ,
又 0,πC ,所以sin 0C ,所以 1cos 2A ,所以 π
3A .
方案③:因为 tan tan tan 3 tan tanA B C B C ,
所以 tan tan tan 3 tan tan tan tan( ) (1 tan tan )A B C B C A B C B C
tan tan 1 tan tan tan tan tanA A B C A B C ,
即 3 tan tan tan tan tanB C A B C ,
又 , , 0, πA B C ,所以 tan 0B , tan 0C ,
所以 tan 3A , 1cos 2A ,所以 π
3A .
(2)由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A , 2a , π
3A ,
得 2 24 b c bc ,即 2 4 3b c bc ,
又因为 10b c ,所以 2bc ,
所以 1 3sin2 2ABCS bc A △ .
19.【答案】(1) 6 2y x ;(2)答案不唯一,具体见解析.
【解析】(1)当 1a 时, 2ln 3f x x x x ,可得 1( ) 2 3f x x x
,
斜率 (1) 6k f ,而 (1) 4f ,
根据点斜式可得 y f x 曲线在 1x 处的切线方程为 6 2y x .
(2)因为 2ln 2 1f x x ax a x ,
对 f x 求导, 22 2 1 1 2 1 11 2 2 1 ax a x ax xf x ax ax x x
, 0x ,
①当 0a 时, 1 1 0f x x
恒成立,
此时 y f x 在 0, 上单调递增;
②当 0a ,由于 0x ,所以 2 1 1 0ax x 恒成立,此时 y f x 在 0, 上单调递增;
③当 0a 时,令 0f x ,解得 1
2x a
.
因为当 10, 2x a
, 0f x ;当 1 ,2x a
, 0f x ,
所以 y f x 在 10, 2a
上单调递增,在 1 ,2a
上单调递减.
综上可知,当 0a 时, f x 在 0, 上单调递增,
当 0a 时, f x 在 10, 2a
上单调递增,在 1 ,2a
上单调递减.
20.【答案】(1)证明见解析;(2) 1
3
.
【解析】(1)证明:连接 BD 交 AC 于点 F ,连接 EF .
因为 AD BC∥ ,所以 AFD△ 与 BCF△ 相似,所以 2BF BC
FD AD
.
又 2BE BF
ES FD
,所以 EF SD∥ .
因为 EF 平面 ACE , SD 平面 ACE ,所以直线 SD∥平面 ACE .
(2)解:平面 SCD 平面 ABCD ,平面 SCD 平面 ABCD CD , BC 平面 ABCD ,
BC CD ,所以 BC ⊥平面 SCD .
以C 为坐标原点,CD
,CB
所在的方向分别为 y 轴、 z 轴的正方向,
与CD
,CB
均垂直的方向作为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .
则 (0,0,0)C , (1,1,0)S , (0,2,2)A , 2 2 4( , , )3 3 3E ,
(0,2,2)CA , (1,1,0)CS , 2 2 4( , , )3 3 3CE .
设平面 SAC 的一个法向量为 , ,x y zm ,
则 2 2 0
0
CA y z
CS x y
m
m
,令 1x ,得 1, 1,1 m ;
设平面 EAC 的一个法向量为 , ,x y zn ,
则
2 2 0
2 2 4 03 3 3
CA y z
CE x y z
n
n
,令 1z ,得 1, 1,1 n ,
设二面角 S AC E 的平面角的大小为 ,则 | | 1 1cos | | | | 33 3
m n
m n
,
所以二面角 S AC E 的余弦值为 1
3
.
21.【答案】(1) 216 元;(2) 31 1 3 (1 )f p p p ,事件 A 是小概率事件,理由见解析.
【解析】(1)设赌博再继续进行 X 局甲赢得全部赌注,则最后一局必然甲赢,
由题意知,最多再进行 4 局,甲、乙必然有人赢得全部赌注.
当 2X 时,甲以 4:1赢,所以
22 42 3 9P X
;
当 3X 时,甲以 4 : 2 赢,所以 1
2
2 2 2 83 C 13 3 3 27P X
;
当 4X 时,甲以 4:3赢,所以
2
1
3
2 2 2 44 C 13 3 3 27P X
,
所以,甲赢的概率为 4 8 4 24 8
9 27 27 27 9
,
所以,甲应分得的赌注为 8243 2169
元.
(2)设赌注继续进行Y 局乙赢得全部赌注,则最后一局必然乙赢,则Y 的可能取值有 3、4,
当 3Y 时,乙以 4 : 2 赢, 33 (1 )P Y p ;
当 4Y 时,乙以 4:3赢, 1 3 3
34 C (1 ) 3 (1 )P Y p p p p ;
所以,乙赢得全部赌注的概率为 3 3 3(1 ) 3 (1 ) 1 3 (1 )P A p p p p p ,
于是甲赢得全部赌注的概率 31 1 3 (1 )f p p p ,
求导, 3 2 23(1 ) 1 3 3(1 ) 1 12 (1 )f p p p p p p .
因为 4 15 p ,所以 0f p ,所以 f p 在 4 ,15
上单调递增,
于是 min
4 608( ) 5 625f p f
.
故乙赢的概率为 608 171 0.0272 0.05625 625
,故事件 A 是小概率事件.
22.【答案】(1) 8m ;(2)证明见解析.
【解析】由 2 4
y x m
y x
,得 2 4 4 0y y m .
设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,则 1 2 4y y , 1 2 4y y m .
因为直线l 与C 相交,所以 16 16 0Δ m ,得 1m .
(1)由 2AT TB ,得 1 22 0y y ,所以 24 0y ,解得 2 4y ,
从而 1 8y ,
因为 1 2 4y y m ,所以 4 32m ,解得 8m .
(2)设 3 3,M x y , 4 4,N x y ,
因为 ,M N 两点关于直线 y x m 对称,
则 4 3 4 3
22
344 3 4 3
4 1
4 4
y y y y
yyx x y y
,解得 4 34y y .
又 4 3 4 3
2 2
y y x x m ,于是 3 3 4 34
2 2
y y x x m ,解得 4 34 2x m x .
又点 N 在抛物线上,于是 2
3 3( ) ( 4 2 )4 4y m x .
因为 2
3 34y x ,所以 2
3 34 16 4 0y y m ,
于是 1 3 2 3 1 3 2 3( )( ) ( )( )M x x x x y y yMB yA
2 22 2
3 31 2
1 3 2 3( )( )( )( )4 4 4 4
y yy y y y y y
1 3 2 3
1 3 2 3
( ) 1616
y y y y y y y y
1 3 2 3 2
1 2 3 1 2 3
( ) 1616
y y y y y y y y y y
2 2
3
1
3
3 3 4 04( )
16 16y y yy y m y
+ + + ,
因此 MA MB ,同理 NA NB ,
于是点 ,M N 在以 AB 为直径的圆上,即 , , ,A B M N 四点共圆.