2021 年东北三省四城市联考高考数学质量监测试卷(二)(沈
阳二模)
一、单项选择题(共 8 小题).
1.已知复数 z=(1﹣2i)•i(i 为虚数单位),则|z|=( )
A. B.2 C. D.1
2.已知集合 A={0,1,2,4},B={x|x=2n,n
∈
A},则 A∩B=( )
A.{1,2} B.{1,4} C.{2,4} D.{1,2,4}
3.已知数列{an}为等差数列,且 a1=1,a5=9,则数列{an}的前 5 项和是( )
A.15 B.20 C.25 D.35
4.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前 375 年﹣325 年),大约 100 年后,
阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光
学性质,比如:从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后,反射光线平行
于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线,经抛物线反射后,反射光线经
过抛物线的焦点.设抛物线 C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过 A(5,2),
被抛物线反射后,又射到抛物线 C 上的 Q 点,则 Q 点的坐标为( )
A.( ,﹣ ) B.( ,﹣ ) C.( ,﹣ ) D.( ,﹣ )
5.若 tan ,则 =( )
A.﹣ B.﹣3 C. D.3
6.某交通岗共有 3 人,从周一到周日的 7 天中,每天安排 1 人值班,每人至少值 2 天,其
不同的排法共有( )
A.5040 种 B.1260 种 C.210 种 D.630 种
7.已知向量 , 满足| |=1,| |=2, =( ),则|2 |=( )
A. B. C.2 D.2
8.已知点 F1、F2 分别是双曲线 C:x2﹣ =1(b>0)的左,右焦点,O 为坐标原点,点
P 在双曲线 C 的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,tan∠PF2F1≥5,则双曲线 C 的离心率的
取值范围为( )
A.(1, ] B.(1, ] C.(1, ] D.(1, ]
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分
9.以下关于概率与统计的说法中,正确的为( )
A.某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法从该
校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本,已知该校高一、高二、高三年级学生之比
为 6:5:4,则应从高二年级中抽取 20 名学生
B.10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,若从这 10 件产品中任取 2 件,则恰好取到 1 件
次品的概率为
C.若随机变量
ξ
服从正态分布 N(1,σ2),P(
ξ
<4)=0.79,则 P(
ξ
≤﹣2)=0.42
D.设某学校女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一
组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71,
若该学校某姓身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg
10.以下有关三角函数 f(x)=sinx•cos2x 的说法正确的为( )
A.
∀
x
∈
R,f(﹣x)﹣f(x)=0
B.
∃
T≠0,使得 f(x+T)=f(x)
C.f(x)在定义域内有偶数个零点
D.
∀
x
∈
R,f(
π
﹣x)﹣f(x)=0
11.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,所在棱长均为 1,点 E 为棱 B1C1 上任意一点,则下
列结论正确的是( )
A.直线 AA1 与直线 BE 所成角的范围是[0, ]
B.在棱 B1C1 上存在一点 E,使 AB1⊥平面 A1BE
C.若 E 为棱 B1C1 的中点,则平面 ABE 截三棱柱 ABC﹣A1B1C1 所得截面面积为
D.若 F 为棱 A1B1 上的动点,则三棱锥 F﹣ABE 体积的最大值为
12.若实数 t≥2,则下列不等式中一定成立的是( )
A.(t+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3)
B.(t+1)t+2>(t+2)t+1
C.1+ >logt(t+1)
D.lg(t+1)(t+2)>log(t+2)(t+3)
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.(x+1)n 的展开式中,x2 的系数为 15,则 n= .
14.若“
∃
x
∈
[ ,2],使得 2x2﹣
λ
x+1<0 成立”是假命题,则实数
λ
的取值范围为 .
15.过圆 O:x2+y2=r2(r>0)外一点(2,0)引直线 l 与圆 O 相交于 A,B 两点,当△AOB
的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 ,则 r 的值为 .
16.已知函数 f(x)=ex+2e﹣x,g(x)=x﹣a,若关于 x 的不等式 f(x)﹣1≥|g(x)+1|
在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围是 .
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S.若 4S
=b2+c2﹣a2,b= .
(1)求 A;
(2)若______,求△ABC 的面积 S 的大小.
(在
①
2cos2B+cos2B=0,
②
bcosA+acosB= +1.这两个条件中任选一个,补充在横线
上)
18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 2an=Sn+n(n
∈
N*).
(1)求证:数列{an+1}是等比数列;
(2)记 cn= ,求证:数列{cn}的前 n 项和 Tn< .
19.如图,三棱锥 P﹣ABC 的底面 ABC 和侧面 PAB 都是边长为 4 的等边三角形,且平面
PAB⊥平面 ABC,点 E 为线段 PA 中点,点 F 为 AB 上的动点.
(1)若平面 CEF⊥平面 ABC,求线段 AF 的长;
(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
20.在迎来中国共产党成立 100 周年的重要时刻,我国脱贫攻坚战取得全面胜利,创造了又
一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出:“脱贫摘帽不是终点,而是新生活、新
奋斗的起点.”某农户计划于 2021 年初开始种植新型农作物.已知该农作物每年每亩的
种植成本为 2000 元,根据前期各方面调在发现,该农作物的市场价格和亩产量均具有随
机性,且两者互不影响,其具体情况如表:
该农作物亩产量(kg) 900 1200
概率 0.5 0.5
该农作物市场价格(元/kg) 30 40
概率 0.4 0.6
(1)设 2021 年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 X 元,求 X 的分布列;
(2)若该农户从 2021 年开始,连续三年种植该农作物,假设三年内各方面条件基本不
变,求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 30000 元的概率.
21.已知点 F( ,0)为椭圆 C: (a>b>0)的右焦点,A,B 分别为椭圆的
左、右顶点,椭圆上异于 A、B 的任意一点 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为﹣ .
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)过点(1,0)的两条弦 PQ,MN 相互垂直,若 , ,求证:直线
ST 过定点.
22.已知函数 f(x)=xlnx+a,a<0.
(1)证明:f(x)有且仅有一个零点;
(2)当 a
∈
(﹣2e2,0)时,试判断函数 g(x)= x2lnx﹣ +ax 是否有最小值?若
有,设最小值为 h(a),求 h(a)的值域;若没有,请说明理由.
参考答案
一、单项选择题(共 8 小题).
1.已知复数 z=(1﹣2i)•i(i 为虚数单位),则|z|=( )
A. B.2 C. D.1
【解答】解法 1:. ;
解法 2: .
故选:A.
2.已知集合 A={0,1,2,4},B={x|x=2n,n
∈
A},则 A∩B=( )
A.{1,2} B.{1,4} C.{2,4} D.{1,2,4}
解:∵A={0,1,2,4},B={1,2,4,16},
∴A∩B={1,2,4}.
故选:D.
3.已知数列{an}为等差数列,且 a1=1,a5=9,则数列{an}的前 5 项和是( )
A.15 B.20 C.25 D.35
解:数列{an}为等差数列,且 a1=1,a5=9,
∴数列{an}的前 5 项和是:
= =25.
故选:C.
4.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前 375 年﹣325 年),大约 100 年后,
阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光
学性质,比如:从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后,反射光线平行
于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线,经抛物线反射后,反射光线经
过抛物线的焦点.设抛物线 C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过 A(5,2),
被抛物线反射后,又射到抛物线 C 上的 Q 点,则 Q 点的坐标为( )
A.( ,﹣ ) B.( ,﹣ ) C.( ,﹣ ) D.( ,﹣ )
解:设光线被抛物线反射的反射点为 B,则 AB∥x 轴,
把 y=2 代入 y2=x,得 x=4,∴B(4,2),
设抛物线 y2=x 的焦点为 F,则 F( ,0),
∴直线 BF 的方程为 y= (x﹣ ),即 y= (x﹣ ),
又 y2=x,
解得 x=4,y=2 或 x= ,y= ,
∴Q ( , ).
故选:D.
5.若 tan ,则 =( )
A.﹣ B.﹣3 C. D.3
解: = = =﹣tan =﹣ ,
故选:A.
6.某交通岗共有 3 人,从周一到周日的 7 天中,每天安排 1 人值班,每人至少值 2 天,其
不同的排法共有( )
A.5040 种 B.1260 种 C.210 种 D.630 种
解:7 天分成 2 天,2 天,3 天 3 组,3 人各选 1 组值班,共有 =630 种.
故选:D.
7.已知向量 , 满足| |=1,| |=2, =( ),则|2 |=( )
A. B. C.2 D.2
解:由已知得: = ;
∴ ;
∴ ;
∴ .
故选:C.
8.已知点 F1、F2 分别是双曲线 C:x2﹣ =1(b>0)的左,右焦点,O 为坐标原点,点
P 在双曲线 C 的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,tan∠PF2F1≥5,则双曲线 C 的离心率的
取值范围为( )
A.(1, ] B.(1, ] C.(1, ] D.(1, ]
解:如图:
由|F1F2|=2|OP|,可知 PF1⊥PF2,
设 PF2=m,则 PF1=m+2,
∴在△PF1F2 中,tan∠PF2F ≥5,
∴ ,
∵4c2=m2+(m+2)2,
∴c ,
∴ ,
∴ ,
故选:B.
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分
9.以下关于概率与统计的说法中,正确的为( )
A.某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法从该
校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本,已知该校高一、高二、高三年级学生之比
为 6:5:4,则应从高二年级中抽取 20 名学生
B.10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,若从这 10 件产品中任取 2 件,则恰好取到 1 件
次品的概率为
C.若随机变量
ξ
服从正态分布 N(1,σ2),P(
ξ
<4)=0.79,则 P(
ξ
≤﹣2)=0.42
D.设某学校女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一
组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71,
若该学校某姓身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg
解:对于 A:已知该校高一、高二、高三年级学生之比为 6:5:4,则设高一,高二,高
三的人数为 6x,5x,4x,
所以 6x+5x+4x=60,解得 x=4,
高二中抽取的人数为 20,故 A 正确;
对于 B:10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,若从这 10 件产品中任取 2 件,则恰好取到
1 件次品的概率为 P= ,故 B 正确;
对于 C:随机变量
ξ
服从正态分布 N(1,σ2),P(
ξ
<4)=1﹣P(
ξ
≥4)=0.21,故 P
(
ξ
≤﹣2)=0.21.故 C 错误;
对 于 D : 回 归 方 程 为 = 0.85x ﹣ 85.71 , 若 该 学 校 某 姓 身 高 为 170cm , 则
,故 D 错误.
故选:AB.
10.以下有关三角函数 f(x)=sinx•cos2x 的说法正确的为( )
A.
∀
x
∈
R,f(﹣x)﹣f(x)=0
B.
∃
T≠0,使得 f(x+T)=f(x)
C.f(x)在定义域内有偶数个零点
D.
∀
x
∈
R,f(
π
﹣x)﹣f(x)=0
解:函数 f(x)=sinx•cos2x,满足 f(﹣x)=sin(﹣x)•cos(﹣2x)=﹣sinx•cos2x=
﹣f(x),
所以函数为奇函数,故 f(﹣x)+f(x)=0,故 A 错误;
对于 B:由于函数 f(x)=sinx•cos2x,函数 y=sinx 的最小正周期为 2
π
,
函数 y=cos2x 的最小正周期为
π
,所以函数 f(x)的最小正周期为 2
π
,
故
∃
T≠0,使得 f(x+2
π
)=f(x),故 B 正确;
对于 C:由于函数为奇函数,在原点处有定义,
故函数零点的个数为奇数个,故 C 错误;
对于 D:函数 f(
π
﹣x)=﹣sinx•cos2x,故 f(
π
﹣x)﹣f(x)=0,故 D 正确.
故选:BD.
11.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,所在棱长均为 1,点 E 为棱 B1C1 上任意一点,则下
列结论正确的是( )
A.直线 AA1 与直线 BE 所成角的范围是[0, ]
B.在棱 B1C1 上存在一点 E,使 AB1⊥平面 A1BE
C.若 E 为棱 B1C1 的中点,则平面 ABE 截三棱柱 ABC﹣A1B1C1 所得截面面积为
D.若 F 为棱 A1B1 上的动点,则三棱锥 F﹣ABE 体积的最大值为
解:∵AA1∥BB1,∴直线 AA1 与直线 BE 所成角的范围可转化为直线 AA1 与直线 BB1 所成
角的范围,又∵点 E 为棱 B1C1 上任意一点且△BB1C1 是等腰直角三角形,∴直线 AA1 与
直线 BE 所成角的范围是[0, ],∴A 对;
作 EO∥CC1 交 BC 于点 O,连接 AO.可知四边形 A1AOE 是平行四边形,∴A1E∥AO.假
设 AB1⊥平面 A1BE 成立,则 AB1⊥AO.∴△AOB1 中 B1O 对的角是直角最大,∴B1O>
AB 这与 B1O<CB1=AB1 矛盾,∴假设不成立,∴B 错;
作 EG∥AB 交 A1C1 于点 G,连接 GA,得截面四边形 ABEG 是等腰梯形,∵直三棱柱 ABC
﹣A1B1C1 中,所在棱长均为 1 且若 E 为棱 B1C1 的中点,∴得 AG=BE= ,GE= ,
AB=1,∴梯形高 h= ,∴梯形面积即截面积为: (1+ )× = ,∴C
对;
三棱锥 F﹣ABE 体积可转化为求三棱锥 E﹣ABF 的体积,由图可知点 E 到棱 A1B1 的距离
即为点 E 到底面 ABF 的距离.∵点 E 为棱 B1C1 上任意一点,∴点 E 到棱 A1B1 的距离的
最大值是点 C1 到 A1B1 的距离 ,底面△ABF 的面积是定值 ×1×1= ,∴三棱锥 F
﹣ABE 体积的最大值为 × × = ,∴D 错.
故选:AC.
12.若实数 t≥2,则下列不等式中一定成立的是( )
A.(t+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3)
B.(t+1)t+2>(t+2)t+1
C.1+ >logt(t+1)
D.lg(t+1)(t+2)>log(t+2)(t+3)
解:令 f(x)= ,则 ,
易得,当 x>e 时,f′(x)<0,函数单调递减,当 0<x<e 时,f′(x)>0,函数单调
递增,
因为 t≥2,t+3>t+3>e,
所以 < ,
所以(t+2)ln(t+3)<(t+3)ln(t+2)
同理 ,
所以(t+2)ln(t+1)>(t+1)ln(t+2),
所以(t+1)t+2>(t+2)t+1,B 正确;
所以(t+2)ln(t+1)>(t+1)ln(t+2),A 正确;
令 g(x)= ,x≥2,
则 g′(x)= <0,
故 g(x)在[2,+∞)上单调递减,g(t+1)>g(t+2),
所以 > ,
故 logt+1(t+2)>logt+2(t+3),D 正确;
对于 C,1+ >logt(t+1)
⇔ ⇔
,结合选项 A 的讨论,
t 与 e 的大小不确定,故 D 错误.
故选:ABD.
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.(x+1)n 的展开式中,x2 的系数为 15,则 n= 6 .
解:∵(x+1)n 的展开式中,x2 的系数为 =15,∴n=6,
故答案为:6.
14.若“
∃
x
∈
[ ,2],使得 2x2﹣
λ
x+1<0 成立”是假命题,则实数
λ
的取值范围为 (﹣∞,
2 ] .
解:若“
∃
x
∈
[ ,2],使得 2x2﹣
λ
x+1<0 成立”是假命题,
即“
∃
x
∈
[ ,2],使得
λ
>2x+ 成立”是假命题,
由 x
∈
[ ,2],当 x= 时,函数 y=2x+ ≥2 =2 ,
取最小值 2 ;
所以实数
λ
的取值范围为(﹣∞,2 ].
故答案为:(﹣∞,2 ].
15.过圆 O:x2+y2=r2(r>0)外一点(2,0)引直线 l 与圆 O 相交于 A,B 两点,当△AOB
的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 ,则 r 的值为 .
解: ,
当∠AOB=90°时,△AOB 面积最大,此时圆心 O 到直线 AB 的距离 d= ,
设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣2), ,
则 d= ,∴ ,将 代入,解得 r= .
故答案为: .
16.已知函数 f(x)=ex+2e﹣x,g(x)=x﹣a,若关于 x 的不等式 f(x)﹣1≥|g(x)+1|
在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围是 [ln2﹣1,3] .
解:令 h(x)=f(x)﹣1,则 h′(x)=ex﹣2e﹣x= ,
令 h′(x)=0,解得:x=ln ,
当 x
∈
(﹣∞,ln )时,h′(x)<0,h(x)递减,
当 x
∈
(ln ,+∞)时,h′(x)>0,h(x)递增,
当直线 y=x﹣a+1 与 y=h(x)相切时,设切点为(x1,x1﹣a+1),
则 h′(x1)= ﹣2 =1,解得:x1=ln2,
又 h(x1)= +2 ﹣1=x1﹣a+1,故 eln2+2e﹣ln2﹣1=ln2﹣a+1,
化简得:a=ln2﹣1,
当直线 y=﹣x+a﹣1 与 y=h(x)相切时,设切点为(x2,﹣x2+a﹣1),
则 h′(x2)= ﹣2 =﹣1,解得:x2=0,
又 h(x2)= +2 ﹣1=﹣x2+a﹣1,
故 e0+2e0﹣1=0+a﹣1,解得:a=3,
若 f(x)﹣1≥|g(x)+1|在 R 上恒成立,
则 ln2﹣1≤a≤3,故 a 的取值范围是[ln2﹣1,3],
故答案为:[ln2﹣1,3].
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S.若 4S
=b2+c2﹣a2,b= .
(1)求 A;
(2)若______,求△ABC 的面积 S 的大小.
(在
①
2cos2B+cos2B=0,
②
bcosA+acosB= +1.这两个条件中任选一个,补充在横线
上)
解:(1)∵4S=b2+c2﹣a2,b= ,
∴4× × csinA=2× ccosA,
∴sinA=cosA,可得 tanA=1,
∴由 A 为锐角,可得 A= .
(2)若选
①
:2cos2B+cos2B=2cos2B+2cos2B﹣1=0,可得 4cos2B=1,
因为 B 为锐角,可得 cosB= ,可得 B= ,
由正弦定理 ,可得 = ,解得 a=2,
由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB,可得 6=4+c2﹣2c,解方程可得 c=1+ ,(负值舍去),
所以 S△ABC= acsinB= × = .
若选
②
,bcosA+acosB= +1,
又 b= ,A= ,可得 × +acosB= +1,解得 acosB=1,
①
又由正弦定理 = ,可得 asinB= ,
②
由
①②
可得 tanB= ,结合 B 为锐角,可得 B= ,
由正弦定理 ,可得 = ,解得 a=2,
由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB,可得 6=4+c2﹣2c,解方程可得 c=1+ ,(负值舍去),
所以 S△ABC= acsinB= × = .
18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 2an=Sn+n(n
∈
N*).
(1)求证:数列{an+1}是等比数列;
(2)记 cn= ,求证:数列{cn}的前 n 项和 Tn< .
【解答】证明:(1)当 n=1 时,2a1=S1+1=a1+1,解得 a1=1,
当 n≥2 时,2an﹣1=Sn﹣1+n﹣1,又 2an=Sn+n,
两式相减可得 2an﹣2an﹣1=Sn﹣Sn﹣1+n﹣n+1=an+1,
即有 an=2an﹣1+1,
可得 an+1=2(an﹣1+1),
所以数列{an+1}是首项和公比均为 2 的等比数列;
(2)由(1)可得 an+1=2n,an+2+1=2n+2,
则 cn= =
= = ( ﹣ ),
Tn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ )
= (1+ ﹣ ﹣ )= ﹣ ( + )< .
19.如图,三棱锥 P﹣ABC 的底面 ABC 和侧面 PAB 都是边长为 4 的等边三角形,且平面
PAB⊥平面 ABC,点 E 为线段 PA 中点,点 F 为 AB 上的动点.
(1)若平面 CEF⊥平面 ABC,求线段 AF 的长;
(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
解:(1)取 AB 的中点 O,连接 OP,OC,
∵△ABC 和△PAB 都是等边三角形,∴OC⊥AB,OP⊥AB,
∵平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB,OP
⊂
平面 PAB,
∴OP⊥平面 ABC,
故以 O 为原点,OA,OC,OP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系,
设 AF=t,则 F(2﹣t,0,0),C(0,2 ,0),E(1,0, ),B(﹣2,0,0),
P(0,0,2 ),
∴ =(2﹣t,﹣2 ,0), =(1,﹣2 , ),
设平面 CEF 的法向量为 =(x,y,z),则 ,即 ,
令 x= ,则 y= ,z=1﹣t,∴ =( , ,1﹣t),
∵OP⊥平面 ABC,∴平面 ABC 的一个法向量为 =(0,0,1),
∵平面 CEF⊥平面 ABC,
∴ • =0,即 1﹣t=0,
∴t=1,
故线段 AF 的长为 1.
(2)由(1)知, =(1,﹣2 , ), =(﹣2,0,﹣2 ), =(2,2 ,
0),
设平面 PBC 的法向量为 =(a,b,c),则 ,即 ,
令 a= ,则 b=﹣1,c=﹣1,∴ =( ,﹣1,﹣1),
设直线 CE 与平面 PBC 所成角为
θ
,
则 sin
θ
=|cos< , >|=| |=| |= ,
故直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .
20.在迎来中国共产党成立 100 周年的重要时刻,我国脱贫攻坚战取得全面胜利,创造了又
一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出:“脱贫摘帽不是终点,而是新生活、新
奋斗的起点.”某农户计划于 2021 年初开始种植新型农作物.已知该农作物每年每亩的
种植成本为 2000 元,根据前期各方面调在发现,该农作物的市场价格和亩产量均具有随
机性,且两者互不影响,其具体情况如表:
该农作物亩产量(kg) 900 1200
概率 0.5 0.5
该农作物市场价格(元/kg) 30 40
概率 0.4 0.6
(1)设 2021 年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 X 元,求 X 的分布列;
(2)若该农户从 2021 年开始,连续三年种植该农作物,假设三年内各方面条件基本不
变,求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 30000 元的概率.
解:(1)由题意知:
900×30﹣2000=25000,1200×30﹣2000=34000,
900×40﹣2000=34000,1200×40﹣2000=46000,
∴X 的所有可能取值为:25000,34000,46000,
设 A 表示事件“作物亩产量为 900kg”,则 P(A)=0.5,
B 表示事件“作物市场价格为 30 元/kg”,则 P(B)=0.4,
则 P(X=25000)=P(AB)=0.5×0.4=0.2,
P(X=34000)=P( )=+P(A )=(1﹣0.5)×0.4+0.5×(1﹣0.4)=0.5,
P(X=46000)=P( )=(1﹣0.4)(1﹣0.5)=0.3,
∴X 的分布列为:
X 25000 34000 46000
P 0.2 0.5 0.3
(2)设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 3000 元”,
则 P(C)=P(X≥30000)=P(X=34000)+P(X=46000)=0.5+0.3=0.8,
设这三年中有 Y 年有纯收入不少于 30000 元,
则有 Y~B(3,0.8),
∴这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 3000 元的概率为:
P(Y≥2)=P(Y=2)+P(X=3)
= =0.896.
21.已知点 F( ,0)为椭圆 C: (a>b>0)的右焦点,A,B 分别为椭圆的
左、右顶点,椭圆上异于 A、B 的任意一点 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为﹣ .
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)过点(1,0)的两条弦 PQ,MN 相互垂直,若 , ,求证:直线
ST 过定点.
解:(1)由已知可得 c= ,A(﹣a,0),B(a,0),
设点 P 的坐标为(m,n),则 ,解得 a2=4,b2=2,
所以椭圆的方程为 ;
(2)证明:因为 ,
所以 S,T 分别是 PQ,MN 的中点,当两条弦所在直线的斜率存在且不为 0 时,
设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1),则直线 MN 的方程为 y=﹣ (x﹣1),
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),
联立方程 ,整理可得:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0,
所以 x ,则 y ,
所以 PQ 的中点 T 的坐标为( ),
同理可得,MN 的中点 S 的坐标为( ),
当 ,即 k2≠1 时,所以 k ,
所以直线 ST 的方程为 y+ ,
即 y=﹣ ,所以直线 ST 过定点( ),
当 k2=1 时,直线 ST 的方程为 x= ,也过点( ,0),
当两条弦的斜率分别为 0 和不存在时,直线 ST 的方程为 y=0,也过点( ,0),
综上,直线 ST 过定点( ,0).
22.已知函数 f(x)=xlnx+a,a<0.
(1)证明:f(x)有且仅有一个零点;
(2)当 a
∈
(﹣2e2,0)时,试判断函数 g(x)= x2lnx﹣ +ax 是否有最小值?若
有,设最小值为 h(a),求 h(a)的值域;若没有,请说明理由.
【解答】(1)证明:因为 a<0,
所以 x
∈
(0,1)时,f(x)=xlnx+a<0,函数 f(x)无零点;
又因为 f′(x)=1+lnx,
所以 x
∈
[1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
又 f(1)=a<0,e﹣a>1,f(e﹣a)=﹣ae﹣a+a=a(1﹣e﹣a)>0,
即 f(1)f(e﹣a)<0,
故存在唯一 x0
∈
(1,e﹣a),使 f(x)=0,
综上可知,函数 f(x)有且仅有一个零点.
(2)解:g′(x)=xlnx+a,
x
∈
(0,1],g′(x)=f(x)<0,x
∈
(1,+∞),g′(x)=f(x)单调递增,
又 g′(1)=a<0,g′(e2)=2e2+a>0,
故存在唯一 x1
∈
(1,e2),使 g(x1)=0,即 x1lnx1+a=0,
x
∈
(0,x1),g′(x)<0,g(x)单调递减;
x
∈
(x1,+∞),g′(x)>0,g(x)单调递增,
因此 g(x)= x2lnx﹣ +ax 有最小值,
h(a)=g(x)min=g(x1)= x12lnx1﹣ x12+(﹣x1lnx1)x1=﹣ x12lnx1﹣ x12,
令
φ
(x)=﹣ x2lnx﹣ x2,x
∈
(1,e2),
φ
′(x)=﹣xlnx﹣x<0,
故
φ
(x)单调递减,
进而
φ
(x)
∈
(
φ
(e2),
φ
(1))=(﹣ ,﹣ ),
即 h(a)的值域为(﹣ ,﹣ ).