2021届东北三省四城市联考高考数学质量监测试卷(沈阳二模)(解析版)
加入VIP免费下载

2021届东北三省四城市联考高考数学质量监测试卷(沈阳二模)(解析版)

ID:680139

大小:990.5 KB

页数:18页

时间:2021-04-26

加入VIP免费下载
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天资源网负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站客服:403074932
资料简介
2021 年东北三省四城市联考高考数学质量监测试卷(二)(沈 阳二模) 一、单项选择题(共 8 小题). 1.已知复数 z=(1﹣2i)•i(i 为虚数单位),则|z|=( ) A. B.2 C. D.1 2.已知集合 A={0,1,2,4},B={x|x=2n,n ∈ A},则 A∩B=( ) A.{1,2} B.{1,4} C.{2,4} D.{1,2,4} 3.已知数列{an}为等差数列,且 a1=1,a5=9,则数列{an}的前 5 项和是( ) A.15 B.20 C.25 D.35 4.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前 375 年﹣325 年),大约 100 年后, 阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光 学性质,比如:从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后,反射光线平行 于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线,经抛物线反射后,反射光线经 过抛物线的焦点.设抛物线 C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过 A(5,2), 被抛物线反射后,又射到抛物线 C 上的 Q 点,则 Q 点的坐标为( ) A.( ,﹣ ) B.( ,﹣ ) C.( ,﹣ ) D.( ,﹣ ) 5.若 tan ,则 =( ) A.﹣ B.﹣3 C. D.3 6.某交通岗共有 3 人,从周一到周日的 7 天中,每天安排 1 人值班,每人至少值 2 天,其 不同的排法共有( ) A.5040 种 B.1260 种 C.210 种 D.630 种 7.已知向量 , 满足| |=1,| |=2, =( ),则|2 |=( ) A. B. C.2 D.2 8.已知点 F1、F2 分别是双曲线 C:x2﹣ =1(b>0)的左,右焦点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线 C 的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,tan∠PF2F1≥5,则双曲线 C 的离心率的 取值范围为( ) A.(1, ] B.(1, ] C.(1, ] D.(1, ] 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分 9.以下关于概率与统计的说法中,正确的为( ) A.某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法从该 校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本,已知该校高一、高二、高三年级学生之比 为 6:5:4,则应从高二年级中抽取 20 名学生 B.10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,若从这 10 件产品中任取 2 件,则恰好取到 1 件 次品的概率为 C.若随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),P( ξ <4)=0.79,则 P( ξ ≤﹣2)=0.42 D.设某学校女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一 组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71, 若该学校某姓身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 10.以下有关三角函数 f(x)=sinx•cos2x 的说法正确的为( ) A. ∀ x ∈ R,f(﹣x)﹣f(x)=0 B. ∃ T≠0,使得 f(x+T)=f(x) C.f(x)在定义域内有偶数个零点 D. ∀ x ∈ R,f( π ﹣x)﹣f(x)=0 11.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,所在棱长均为 1,点 E 为棱 B1C1 上任意一点,则下 列结论正确的是( ) A.直线 AA1 与直线 BE 所成角的范围是[0, ] B.在棱 B1C1 上存在一点 E,使 AB1⊥平面 A1BE C.若 E 为棱 B1C1 的中点,则平面 ABE 截三棱柱 ABC﹣A1B1C1 所得截面面积为 D.若 F 为棱 A1B1 上的动点,则三棱锥 F﹣ABE 体积的最大值为 12.若实数 t≥2,则下列不等式中一定成立的是( ) A.(t+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3) B.(t+1)t+2>(t+2)t+1 C.1+ >logt(t+1) D.lg(t+1)(t+2)>log(t+2)(t+3) 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.(x+1)n 的展开式中,x2 的系数为 15,则 n= . 14.若“ ∃ x ∈ [ ,2],使得 2x2﹣ λ x+1<0 成立”是假命题,则实数 λ 的取值范围为 . 15.过圆 O:x2+y2=r2(r>0)外一点(2,0)引直线 l 与圆 O 相交于 A,B 两点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 ,则 r 的值为 . 16.已知函数 f(x)=ex+2e﹣x,g(x)=x﹣a,若关于 x 的不等式 f(x)﹣1≥|g(x)+1| 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围是 . 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S.若 4S =b2+c2﹣a2,b= . (1)求 A; (2)若______,求△ABC 的面积 S 的大小. (在 ① 2cos2B+cos2B=0, ② bcosA+acosB= +1.这两个条件中任选一个,补充在横线 上) 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 2an=Sn+n(n ∈ N*). (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)记 cn= ,求证:数列{cn}的前 n 项和 Tn< . 19.如图,三棱锥 P﹣ABC 的底面 ABC 和侧面 PAB 都是边长为 4 的等边三角形,且平面 PAB⊥平面 ABC,点 E 为线段 PA 中点,点 F 为 AB 上的动点. (1)若平面 CEF⊥平面 ABC,求线段 AF 的长; (2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值. 20.在迎来中国共产党成立 100 周年的重要时刻,我国脱贫攻坚战取得全面胜利,创造了又 一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出:“脱贫摘帽不是终点,而是新生活、新 奋斗的起点.”某农户计划于 2021 年初开始种植新型农作物.已知该农作物每年每亩的 种植成本为 2000 元,根据前期各方面调在发现,该农作物的市场价格和亩产量均具有随 机性,且两者互不影响,其具体情况如表: 该农作物亩产量(kg) 900 1200 概率 0.5 0.5 该农作物市场价格(元/kg) 30 40 概率 0.4 0.6 (1)设 2021 年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 X 元,求 X 的分布列; (2)若该农户从 2021 年开始,连续三年种植该农作物,假设三年内各方面条件基本不 变,求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 30000 元的概率. 21.已知点 F( ,0)为椭圆 C: (a>b>0)的右焦点,A,B 分别为椭圆的 左、右顶点,椭圆上异于 A、B 的任意一点 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为﹣ . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点(1,0)的两条弦 PQ,MN 相互垂直,若 , ,求证:直线 ST 过定点. 22.已知函数 f(x)=xlnx+a,a<0. (1)证明:f(x)有且仅有一个零点; (2)当 a ∈ (﹣2e2,0)时,试判断函数 g(x)= x2lnx﹣ +ax 是否有最小值?若 有,设最小值为 h(a),求 h(a)的值域;若没有,请说明理由. 参考答案 一、单项选择题(共 8 小题). 1.已知复数 z=(1﹣2i)•i(i 为虚数单位),则|z|=( ) A. B.2 C. D.1 【解答】解法 1:. ; 解法 2: . 故选:A. 2.已知集合 A={0,1,2,4},B={x|x=2n,n ∈ A},则 A∩B=( ) A.{1,2} B.{1,4} C.{2,4} D.{1,2,4} 解:∵A={0,1,2,4},B={1,2,4,16}, ∴A∩B={1,2,4}. 故选:D. 3.已知数列{an}为等差数列,且 a1=1,a5=9,则数列{an}的前 5 项和是( ) A.15 B.20 C.25 D.35 解:数列{an}为等差数列,且 a1=1,a5=9, ∴数列{an}的前 5 项和是: = =25. 故选:C. 4.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前 375 年﹣325 年),大约 100 年后, 阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光 学性质,比如:从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后,反射光线平行 于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线,经抛物线反射后,反射光线经 过抛物线的焦点.设抛物线 C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过 A(5,2), 被抛物线反射后,又射到抛物线 C 上的 Q 点,则 Q 点的坐标为( ) A.( ,﹣ ) B.( ,﹣ ) C.( ,﹣ ) D.( ,﹣ ) 解:设光线被抛物线反射的反射点为 B,则 AB∥x 轴, 把 y=2 代入 y2=x,得 x=4,∴B(4,2), 设抛物线 y2=x 的焦点为 F,则 F( ,0), ∴直线 BF 的方程为 y= (x﹣ ),即 y= (x﹣ ), 又 y2=x, 解得 x=4,y=2 或 x= ,y= , ∴Q ( , ). 故选:D. 5.若 tan ,则 =( ) A.﹣ B.﹣3 C. D.3 解: = = =﹣tan =﹣ , 故选:A. 6.某交通岗共有 3 人,从周一到周日的 7 天中,每天安排 1 人值班,每人至少值 2 天,其 不同的排法共有( ) A.5040 种 B.1260 种 C.210 种 D.630 种 解:7 天分成 2 天,2 天,3 天 3 组,3 人各选 1 组值班,共有 =630 种. 故选:D. 7.已知向量 , 满足| |=1,| |=2, =( ),则|2 |=( ) A. B. C.2 D.2 解:由已知得: = ; ∴ ; ∴ ; ∴ . 故选:C. 8.已知点 F1、F2 分别是双曲线 C:x2﹣ =1(b>0)的左,右焦点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线 C 的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,tan∠PF2F1≥5,则双曲线 C 的离心率的 取值范围为( ) A.(1, ] B.(1, ] C.(1, ] D.(1, ] 解:如图: 由|F1F2|=2|OP|,可知 PF1⊥PF2, 设 PF2=m,则 PF1=m+2, ∴在△PF1F2 中,tan∠PF2F ≥5, ∴ , ∵4c2=m2+(m+2)2, ∴c , ∴ , ∴ , 故选:B. 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分 9.以下关于概率与统计的说法中,正确的为( ) A.某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法从该 校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本,已知该校高一、高二、高三年级学生之比 为 6:5:4,则应从高二年级中抽取 20 名学生 B.10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,若从这 10 件产品中任取 2 件,则恰好取到 1 件 次品的概率为 C.若随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),P( ξ <4)=0.79,则 P( ξ ≤﹣2)=0.42 D.设某学校女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一 组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71, 若该学校某姓身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 解:对于 A:已知该校高一、高二、高三年级学生之比为 6:5:4,则设高一,高二,高 三的人数为 6x,5x,4x, 所以 6x+5x+4x=60,解得 x=4, 高二中抽取的人数为 20,故 A 正确; 对于 B:10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,若从这 10 件产品中任取 2 件,则恰好取到 1 件次品的概率为 P= ,故 B 正确; 对于 C:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),P( ξ <4)=1﹣P( ξ ≥4)=0.21,故 P ( ξ ≤﹣2)=0.21.故 C 错误; 对 于 D : 回 归 方 程 为 = 0.85x ﹣ 85.71 , 若 该 学 校 某 姓 身 高 为 170cm , 则 ,故 D 错误. 故选:AB. 10.以下有关三角函数 f(x)=sinx•cos2x 的说法正确的为( ) A. ∀ x ∈ R,f(﹣x)﹣f(x)=0 B. ∃ T≠0,使得 f(x+T)=f(x) C.f(x)在定义域内有偶数个零点 D. ∀ x ∈ R,f( π ﹣x)﹣f(x)=0 解:函数 f(x)=sinx•cos2x,满足 f(﹣x)=sin(﹣x)•cos(﹣2x)=﹣sinx•cos2x= ﹣f(x), 所以函数为奇函数,故 f(﹣x)+f(x)=0,故 A 错误; 对于 B:由于函数 f(x)=sinx•cos2x,函数 y=sinx 的最小正周期为 2 π , 函数 y=cos2x 的最小正周期为 π ,所以函数 f(x)的最小正周期为 2 π , 故 ∃ T≠0,使得 f(x+2 π )=f(x),故 B 正确; 对于 C:由于函数为奇函数,在原点处有定义, 故函数零点的个数为奇数个,故 C 错误; 对于 D:函数 f( π ﹣x)=﹣sinx•cos2x,故 f( π ﹣x)﹣f(x)=0,故 D 正确. 故选:BD. 11.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,所在棱长均为 1,点 E 为棱 B1C1 上任意一点,则下 列结论正确的是( ) A.直线 AA1 与直线 BE 所成角的范围是[0, ] B.在棱 B1C1 上存在一点 E,使 AB1⊥平面 A1BE C.若 E 为棱 B1C1 的中点,则平面 ABE 截三棱柱 ABC﹣A1B1C1 所得截面面积为 D.若 F 为棱 A1B1 上的动点,则三棱锥 F﹣ABE 体积的最大值为 解:∵AA1∥BB1,∴直线 AA1 与直线 BE 所成角的范围可转化为直线 AA1 与直线 BB1 所成 角的范围,又∵点 E 为棱 B1C1 上任意一点且△BB1C1 是等腰直角三角形,∴直线 AA1 与 直线 BE 所成角的范围是[0, ],∴A 对; 作 EO∥CC1 交 BC 于点 O,连接 AO.可知四边形 A1AOE 是平行四边形,∴A1E∥AO.假 设 AB1⊥平面 A1BE 成立,则 AB1⊥AO.∴△AOB1 中 B1O 对的角是直角最大,∴B1O> AB 这与 B1O<CB1=AB1 矛盾,∴假设不成立,∴B 错; 作 EG∥AB 交 A1C1 于点 G,连接 GA,得截面四边形 ABEG 是等腰梯形,∵直三棱柱 ABC ﹣A1B1C1 中,所在棱长均为 1 且若 E 为棱 B1C1 的中点,∴得 AG=BE= ,GE= , AB=1,∴梯形高 h= ,∴梯形面积即截面积为: (1+ )× = ,∴C 对; 三棱锥 F﹣ABE 体积可转化为求三棱锥 E﹣ABF 的体积,由图可知点 E 到棱 A1B1 的距离 即为点 E 到底面 ABF 的距离.∵点 E 为棱 B1C1 上任意一点,∴点 E 到棱 A1B1 的距离的 最大值是点 C1 到 A1B1 的距离 ,底面△ABF 的面积是定值 ×1×1= ,∴三棱锥 F ﹣ABE 体积的最大值为 × × = ,∴D 错. 故选:AC. 12.若实数 t≥2,则下列不等式中一定成立的是( ) A.(t+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3) B.(t+1)t+2>(t+2)t+1 C.1+ >logt(t+1) D.lg(t+1)(t+2)>log(t+2)(t+3) 解:令 f(x)= ,则 , 易得,当 x>e 时,f′(x)<0,函数单调递减,当 0<x<e 时,f′(x)>0,函数单调 递增, 因为 t≥2,t+3>t+3>e, 所以 < , 所以(t+2)ln(t+3)<(t+3)ln(t+2) 同理 , 所以(t+2)ln(t+1)>(t+1)ln(t+2), 所以(t+1)t+2>(t+2)t+1,B 正确; 所以(t+2)ln(t+1)>(t+1)ln(t+2),A 正确; 令 g(x)= ,x≥2, 则 g′(x)= <0, 故 g(x)在[2,+∞)上单调递减,g(t+1)>g(t+2), 所以 > , 故 logt+1(t+2)>logt+2(t+3),D 正确; 对于 C,1+ >logt(t+1) ⇔ ⇔ ,结合选项 A 的讨论, t 与 e 的大小不确定,故 D 错误. 故选:ABD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.(x+1)n 的展开式中,x2 的系数为 15,则 n= 6 . 解:∵(x+1)n 的展开式中,x2 的系数为 =15,∴n=6, 故答案为:6. 14.若“ ∃ x ∈ [ ,2],使得 2x2﹣ λ x+1<0 成立”是假命题,则实数 λ 的取值范围为 (﹣∞, 2 ] . 解:若“ ∃ x ∈ [ ,2],使得 2x2﹣ λ x+1<0 成立”是假命题, 即“ ∃ x ∈ [ ,2],使得 λ >2x+ 成立”是假命题, 由 x ∈ [ ,2],当 x= 时,函数 y=2x+ ≥2 =2 , 取最小值 2 ; 所以实数 λ 的取值范围为(﹣∞,2 ]. 故答案为:(﹣∞,2 ]. 15.过圆 O:x2+y2=r2(r>0)外一点(2,0)引直线 l 与圆 O 相交于 A,B 两点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 ,则 r 的值为 . 解: , 当∠AOB=90°时,△AOB 面积最大,此时圆心 O 到直线 AB 的距离 d= , 设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣2), , 则 d= ,∴ ,将 代入,解得 r= . 故答案为: . 16.已知函数 f(x)=ex+2e﹣x,g(x)=x﹣a,若关于 x 的不等式 f(x)﹣1≥|g(x)+1| 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围是 [ln2﹣1,3] . 解:令 h(x)=f(x)﹣1,则 h′(x)=ex﹣2e﹣x= , 令 h′(x)=0,解得:x=ln , 当 x ∈ (﹣∞,ln )时,h′(x)<0,h(x)递减, 当 x ∈ (ln ,+∞)时,h′(x)>0,h(x)递增, 当直线 y=x﹣a+1 与 y=h(x)相切时,设切点为(x1,x1﹣a+1), 则 h′(x1)= ﹣2 =1,解得:x1=ln2, 又 h(x1)= +2 ﹣1=x1﹣a+1,故 eln2+2e﹣ln2﹣1=ln2﹣a+1, 化简得:a=ln2﹣1, 当直线 y=﹣x+a﹣1 与 y=h(x)相切时,设切点为(x2,﹣x2+a﹣1), 则 h′(x2)= ﹣2 =﹣1,解得:x2=0, 又 h(x2)= +2 ﹣1=﹣x2+a﹣1, 故 e0+2e0﹣1=0+a﹣1,解得:a=3, 若 f(x)﹣1≥|g(x)+1|在 R 上恒成立, 则 ln2﹣1≤a≤3,故 a 的取值范围是[ln2﹣1,3], 故答案为:[ln2﹣1,3]. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S.若 4S =b2+c2﹣a2,b= . (1)求 A; (2)若______,求△ABC 的面积 S 的大小. (在 ① 2cos2B+cos2B=0, ② bcosA+acosB= +1.这两个条件中任选一个,补充在横线 上) 解:(1)∵4S=b2+c2﹣a2,b= , ∴4× × csinA=2× ccosA, ∴sinA=cosA,可得 tanA=1, ∴由 A 为锐角,可得 A= . (2)若选 ① :2cos2B+cos2B=2cos2B+2cos2B﹣1=0,可得 4cos2B=1, 因为 B 为锐角,可得 cosB= ,可得 B= , 由正弦定理 ,可得 = ,解得 a=2, 由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB,可得 6=4+c2﹣2c,解方程可得 c=1+ ,(负值舍去), 所以 S△ABC= acsinB= × = . 若选 ② ,bcosA+acosB= +1, 又 b= ,A= ,可得 × +acosB= +1,解得 acosB=1, ① 又由正弦定理 = ,可得 asinB= , ② 由 ①② 可得 tanB= ,结合 B 为锐角,可得 B= , 由正弦定理 ,可得 = ,解得 a=2, 由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB,可得 6=4+c2﹣2c,解方程可得 c=1+ ,(负值舍去), 所以 S△ABC= acsinB= × = . 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 2an=Sn+n(n ∈ N*). (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)记 cn= ,求证:数列{cn}的前 n 项和 Tn< . 【解答】证明:(1)当 n=1 时,2a1=S1+1=a1+1,解得 a1=1, 当 n≥2 时,2an﹣1=Sn﹣1+n﹣1,又 2an=Sn+n, 两式相减可得 2an﹣2an﹣1=Sn﹣Sn﹣1+n﹣n+1=an+1, 即有 an=2an﹣1+1, 可得 an+1=2(an﹣1+1), 所以数列{an+1}是首项和公比均为 2 的等比数列; (2)由(1)可得 an+1=2n,an+2+1=2n+2, 则 cn= = = = ( ﹣ ), Tn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ) = (1+ ﹣ ﹣ )= ﹣ ( + )< . 19.如图,三棱锥 P﹣ABC 的底面 ABC 和侧面 PAB 都是边长为 4 的等边三角形,且平面 PAB⊥平面 ABC,点 E 为线段 PA 中点,点 F 为 AB 上的动点. (1)若平面 CEF⊥平面 ABC,求线段 AF 的长; (2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值. 解:(1)取 AB 的中点 O,连接 OP,OC, ∵△ABC 和△PAB 都是等边三角形,∴OC⊥AB,OP⊥AB, ∵平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB,OP ⊂ 平面 PAB, ∴OP⊥平面 ABC, 故以 O 为原点,OA,OC,OP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系, 设 AF=t,则 F(2﹣t,0,0),C(0,2 ,0),E(1,0, ),B(﹣2,0,0), P(0,0,2 ), ∴ =(2﹣t,﹣2 ,0), =(1,﹣2 , ), 设平面 CEF 的法向量为 =(x,y,z),则 ,即 , 令 x= ,则 y= ,z=1﹣t,∴ =( , ,1﹣t), ∵OP⊥平面 ABC,∴平面 ABC 的一个法向量为 =(0,0,1), ∵平面 CEF⊥平面 ABC, ∴ • =0,即 1﹣t=0, ∴t=1, 故线段 AF 的长为 1. (2)由(1)知, =(1,﹣2 , ), =(﹣2,0,﹣2 ), =(2,2 , 0), 设平面 PBC 的法向量为 =(a,b,c),则 ,即 , 令 a= ,则 b=﹣1,c=﹣1,∴ =( ,﹣1,﹣1), 设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 θ , 则 sin θ =|cos< , >|=| |=| |= , 故直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 . 20.在迎来中国共产党成立 100 周年的重要时刻,我国脱贫攻坚战取得全面胜利,创造了又 一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出:“脱贫摘帽不是终点,而是新生活、新 奋斗的起点.”某农户计划于 2021 年初开始种植新型农作物.已知该农作物每年每亩的 种植成本为 2000 元,根据前期各方面调在发现,该农作物的市场价格和亩产量均具有随 机性,且两者互不影响,其具体情况如表: 该农作物亩产量(kg) 900 1200 概率 0.5 0.5 该农作物市场价格(元/kg) 30 40 概率 0.4 0.6 (1)设 2021 年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 X 元,求 X 的分布列; (2)若该农户从 2021 年开始,连续三年种植该农作物,假设三年内各方面条件基本不 变,求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 30000 元的概率. 解:(1)由题意知: 900×30﹣2000=25000,1200×30﹣2000=34000, 900×40﹣2000=34000,1200×40﹣2000=46000, ∴X 的所有可能取值为:25000,34000,46000, 设 A 表示事件“作物亩产量为 900kg”,则 P(A)=0.5, B 表示事件“作物市场价格为 30 元/kg”,则 P(B)=0.4, 则 P(X=25000)=P(AB)=0.5×0.4=0.2, P(X=34000)=P( )=+P(A )=(1﹣0.5)×0.4+0.5×(1﹣0.4)=0.5, P(X=46000)=P( )=(1﹣0.4)(1﹣0.5)=0.3, ∴X 的分布列为: X 25000 34000 46000 P 0.2 0.5 0.3 (2)设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 3000 元”, 则 P(C)=P(X≥30000)=P(X=34000)+P(X=46000)=0.5+0.3=0.8, 设这三年中有 Y 年有纯收入不少于 30000 元, 则有 Y~B(3,0.8), ∴这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 3000 元的概率为: P(Y≥2)=P(Y=2)+P(X=3) = =0.896. 21.已知点 F( ,0)为椭圆 C: (a>b>0)的右焦点,A,B 分别为椭圆的 左、右顶点,椭圆上异于 A、B 的任意一点 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为﹣ . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点(1,0)的两条弦 PQ,MN 相互垂直,若 , ,求证:直线 ST 过定点. 解:(1)由已知可得 c= ,A(﹣a,0),B(a,0), 设点 P 的坐标为(m,n),则 ,解得 a2=4,b2=2, 所以椭圆的方程为 ; (2)证明:因为 , 所以 S,T 分别是 PQ,MN 的中点,当两条弦所在直线的斜率存在且不为 0 时, 设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1),则直线 MN 的方程为 y=﹣ (x﹣1), 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4), 联立方程 ,整理可得:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0, 所以 x ,则 y , 所以 PQ 的中点 T 的坐标为( ), 同理可得,MN 的中点 S 的坐标为( ), 当 ,即 k2≠1 时,所以 k , 所以直线 ST 的方程为 y+ , 即 y=﹣ ,所以直线 ST 过定点( ), 当 k2=1 时,直线 ST 的方程为 x= ,也过点( ,0), 当两条弦的斜率分别为 0 和不存在时,直线 ST 的方程为 y=0,也过点( ,0), 综上,直线 ST 过定点( ,0). 22.已知函数 f(x)=xlnx+a,a<0. (1)证明:f(x)有且仅有一个零点; (2)当 a ∈ (﹣2e2,0)时,试判断函数 g(x)= x2lnx﹣ +ax 是否有最小值?若 有,设最小值为 h(a),求 h(a)的值域;若没有,请说明理由. 【解答】(1)证明:因为 a<0, 所以 x ∈ (0,1)时,f(x)=xlnx+a<0,函数 f(x)无零点; 又因为 f′(x)=1+lnx, 所以 x ∈ [1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 又 f(1)=a<0,e﹣a>1,f(e﹣a)=﹣ae﹣a+a=a(1﹣e﹣a)>0, 即 f(1)f(e﹣a)<0, 故存在唯一 x0 ∈ (1,e﹣a),使 f(x)=0, 综上可知,函数 f(x)有且仅有一个零点. (2)解:g′(x)=xlnx+a, x ∈ (0,1],g′(x)=f(x)<0,x ∈ (1,+∞),g′(x)=f(x)单调递增, 又 g′(1)=a<0,g′(e2)=2e2+a>0, 故存在唯一 x1 ∈ (1,e2),使 g(x1)=0,即 x1lnx1+a=0, x ∈ (0,x1),g′(x)<0,g(x)单调递减; x ∈ (x1,+∞),g′(x)>0,g(x)单调递增, 因此 g(x)= x2lnx﹣ +ax 有最小值, h(a)=g(x)min=g(x1)= x12lnx1﹣ x12+(﹣x1lnx1)x1=﹣ x12lnx1﹣ x12, 令 φ (x)=﹣ x2lnx﹣ x2,x ∈ (1,e2), φ ′(x)=﹣xlnx﹣x<0, 故 φ (x)单调递减, 进而 φ (x) ∈ ( φ (e2), φ (1))=(﹣ ,﹣ ), 即 h(a)的值域为(﹣ ,﹣ ).

资料: 1.9万

进入主页

人气:

10000+的老师在这里下载备课资料