第
1
章 二次函数
1.1
二次函数
y=
6
x
2
问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为
x
，表面积为
y
，则
y
关于
x
的关系式为
.
此式表示了正方体表面积
y
与正方体棱长
x
之间的关系，对于
y
的每一个值，
x
都有唯一的一个对应值，即
y
是
x
的函数。
新课引入
问题２：
n
个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数
m
与球队数
n
有什么关系？
每个球队
n
要与其他（
n
-1）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数
即
此式表示了比赛的场次数
m
与球队数
n
之间的关系，对于
n
的每一个值，
m
都有唯一的一个对应值，即
m
是
n
的函.
问题3：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加
x
倍，那么两年后这种产品的产量
y
将随计划所定的
x
的值而确定，
y
与
x
之间的关系怎样表示？
20(1
+x
)
20(1
+x
)
2
即
这种产品的原产量是20t, 一年后的产量是
t,再经过一年后的产量是
________
t,即两年后的产量y=______
20(1+
x
)
2
此式表示了两年后的产量
y
与计划增产的倍数
x
之间的关系，对于
x
的每一个值，
y
都有唯一的一个对应值，即
y
是
x
的函数。
函数都是用自变量的二次整式表示的
一般地，形如
y
=
ax
²+
bx
+
c
(
a
,
b
,
c
是常数，
a
≠ 0)
的函数叫做二次函数.其中
a
为二次项系数，
b
为一次项系数，
c
为常数项.
问题1、2、3中的式子有什么共同点?
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.
（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
注意
：
（
2
）
a,b,c
为常数，且
a≠0.
（4）
x
的取值范围一般是全体实数，在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
例题分析
例1 下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1)y=3(x-1)²+1 (2)y=x+3
(3)s=3-2t² (4)y=(x+3)²-x²
(5)y= (6)v=10πr²
x²
1
__
例题分析
解：
(1)因为y=3(x-1)²+1=3(x
2
-2x+1)+1
=3x
2
-6x+4
所以该函数是二次函数，其二次项系数
为a=3，一次项系数为b=-6，常数项为
c=4.
(2)因为y=x+3，最高次项是1，所以该函数不是二次函数.
(3)因为s=3-2t²= -2t
2
+3 ,所以该函数是二次函数，其二次项系数为a=-2，一次项系数为b=0，常数项为c=3.
(4)因为y=(x+3)²-x²=x
2
+6x+9-x
2
=6x+9,所以该函数不是二次函数.
(6)因为v=10πr²是二次函数，所以该函数二次项系数为a=10π，一次项系数为b=0，常数项为c=0.
新课讲解
二次函数的一般形式
:
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c (
其中
a
、
b
、
c
是常数
,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当
b
＝
0
时，
y
＝
ax
2
＋
c
当
c
＝
0
时，
y
＝
ax
2
＋
bx
当
b
＝
0
，
c
＝
0
时，
y
＝
ax
2
当a、b、c为何值时函数y＝ax
2
＋bx＋c
是一次函数？
正比例函数？
归纳：
开动脑筋
注意
:
当二次函数表示某个实际问题时
,
还必须根据题意确定自变量的取值范围
.
例如：圆的面积
y( )
与圆的半径
x
（
cm
)
的函数关系是
y =πx
2
其中自变量
x
能取哪些值呢？
问题
：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？
课本P3练习
课堂练习
课堂小结
对自己说
,
你有什么收获
?
对老师说
,
你有什么疑惑
?
对同学说
,
你有什么温馨提示
?
第
1
章 二次函数
1.2
二次函数的图象
1.
列表：在
y
=
x
2
中自变量
x
可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x
···
－
3
－
2
－
1
0
1
2
3
···
y
=
x
2
···
···
2.
根据表中
x,y
的数值在坐标平面中描点（
x,y
）
画最简单的二次函数
y
=
x
2
的图象
x
y
O
－
3
3
3
6
9
0
1
4
9
1
4
9
3.
如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到
y
=
x
2
的图象．
二次函数
y
=
x
2
的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做
抛物线
y
=
x
2
x
y
O
－
3
3
3
6
9
二次函数的图象都是
抛物线
， 它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠0）的图象叫做
抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
实际上，每条抛物线
都有对称轴
，抛物线与对称轴的交点叫做
抛物线的顶点
．顶点是抛物线的
最低点或最高点
．
y
轴是抛物线
y
=
x
2
的对称轴，抛物线
y
=
x
2
与它的对称轴的交点（
0
，
0
）叫做
抛物线
y
=
x
2
的顶点
，它是抛物线
y
=
x
2
的
最低点
．
函数 的图象与函数
y
=
x
2
的图象相比，有什么共同点和不同点？
相同点
：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是
y
轴
不同点
：
a
要越大，抛物线的开口越小．
观察
你画出的图象与图中相同吗？
探究
画出函数 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x
y
O
－
2
2
－
2
－
4
－
6
4
－
4
－
8
对比抛物线，
y
=
x
2
和
y
=
－
x
2
.
它们关于
x
轴对称吗？一般地，抛物线
y
=
ax
2
和
y
=
－
ax
2
呢？
例
在同一直角坐标系中，画出二函数 的图象．
解：先列表：
x
···
－
3
－
2
－
1
0
1
2
3
···
y
=
x
2
＋
1
···
···
y
=
x
2
－
1
···
···
2
二次函数
y=ax
2
+k
图象
（
2
）抛物线 与抛物线 有什么关系？
4
x
y
O
－
2
2
2
4
6
－
4
8
10
－
2
y
=
x
2
＋
1
y
=
x
2
－
1
开口方向都向上，对称轴为
y
轴，
y
=
x
2
＋
1
的顶点坐标是（
0
，
1
），
y
=
x
2
－
1
的顶点坐标是（
0
，
－
1
）
如右图所示
（
1
）抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
在同一直角坐标系中，画出下列二处函数的图象：
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点．你能说出抛物线 的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 有什么关系？
练习
在同一直角坐标系中
连线
函数
y=-(x
-2
)
2
的图象可由
y=-x
2
的图象沿
x
轴向
右
平移
2
个单位长度得到
.
函数
y=-(x
+3
)
2
的图象可由
y=-x
2
的图象沿
x
轴向
左
平移
3
个单位长度得到
.
图象向左移还是向右移
,
移多少个单位长度
,
有什么规律吗
?
y=-(x+3)
2
y=-x
2
y=-(x-2)
2
这两个函数的图象有什么关系？
这两个函数的图象
开口方向
相同
但是
对称轴
和
顶点坐标
不同
函数
y=ax
2
(a≠0)
和函数
y=a
（
x-h)
2
(a≠0)
的图象形状
相同
，只是位置不同；当
h>0
时，函数
y=a(x-h)
2
的图象可由
y=ax
2
的图象向
左
平移
h
个单位得到，当
h0
向左平移
h
个单位，当
h
0
时，向上移
k
个单位，当
k
0
开口向上，对称轴为
x
=
－
3
，顶点坐标为（－
3
，
5
）
;
（
2
）
a
=
－
30
开口向上，对称轴为
x
=3
，顶点坐标为（
3,7
）
;
（
4
）
a
=－5
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