浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质

第 3 章 圆的基本性质 3.1 圆 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 3.1 圆 圆的 定义： 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做 圆 ． · r O A 圆心 ： 固定的端点 O 叫做圆心 ； 半径 ： 线段 OA 叫做半径 ； 圆的表示： 以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙ O ，读作“圆 O ” ．    确定一个圆的两个要素 : 圆心 半径 ． 圆心确定其位置， 半径确定其大小． 同心圆 等圆 圆心相同，半径不同 半径相同，圆心不同 O 如果车轮不是圆形会是什么样子？ 把车轮做成圆形， 车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径 ，当车轮在平面上滚动时， 车轮中心与平面的距离保持不变 ，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理． 为什么车轮做成圆形的？ 动态 ：在一个平面内， 动点 A 绕定点 O 旋转一周，点 A 所形成的图形叫做 圆 ． 静态 ：在一个平面内，所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合． 圆的两个观点： d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在 a ， d ， r ， h 中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量． 经常是过圆心作弦的 垂线 ，或作 垂直于弦的直径 ， 连结半径 等辅助线，为应用垂径定理创造条件． 解决有关弦的问题 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 表示：直径AB · C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图 AC ）叫做 弦 . 表示：弦 AC 弦 弧、弦、圆心角 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 表示：以A、B为端点的弧记作 ⌒ AB 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． · C O A B 小于半圆的弧（如图中的  ）叫做劣弧； ⌒ AC 大于半圆的弧（用三个字母表示， 如图中的 叫做 优弧 . ABC ⌒ 弧有三类，分别是优弧、劣弧、半圆。 等弧 : 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧． 记作： B O A C D AB = CD 注意：弧等含义：弯度相同，长度相等 写出下图中的弧和弦． C O A B C O A B D 在⊙ O 中，点 A,E 在圆上 . 四边形 OABC 、 ODEF 都是矩形，则 BC 和 DF 的大小关系为 __________ O D B 思路： (1) 矩形对角线相等; (2)同圆半径相等。 A C E F 第 3 章 圆的基本性质 3.2 图形的旋转 扇叶 水轮 3.2 图形的旋转 齿轮 地球自转 荡秋千 旋转的运动 （１）上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？ （２）钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢 ？ 旋转角 旋转中心 一般的，一个图形变为另一个图形，在运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定点叫做旋转中心。转动的角度叫旋转角度。 A o B 旋转的三要素 旋转中心 旋转方向 旋转角度 将等边△ ABC 绕着点 C 按某个方向旋转 90 0 后得到△ A / B / C A B C A / B / △ ABC 在旋转过程中，哪些发生了变化？ 归纳 各点的位置发生变化。 点 A ′ 点 A 点 B ′ 点 B 点 C ′ 点 C 从而，各线段、各角的位置发生变化。 OA=OA′ OB=OB′ OC=OC′ 边的相等关系： AB=A′B′ BC=B′C′ CA=C′A′ 对应边相等 △ABC在旋转过程中，哪些没有改变？ 角的相等关系： ∠ABC=∠A′B′C′ ∠AOA ′=∠BOB ′=∠COC ′ ∠BCA=∠B′C′A′ ∠CAB=∠C′A′B′ 对应角相等 = 旋转角 注：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同 样大小的角度。 对应点到旋转中心的距离 相等。 对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于旋转角。 旋转前、后的图形 全等 。 图形的旋转是由 旋转中心 和 旋转角 决定。 图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的 位置 。 知识要点 旋转的基本性质 有哪些证明方法？ 如图，如果把钟表的指针看做四边形 AOBC ，它绕 O 点旋转得 到四边形 DOEF. 在这个旋转过程中： （ 1 ）旋转中心是什么 ? （ 2 ）经过旋转，点 A 、 B 分别移动到什么位置？ （ 3 ）旋转角是什么？ （ 4 ） AO 与 DO 的长有什么关系？ BO 与 EO 呢？ （ 5 ） ∠ AOD 与∠ BOE 有什么大小关系？ 旋转中心是 O 点 D 和点 E 的位置 AO=DO ， BO=EO ∠AOD=∠BOE ∠AOD 和∠ BOE 都是旋转角 B A C O D E F 旋转的基本性质 （１）旋转不改变图形的大小和形状． （２）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角相等。 （３）对应点到旋转中心的距离相等. 平移和旋转的异同： 1 、相同：都是一种运动；运动前后 不改变图形的形状和大小 2 、不同 运动方向 运动量的衡量 平移 直线 移动一定距离 旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度 思考 : 图形的旋转是由什么决定的 ? 图形的旋转是由旋转中心和 旋转的角度决定 . 在平面内，将一个图形绕着一个 定点 沿某个方向 转动一个角度 ，这样的图形运动称为 旋转 旋转的概念： 旋转的性质： 1 、旋转不改变图形的大小和形状． 2 、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角相等． 3 、对应点到旋转中心的距离相等 第 3 章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 已知：如图在 ⊙ O 中， CD 是直径， AB 是弦， CD ⊥ AB ，垂足为 E ． 求证： AE ＝ BE ， AC ＝ BC ， AD ＝ BD ． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A B E C ⑵定理中的弦为直径时，结论仍然 成立 ． ⑴垂径定理：垂直于弦的直径 平分 弦，并且平分弦所对的两条 弧 ． 从上面的证明我们知道： 注意：⑴垂径定理中的垂径可以是 直径 、半径或过圆心的直线或 线段 ，其本质是“过圆心”. ⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质：①经过 圆心 ； ② 垂直 于弦.那么这条直线就 平分 这条弦， 弦 平分 所对劣弧和优弧. 结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧 . 这个命题正确吗？ １ . 垂径定理的条件和结论分别是什么？ 条件： 结论： ③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧 . ①过圆心，②垂直于弦 . 质疑 2 . 条件改为： ①过圆心，③平分弦 . ① 直径过圆心 ③ 平分弦 （ 不是直径） ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （ 1 ） 平分弦 （不是直径）的 直径 垂直于弦 ，并且 平分弦所对的两条弧 ． 垂径定理的推论 D O A B E C 已知： CD 是直径， AB 是弦（ 不是直径） ， CD 平分 AB 求证： CD ⊥ AB ， AD ＝ BD ， AC ＝ BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （ 2 ） 平分弦所对的一条弧 的 直径 ， 垂直平分弦 ，并且 平分弦所对的另一条弧 ． 已知： CD 是直径， AB 是弦，并且 AC ＝ BC 求证： CD 平分 AB ， CD ⊥ AB ， AD ＝ BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A B E C ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （ 3 ）弦的 垂直平分 线 经 过圆心 ，并且 平分弦所对的两条弧 ． 已知： AB 是弦， CD 平分 AB ， CD ⊥ AB ， 求证： CD 是直径， AD ＝ BD ， AC ＝ BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D O A B E C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 （ 4 ） 垂直于弦 并且 平分弦所对的一条弧 的 直 径 过圆心 ， 并且 平分弦和所对的另一条弧 ． ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 （ 5 ） 平分弦 并且 平分弦所对的一条弧 的 直 径 过圆心 ， 垂直于弦 ， 并且 平分弦所对的另一条弧 ． ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 ① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 （ 6 ） 平分弦所对的两条弧 的 直 径 过圆心 ， 并且 垂直平分弦 ． ∴ AM ＝ BM ， CM ＝ DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 圆的两条 平行弦 所夹的 弧相等 ． M O A B N C D 证明：作直径 MN 垂直于弦 AB ∵ AB ∥ CD ∴ 直径 MN 也垂直于弦 CD ∴ AM － CM ＝ BM － DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 即 AC ＝ BD A B C D 两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论 2 有这两种情况： O O A B C D d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在 a ， d ， r ， h 中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量． 第 3 章 圆的基本性质 3.4 圆心角 逆定理 1: 平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦 , 并且平分弦所对的弧 . 逆定理 2: 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 . 垂径定理 : 垂直于弦的直径平分弦 , 并且平 分弦所对的弧 . 复习 . O A B 圆绕圆心旋转 . O A B 圆绕圆心旋转 . O A B 圆绕圆心旋转 . O B A 180° 所以圆是中心对称图形 . 圆绕圆心旋转 180° 后仍与原来的圆重合 。 圆心就是它的对称中心 . N O 把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度  ， N O N'  把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度  ， N O N'  把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度  ， N O N'  把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。 把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度  ， 由此可以看出， 点 N' 仍落在圆上。 如图中所示， ∠ NO N ' 就是一个圆心角。 N O N'  定义：顶点在圆心的角叫做圆心角． 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 ① ② ③ ④ 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： ∠ AOB =∠ COD A B C D o ∵ OA=OC ， OB=OD ， ∠AOB=∠COD, ∴ 当点 A 与点 C 重合时， 点 B 与点 D 也重合。 ∴   AB=CD 圆心角定理： 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对弦的弦心距也相等。             弦 AB 和弦ＣＤ对应的弦心距有什么关系？ 1° 弧 n° 1° n° 弧 我们把顶点在圆心的周角等分成 360 份 , 则每一份的圆心角是 1º. 因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360 份 . 我们把每一份这样的弧叫做 1º 的弧 . 这样 ,1º 的圆心角对着 1º 的弧 , 1º 的弧对着 1º 的圆心角 . n º 的圆心角对着 nº 的弧 , n º 的弧对着 nº 的圆心角 . 性质 : 弧的度数和它所对圆心角的度数相等 . 已知： AB 为 ⊙O 直径， AC∥OD 求证： CD=BD ⌒ ⌒ 第 3 章 圆的基本性质 3.5 圆周角 圆周角 一、回顾 如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？ 顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做 圆心角 . 究竟什么样的角是圆周角呢？ 像图（ 3 ）中的角就是圆周角，而图（ 1 ）、（ 2 ）、（ 4 ）、（ 5 ）中的角都不是圆周角. 认识圆周角 如何判断一个角是不是圆周角 ？ 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做 圆周角 . 练习 : 指出下图中的圆周角. （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） × √ × × 如图，线段 AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上任意一点（除点 A 、 B ）， 那 么， ∠ ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想想看，∠ ACB 会是怎么样的角？为什么呢？ 探索半圆或直径所对的圆周角的度数 ∴ △ AOC 、△ BOC 都是等腰三角形 ∠ OAC ＝∠ OCA ，∠ OBC ＝∠ OCB 又 ∠ OAC ＋∠ OBC ＋∠ ACB ＝ 180° ∠ ACB ＝∠ OCA ＋∠ OCB ＝ ＝90° 因此，不管点 C 在⊙ O 上何处（除点 A 、 B ），∠ ACB 总等于90° 证明：因为 OA ＝ OB ＝ OC ， 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90° （直角）. 反过来也是成立的，即 90° 的圆周角所对的弦是圆的直径. 探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系 1 、分别量一量图中弧 AB 所对的两个圆周角的度数比较一下 . 再变动点 C 在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化 . 你发现其中有什么规律吗？   2、分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？ （ 1 ） 折痕是圆周角的一条边， （ 2 ） 折痕在圆周角的内部 ， （ 3 ） 折痕在圆周角的外部. 为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况: 定理的证明 （ 1 ）圆心在∠ BAC 的一边上。 A O B C 由于 OA=OC 因此∠ C=∠BAC 而∠ BOC=∠BAC+∠C 所以∠ BAC= ∠BOC 1 2 O A B C （ 2 ）圆心在∠ BAC 的内部 . D O A B C （ 3 ）圆心在∠ BAC 的外部 . D 例 如图， AB 为⊙ O 的直径，∠ A = 80° ，求∠ ABC 的度数. A B O 解：∵ AB 为⊙ O 的直径 ∴∠ C=90° ， 又∠ A=80° ∴ ∠ B=10 ° 1 、圆周角的概念 . 顶点在圆上，角的两边与圆相交的角. 2 、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半. 第 3 章 圆的基本性质 3.6 圆内接四边形 O C A B D 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。 若一个四边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个 四边形的外接圆 。 若一个多边形 各顶点都在同一个圆上 ，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆 。 O B C D E F A O A C D E B 如图：圆内接四边形 ABCD 中， ∠A＋∠C的和为多少，同理∠B＋∠D的和呢？ C O D B A 如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角 ∴∠ A ＋∠ C ＝ 180° 同理∠ B ＋∠ D ＝ 180° 圆的内接四边形的对角互补。 如果延长 BC 到 E ，那么∠ DCE ＋∠ BCD ＝ 180° 所以 ∠ A ＝∠ DCE 又 ∠ A ＋∠ BCD ＝ 180° C O D B A E 因为∠ A 是与∠ DCE 相邻的内角∠ DCB 的对角，我们把∠ A 叫做∠ DCE 的内对角。 圆内接四边形的一个 外角等于它的内对角。 C O D B A E 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 C O D B A E 1 2 3 4 5 6 7 你能找出下图各相等或互补的角吗？ 例 如图⊙ O 1 与⊙ O 2 都经过 A 、 B 两点，经过点 A 的直线 CD 与⊙ O 1 交于点 C ，与⊙ O 2 交于点 D 。经过点 B 的直线 EF 与⊙ O 1 交于点 E ，与⊙ O 2 交于点 F 。 求证： CE∥DF 1 2 O O F A B E C D 1 2 O O F A B E C D CE∥DF 1 ∠ E ＋∠ F ＝ 180° ∠ E ＋∠ 1 ＝ 180° 、∠ 1 ＝∠ F 四边形 ABEC 是⊙ O 1 的内接四边形 四边形 ABFD 是⊙ O 2 的内接四边形 连结 AB 证明：连结 AB ∵ ABEC 是⊙ O 1 的内接四边形， ∴∠ 1 ＝∠ F ∵ ADFB 是⊙ O 2 的内接四边形， ∴∠ E ＋∠ 1 ＝ 180° ∴∠ E ＋∠ F ＝ 180° ∴ CE∥DF 1 2 O O F A B E C D 1 1 、如图，四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD ＝ 100° ，求∠ BAD 及∠ BCD 的度数。 A O D B C 求证：圆内接平行四边形是矩形 。 O C D B A 已知：如图，四边形 ABCD 是圆的内接四边形并且 ABCD 是平行四边形。 求证：四边形 ABCD 是矩形。 谢谢大家！ 第 3 章 圆的基本性质 3.7 正多边形 正多边形和圆 A B C D E 正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形 . 正 n 边形： 如果一个正多边形有 n 条边，那么这个正多边形叫做 正 n 边形 . 三条边相等，三个角也相等（ 60 度） . 四条边都相等，四个角也相等（90度）. 想一想： 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ 弦相等（多边形的边相等） 弧相等 — 圆周角相等（多边形的角相等） — 多边形是正多边形 ⌒ ⌒ ⌒ 1 2 3 A B C D E 4 ⌒ ⌒ 5 E F C D . . O 中心角 半径 R 边心距 r 正多边形的中心 : 一个正多边形的外 接圆的圆心 . 正多边形的半径 : 外接圆的半径 正多边形的中心角 : 正多边形的每一条边所对的圆心角 . 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离 . E F C D . . O 中心角 A B G 边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形 设正多边形的边长为 a ，半径为 R ，它的周长为 L=na. R a 1 、正多边形的各边相等 2 、正多边形的各角相等 正多边形的性质： 3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心. 4、边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 画正多边形的方法 1. 用量角器等分圆 2. 尺规作图等分圆 (1) 正四、正八边形的尺规作图 （ 2 ）正六、正三 、正十二边形的尺规作图 如图： 已知点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 是⊙ O 的 5 等分点，画出⊙ O 的内接和外切正五边形 小结： 1 、怎样的多边形是正多边形？ 你能举例说明吗？ 2 、怎样判定一个多边形是正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形 . 根据正多边形与圆关系的第一个定理 1 、判断题 . ① 各边都相等的多边形是正多边形 . （ ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形 . （ ） 2 、证明题 . 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形 . A B C D E F × × 第 3 章 圆的基本性质 3.8 弧长及扇形的面积 3.8 弧长及扇形的面积 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为 ， 则 180 R n l p = n° A B O 弧长公式 已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。 = (cm) 答：此圆弧的长度为 cm 解： 学.科.网 如下图，由组成圆心角的两条 半径 和圆心角所对的 弧 围成的图形是 扇形 。 半径 半径 圆心角 圆心角 弧 A B O B A 扇形 z 在半径为 R 的圆中, n °的圆心角所对的扇形面积的计算 公式 为 A B O 则 用弧长表示扇形面积 为 : S R 圆锥的侧面积全面积 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的 , 它的底面是一个 圆 ，侧面是一个 曲面 . 问题：圆锥的母线有几条？ 准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的侧面展开图．   圆锥的侧面积和全面积 问题 : 1 、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？ 2 、圆锥侧面展开图是扇形， 这个扇形的半径与圆锥 中的哪一条线段相等？ c 圆锥的 底面周长 就是其侧面展开图 扇形的弧长 ， 圆锥的 母线 就是其侧面展开图 扇形的半径 。 c 2 、圆锥形烟囱帽 ( 如图 ) 的地面直径是 80cm ，母线长是 50cm, 制作 100 个这样的烟囱 帽 至少需要多少平方米的铁皮？ 练习： 思考：如何计算展开图中圆心角的大小？ c n o