浙教版八年级数学上册第3章一元一次不等式

第 3 章 一元一次不等式 3.1 认识不等式 用适当的式子表示下列数量关系 : 1. 甲班有 a 人 , 乙班有 b 人 , 已知甲班比乙班少 1 人 , 怎样表示 a 与 b 之间的关系？ 2. 汽车每小时行驶 v 千米 ,2 小时后路程超过了 160 千米 , 怎样表示 v 与 160 之间的关系 ? 做一做 a=b-1 2v>160 等式： 不等式： 下列问题中的数量关系应该用怎样的式子来表示 : (1) 如图 , 是公路上对汽车的限速标志 , 表示汽车在该路段行驶的速度 不得超过 40km/h, 用 v (km/h) 表示汽车的速度 , 怎样表示 v 与 40 之间的关系 ? v≤40 (2) 根据科学家测定，太阳表面的温度 不低于 6000 ℃. 设太阳表面的温度为 t （℃），怎样表示 t 与 6000 之间的关系？ t ≥ 6000 (3) 如图，天平左盘放 3 个质量相等的乒乓球，右盘 放 5 g 砝码，天平倾斜，设 每个乒乓球的质量为 x （ g ）， 怎样 表示 x 与 5 的数量 关系？ 3x ＞ 5 (4) 如图 , 小聪与小明玩跷跷板 , 两人都 不用力时 , 跷跷板左低、右高 , 小聪的身体质量为 p (kg), 书包的质量为 2kg, 小明的身体质量为 q (kg), 怎样表示 p , q 之间的关系 ? q5, v ≤40 这样用 ＜，＞，≤，≥，≠ 连接而成的数学式子叫做 不等式． ＜，＞，≤，≥，≠ 这些符号 叫做 不等号 ． 符号 读法 ＜ ＞ ≤ ≥ ≠ 或不大于 或不小于 小于 大于 小于等于 大于等于 不等于 知识 篇 关键词语 不等号 第一类 —— 明显的不等关系 比 … 大 大于 > 小于 < ≤ 至多 不 大于 不 超过 ≥ 不 小于 不 低于 至少 超过 低于 比 … 小 注意 “ 不 ” 字哦！ 1 、判断下列式子哪些是不等式？若不是请说明理由。 ( 1)2>0 ； ( 2)a 2 +1 ＞ 0 ； (3)3x 2 +2x ； （ 4 ） x ＜ 2x+1 ； (5)x=2x-5 ； ( 6)a+b≠ c ； 练习 1 (1 ) ，（ 2 ），（ 4 ），（ 6 ）是不等式 选择适当的不等号填空 (1) 2____ 3 ； (2) - ____-3 ； (3) - a²____0 ； (4) a 2 +b 2 ____ 0 ； (5) 若x ≠ y,则-x____- y； ＜ ＞ ≤ ≥ ≠ (6) 实数 a,b 在数轴上的位置如图 , 则 a+b____ 0 b-a ____0 ∣ a∣____∣b∣ a 0 b ＜ ＞ ＞ 试一试 ≥ 选择适当的不等号填空 (1) 2____ 3 ； (2) - ____-3 ； (3) - a²____0 ； (4) a 2 +b 2 ____ 0 ； (5) 若x ≠ y,则-x____- y； ＜ ＞ ≤ ≥ ≠ (6) 实数 a,b 在数轴上的位置如图 , 则 a+b____ 0 b-a ____0 ∣ a∣____∣b∣ a 0 b ＜ ＞ ＞ 试一试 ≥ 例 1 根据下列数量关系列不等式： （ 1 ） y 的 2 倍与 6 的和比 1 小； （ 2 ） x 2 减去 10 不大于 10 ； （ 3 ）设 a ， b ， c 为一个三角形的三条边长 ， 两边 之和大于第三 边； （ 4 ） a 是 正数 . 2y+6c ； a+c>b ； b+c>a 小结： 1 、确定不等量关系两边的 代数式； 2 、抓住 关键词 ，选准 不等号 . 再探新知 a>0 ①已知 x 1 =1 ， x 2 =2 ，请在数轴上表示出 x 1 ， x 2 的位置 ； ② x ＜ 1 表示怎样的数的 全体 ？ ③ 0≤x ＜ 2 表示怎样的数的 全体 ？ 2 1 0 － 1 x 1 x 2 2 1 0 － 1 2 1 0 － 1 （表示所有比 1 小的数的全体 . ） （表示所有大于或等于 0 而小于 2 的所有的数的全体） 想一想 1 2 0 3 4 -1 -2 -3 1 2 0 3 4 -1 -2 -3 x ≥ 2 1 ≤ x ＜ 2 (1)x ≥ 2 ； (2) 1 ≤ x ＜ 2. 动手实践 : 在数轴上表示下列不等式： . a a 。 。 . a b . . a b 已知实数 x 在数轴上的图象如下，你能表示 x 的 取值 范围吗？ x ≤ a x ＞ a a ＜ x ≤ b a ≤ x ≤ b 你 能类似地在数轴上表示 , , 吗？ X< a , x ≥ a a ＜ x ＜ b 思考 记忆口诀 小 于朝左，大于朝右。有等画实，无等画空。 说出下列各图所表示的不等式 -5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 • • x ＜－ 2 x≥0 -3 ＜ x≤2 练习 2 已知不等式－ 2 ＜ x ＜ 3. （ 1 ）写出 6 个满足不等式－ 2 ＜ x ＜ 3 的 x 值，你能写 出多少个这样的 x 值？ （ 2 ）写出满足这个不等式的所有的整数。 （ 3 ）求出此不等式的非负整数。 例 2. 一 座小水电站的水库水位在 12 ～ 20m （包括 12m ， 20m ）时 ， 发电机 能正常工作。设水库水位为 x （ m ） . （ 1 ）用不等式表示发电机正常工作水位范围，并表示在数轴上； （ 2 ）当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？ ① x 1 =8 ；② x 2 =10 ；③ x 3 =15 ；④ x 4 =19. 用不等式和数轴给出解释。 解：正常工作范围 12≤x≤ 20. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 x 2 x 1 x 3 x 4 显然， x 3 ， x 4 满足不等式 12 ≤ x ≤ 20 ，而 x 1 , x 2 不满足， 当水位在 15m,19m 时，发电机能正常发电， 当水位在 8m,10m 时，发电机不能正常发电。 1. 填空 题 （ 1 ） 2a ＞ a ； ( ) （ 2 ） - a 2 ＜ 0 ； ( ) 注意 分类性 注意 严密性 × × 当 a ＞ 0 时 ， √ 当 a ≠ 0 时， √ 拓展篇 2. 某水果批发市场规定：批发苹果 不少于 1000 千克时，可享受每千克 2 元的 最优惠批发价 ，个体水果经营户小王携款 x 元到该批发市场，除 保留 200 元作生活费外，全部以 最优惠批发价 买进苹果。用不等式表示问题中 x 与 已知数量 间的不等关系 。 拓展篇 一个概念： 两种步骤 三个体验： 严密性、分类性、数形结合 备好数轴找准点 分清 空实定方向 不等式 （ 五种形式来表示 ） 列 表 抓住 关键词， 选 准 不等号 收获篇 1 、小明和小华在探究数学问题 . 小明说 : “ 3y ＜ 4y .” 小华认为小明说错了 , 聪明的你觉得呢 ? 拓展练习 2 、用不等式表示： （ 1 ） a 与 b 的平方和大于 3 ； （ 2 ） x 与 y 差的平方不小于 2 ； （ 3 ） m 与 2 的差是非 负数 . 3 、填空 （ 1 ）某食品包装袋上标有“净含量 385 克 5 克”， 则食品的合格净含量 x 的范围 是 ________ ； （ 2 ）写出满足不等式 的 所有正整数 ______ ； （ 3 ）写出满足不等式 的最小 整数 ______ . 拓展练习 4 、绝对值大于 1 且小于 3 的整数是（ ） A 、 2 B 、－ 2 C 、 ±2 D 、不能确定 5 、无论 x 取何值，下列不等式总成立的是（ ） A 、 x+1 ＞ x+3 B 、 （ x-3) 2 ≥0 C 、 3x ＞ 1 D 、 3x+2 ＞ x+1 拓展练习 练习：根据下列数量关系列不等式 : (1) x 的４倍小于３ ；   (2)y 减去１不大于２ ； (3)x 的２倍与１的和大于 x ； (4)a 的一半不小于－ ７；   (5)a 与 1 的和是非 正数 . 相信自己是最棒的！ 4x＜3 2x+1 ＞ x y-1≤2 a≥ － 7 a+1≤0 快速抢答 第 3 章 一元一次不等式 3.2 不等式的基本性质 同学们，让我们一起乘坐 幸福的快车 ，领略一路的数学美景！ 等式的基本性质： 如果 a=b,b=c, 那么 a=c ； 如果 a=b ， 那么 a+c=b+c,a-c=b-c ； 双休日，小明进行上网、学习、体育运动的时间分别为 a 小时、 b 小时、 c 小时 . 已知 a > > 1+(-1 )__ 0.5 +(-1) 1-2__0.5-2 1-(-3 )__0.5- (-3) 1 若 a>b ， 则 a+c__b+c ； a-c__b-c. > > 猜想 b a b+c a+c c c b-c a-c b a c c 把 a>b 表示在数轴上 ，不妨设 c>0 ∴a+c>b+c ∴a-c>b-c 数形结合 平移思想    不等式的两边都加上（或都减去） 同一个数 ，所得到的不等式仍成立 . 如果 a ＞ b ，那么 a+c ＞ b+c ， a-c ＞ b-c ； 如果 a ＜ b ，那么 a+c ＜ b+c ， a-c ＜ b-c. 即 选择适当的不等号填空，并说明理由 . > ≥ ≥ ≤ 在 不等式的基本性质 中， a ， b ， c 代表的可以是 数字 、字母，还可以是多项式。 比较下列大小 8 ＿＿ 12 8×4 ＿＿ 12×4 8÷4 ＿＿ 12÷4 8×( － 4) ＿＿ 12×( － 4) 8÷( － 4) ＿＿ 12÷( － 4) ＜ ＜ ＜ ＞ ＞ 想一想：从上面的变化 , ，你发现了什么 ? 探索学习 猜想 如果 a ＞ b ， 且 c ＞ 0 ， 那么 ac ＞ bc ， ＞ ； 如果 a ＞ b ，且 c ＜ 0 ， 那么 ac ＜ bc ， ＜ ； 不等式的两边都乘（或都除以） 同一个正数 ， 所得的不等式仍 成立； 不等式的两边都乘（或都除以） 同一个负数 ，必须 改变不等号的方向 ， 所得的不等式成立 . 如果 a ＞ b ，且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ， ＞ ； 如果 a ＞ b ，且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ， ＜ ； 即 选择适当的不等号填空，并说明理由 . > > > 等式 不等式 基本性质 1 基本性质 2 基本性质 3 若 a ＜ b ， b ＜ c ，则 a ＜ c 如果 a ＞ b, 那么 a+c ＞ b+c ， a-c ＞ b-c 如果 a=b, 那么 a+c=b+c,a-c=b-c 若 a=b,b=c, 则 a=c 等式与不等式的基本性质的区别与联系 特殊值法 : 设 a=-1 ，则 2a=-2. ∵ -2 ＜ -1 ， ∴ 2a ＜ a. 例 1.  已知 a- 3. 一 元一次 不等式的定义 ： 2x 5 < 3+x 不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做 一元一次 不等式 . 2x 5 3+x 分式 整式 不是一元一次不等式 一 元一次 不等式的定义 ： 不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做 一元一次 不等式 . 特点： （ 1 ）不等号的两边都是 整式； （ 2 ）只含有一个 未知数； （ 3 ）未知数的最高次数是 1 次 . 我们把能使不等式成立的未知数的值的全体叫做 不等式的解集， 简称 不等式的解 。 把 x=5 代入不等式 3x9x － 4 1 、解不等式 0.5x-3>-14-2.5x ，把解表示在数轴上， 并求出适合不等式的最大负整数和最小正整数。 解： 3x>-11 x> 1 0 -1 -2 -3 -4 最大负整数解 x=-1 ，最小正整数解 x=1 课外延伸 2. 如果 x=2 是不等式（ a-2 ） x