青岛版九年级数学上册第1章图形的相似

第 1 章 图形的相似 1.1 相似多边形 我们在生活中，常会看到这样一些的图片观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？ (1) (2) (3) (5) (4) (6) §1.1 相似多边形 下列每组图形形状相同吗？ （ 1 ） 正三角形 ABC 与正三角形 （ 2 ） 正方形 ABCD 与正方形 （ 3 ）正五边形 ABCDE 与 正五边形 想一想： （ 1 ）在每组图形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测． （ 2 ）在每组图形中，夹相等内角的两边是否成比例？ 图中的两个多边形分别是计算机显示屏上的多边形 ABCDEF 和投射到银幕上的多边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ，它们的形状相同吗 ? 想一想： （ 1 ）在这两个多边形中，是否有对应相 等内 角？设法验证你的猜测． （ 2 ）在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？ 强调说明 ： 在上图中，六边形 ABCDEF 与六边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 是形状相同的多边形，其中∠ A 与∠ A 1 ，∠ B 与∠ B 1 ，∠ C 与∠ C 1 ，∠ D 与∠ D 1 ，∠ E 与∠ E 1 ，∠ F 与∠ F 1 ，分别相等，称为 对应角 ； AB 与 A 1 B 1 ， BC 与 B 1 C 1 ， CD 与 C 1 D 1 ， DE 与 D 1 E 1 ， EF 与 E 1 F 1 ， FA 与 F 1 A 1 的比都相等，称为 对应边 ． 归纳总结，形成概念 相似多边形的概念： 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做 相似多边形 （ Similar polygons ） . 例如，在上图中六边形 ABCDEF 与六边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 相似，记作六边形 ABCDEF ∽ 六边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ， “ ∽ ” 读作“ 相似于 ”． 相似比的概念： 相似多边形对应边的比叫做 相似比 （ Similarity ratio ） . 强调说明： (1) 在记两个多边形相似时，要把对应顶点字母写在对应的位置上 . (2) 相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法，也是最本质、最重要的性质 . (3) 相似比有顺序性 . 例如，五边形 ABCDE ∽ 五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ，对 应边的比为 因此五边形 ABCDE 与五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 的相似比 五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 与五边形 ABCDE 的相似比 ( 4) 相似比为 1 的两个图形是全等形 . 因此全等形是相似图形特殊情况 . (1) 观察下面两组图形，图（ 1 ）中的两个图形相似吗？ 图（ 2 ）中的两个图形呢？为什么？你从中得到什么 启发？与同桌交流 . (2) 如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？ 提出问题： 一块长 3m 、宽 1.5m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框 7.5cm . 边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 解 :∵ 四边形 ABCD 与矩形 A 1 B 1 C 1 D 1 均为矩形 ∴∠ A =∠ A 1 ，∠ B =∠ B 1 ，∠ C =∠ C 1 ，∠ D =∠ D 1 ， 由题意得 AB =315 ， BC =165 ∴ ∴ ≠ ∴ 矩形 ABCD 和矩形 A 1 B 1 C 1 D 1 不相似 . 通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家． 通过本节课的学习，同学们经历从特殊到一般探究过程，认识到全等图形是相似比于 1 的相似图形，相似图形是全等图形的进一步的推广，理解了相似多边形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在对应的位置上，同时知道相等角所对边是对应边，对应边所对角是对应角．体会了相似比是有顺序要求． 1 ． 一个多边形的边长分别是 2 、 3 、 4 、 5 、 6 ，另一个和它相似的多边形的最短边长为 6 ，则这个多边形的最长边为 ． 2 ． 下列说法中正确的是（ ） A 、 所有的矩形都相似 B 、 所有的正方形都相似 C 、所有的菱形都相似 D 、 所有的正多边形都相似 18 B 练习 第 1 章 图形的相似 1.2 怎样判定三角形相似 相似三角形的相关概念 三个角对应 相等 , 三条边对应 成比例 的两个三角形 , 叫做相似三角 形 相似三角形的各 对应角相等 , 各对应边 对应成比例 . 相似比等于 1 的两个三角形全等 . 注意： 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 . 反 之，写 在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关 , 因此 , 能否弄清对应是正确解答的前提和关键 . 判定三角形相似的方法 判定两个三角形相似的方法 : 两角对应相等的两个三角形相似 . 三边对应成比例的两个三角形相似 . 类比三角形全等的判定方法 : 边角边 (SAS); 角边角 (ASA); 角角边 (AAS); 边边边 (SSS); 斜边直角边 (HL). 你还能得出判定三角形相似的其它方法吗 ? 相似与全等类 比 由 角边角 (ASA) 、角角边 (AAS) 可知 , 有两个角对应相等的两个三角形相似 ; 由 边边边 (SSS) 可知 : 有三边对应成比例的两个三角形相似 ; 由 边角边 (SAS) 可猜想 : 两边对应成比例 , 且夹角相等的两个三角形相似 ; 由 斜边直角边 (HL) 可猜想 : 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 我们已经把前两个猜想变为现实 , 剩余的还有问题吗？ 问题三 : 如果 △ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ 有一个角相等 , 且两边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? (1) 如果这个角是这两边的夹角 , 那么它们一定相似吗 ? 我们一起来动手 : 画 △ ABC 与 △A ′ B ′ C ′ 使 ∠A=∠A ′, 设法比较 ∠B 与 ∠B ′ 的大小 ,∠C 与 ∠C ′ 的大小 . △ ABC 与 △A ′ B ′ C ′ 相似吗 ? 说说你的理由 . 改变 k 值的大小 ( 如 1∶3), 再试一试 . 通过上面的活动 , 你猜出了什么结论 ? 判定三角形相似的方法 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 . 如图 , 在 △ ABC 与 △A ′ B ′ C ′ 中 , 如果 那么 △ ABC∽△A ′ B ′ C ′ ( 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 .) C B A A ′ B ′ C ′ 这又是一个用来判定两个三角形相似的方法 , 但使用频率不是很高 , 务必引起重视 . 且 ∠A=∠A ′, 问题四 : 在 Rt△ ABC 与 Rt△ A ′ B ′ C ′ 中 , ∠C= ∠C ′=90 0 , 如果有一直角边和斜边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? 我们一起来动手 : 画 △ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ , 使 设法比较∠B 与∠B′的大小,∠A与∠A′的大小. Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′相似吗?说说你的理由. 改变k值的大小(如1∶3),再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论? 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 如图 , 在 Rt△ABC 与 Rt△A ′ B ′ C ′ 中 , 如果 那么 △ABC∽△A ′ B ′ C ′ , ( 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 .) C B A A ′ B ′ C ′ 这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法 , 务必引起重视 . 我们重新来看问题三 : 如果 △ ABC 与 △ DEF 有一个角相等 , 且两边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ? (2). 如果这个角是这两边中一条边的对角 , 那么它们一定相似吗 ? 小明和小颖分别画出了下面的 △ ABC 与 △ DEF : 通过上面的活动,你猜出了什么结论? 两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。 A B C 50 0 3.2cm 4cm 2cm D F E 50 0 1.6cm 判定三角形相似的常用方法 : 两角对应相等的两个三角形相似 . 三边对应成比例的两个三角形相似 . 两边对应成比例 , 且夹角相等的两个三角形相似 . 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 相似三角形的各 对应角相等 , 各对应边 对应成比例 . 相似三角形 对应高 的比 , 对应角平分线 的比 , 对应 中线 的比 , 对应周长 的比都等于相似比 . 如图 : 在 △ ABC 和 △ DEF 中 ，如果 ∠A=∠D, ∠B=∠E, 那么 △ ABC∽ △DEF. A B C D E F 那么△ ABC∽ △DEF. 且 ∠A=∠D ， 那么 △ ABC∽ △DEF. 两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。 定义判定 相似三角形判定定理的证明 定理 两 角分别相等的两个三角形相似 A B C A / B / C / 已知：如图，在 △ ABC 和 △ A / B / C / 中， ∠ A=∠A / , ∠B= ∠B / . 求证： △ ABC ∽△A / B / C / . 证明：在 △ ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取 AD=A / B / , 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E （如图）， 则 ∠ ADE=∠ B, ∠AED= ∠C （平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 （平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例） ∵ DE∥BC,DF ∥AC ∴四边形DFCE是平行四边形 ∴DE=CF 而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∵∠A=∠A/, ∠ADE=∠B=∠B/,AD=A/B/ ∴△ADE≌△A/B/C/ ∴△ABC∽△A/B/C/ 定理 两边 成比例且夹角相等的两个三角形 相似 已知：如图， 在△ ABC 和△ A / B / C / 中 ， ∠ A=∠A / , 求证：△ ABC∽△A / B / C / . 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A/B/,过点D作BC的平行线，交AC于点E（如图） ， 则 ∠B=∠ADE, ∠C=∠AED ∴△ABC∽△ADE （两角分别相等的两个三角形相似） ∴AE=A/C/ 而∠A=∠A/ ∴△ADE≌△A/B/C/ ∴△ABC∽△A/B/C/ 定理 三 边成比例的两个三角形相似 已知：如图，在△ ABC 和△ A / B / C / 中， 求证：△ ABC∽△A / B / C / . 证明：在△ABC的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A/B/,AE=A/C/,连接DE. 而∠BAC=∠DAE ∴△ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴DE=B/C/ ∴△ADE≌△A/B/C/ ∴△ABC∽△A/B/C/ B C A E D F 如图， AD⊥BC 于点 D ， CE⊥AB 于点 E ，且交 AD 于 F ，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F 如图， AD⊥BC 于点 D ， CE⊥AB 于点 E ，且交 AD 于 F ，你能从中找出几对相似三角形？ 通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有什么困惑？ ? 本 课 小 结 第 1 章 图形的相似 1.3 相似三角形的性质 1.3 相似三角形的性质 相似三角形的识别 问：相似三角形的识别方法有哪些？ 证二组对应角相等 证三组对应边成比例 证二组对应边成比例，且夹角相等 相似三角形的特征 问：你知道相似三角形的特征是什么吗？ 角：对应角相等 边：对应边成比例 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值= 如右图， △ A B C ∽△A′B′C′ A B C A ’ B ’ C ’ D D ’ 已知： Δ ABC∽ Δ A’B’C, ’ 相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。 相似三角形对应边上的高有什么关系呢？ 相似三角形对应边上的高之比等于相似比 A′ B′ C′ D′ 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD 与A′ D′有什么关系？ 右图△ A B C ， AD 为 BC 边上的高。 D A B C 相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？ 相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比 如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的角平分线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′的角平分线， △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AF 与A′ F′比是多少？ A B C F A′ B′ C′ F′ 相似三角形对应边上的中线比等于相似比 相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？ 如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ E′为 B′C′边上的中线。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AE 与A′ E′比是多少？ A B C E A′ B′ C′ E′ 填空： （ 1 ）两个三角形的对应边的比为 3:4 ，则这两个三角形的对应角平分线的比为 _____ ，对应边上的高的比为 ____ ，对应边上的中线的比为 ____ (2) 相似三角形对应角平分线比为 0.2, 则相似比为 _________, 对应中线的比等于 ______; 相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 . 你会应用吗？ △ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知 ，B′D′=4cm，求BD的长. 解：∵ △ ABC∽△A ′ B′C′ ， 　　　 BD 和 B′D′ 是它们的对应中线　 　　 ∴ （相似三角形对应中线的比都等于相似比） ∴ BD=6 ∴ 相似三角形的周长比等于相似比。 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 想一想： 你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？ 周长比等于相似比，面积比等于相似比的 平方 √10 2 √2 1 √5 √2 A B C A ’ C’ B’ 小结 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的 平方 （你学到了什么呢？） 用较简单的方法测量河坡电场烟囱的高度 . 课外完成 , 写出实践报告 . 第 1 章 图形的相似 1.4 图形的位似 1.4 图形的位 似 教学目标 1. 理解位似图形在坐标系中的作图方法及坐标规律 2. 能按要求作出简单的平面图形运动后的图形以及对应的坐标变化 重点： 位似图形在坐标系中的坐标规律 难点： 位似图形的准确作图，动手实践能力的落实 新课引入 下图是运用幻灯机（点 Ｏ 表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？ o 这两个图形的形状相同，但大小不同， 它们是 相似图形 . 分别在左、右两个小狗的头顶上取一点 A,A′; 再分别在狗尾巴尖上取一点 B,B′. o B ′ B A ′ A 发现点 A,A′ 与点 O 在一条直线上 . 点 B,B′ 与点 O 在一条直线上 . 分别量出线段 OA ， OA′, OB ， OB′ 的长度，计算 ( 精确到 0.1) ： 继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，考察每一对对应点是否都与点Ｏ在一条直线上； 计算每一对对应点与点O所连的线段比，看它们是否与上述 ， 相等. 一般地，取定一个点O，如果一个图形G上每一个点P对应 于另一个图形G′上的点P′，且满足： （1）直线PP′经过同一点O， （2） ，其中k 是非零常数，当k>0 时，点P′在射线 OP 上，当k