最新青岛版八年级数学上册第2章图形的轴对称PPT

第 2 章 图形的轴对称 2.1 图形的轴对称    1 ．在生活实例中认识轴对称图形；    2 ．分析轴对称图形，理解轴对称的概念；    3 ．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质；    教学目标 知识与能力 1 . 轴对称的性质； 2.轴对称与轴对称图形的关系． 教学重难点 重点 难点 1 ．体验轴对称的特征； 2 ．能够识别轴对称图形并找出它的对称轴； 3 ．轴对称与轴对称图形的关系． 图片欣赏 请观察！ 轴对称图形 定义： 如果 ________ 沿一条直线折叠 , 直线两旁的部分能够 _________, 这个图形就叫做 ____________. 这条直线就是它的 __________. 这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 对称轴 一个图形 互相重合 轴对称图形 对称轴 对称轴 轴对称图形 轴对称图形 下面这些图形是不是轴对称图形？ 是 是 是 不是 下面四幅图中是轴对称的有几个？ 画出下面每个轴对称图形的对称轴 下面是几家银行的标志 , 其中是轴对称 图形的是？ 智力测验 想一想 ：0-9十个数字中，哪些是轴对称图形？（抢答） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 猜字游戏 : 在艺术字中,有些汉字是轴对称的，你能猜一猜下列是哪些字的一半吗？ 把一圆形纸片两次对折后，得到右图，然后沿虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是 ( ) A B C D B 接下来我们来探讨有关 对称轴条数 的问题 ？ 1 、动手画一画 小结 （ 1 ） 有些轴对称图形的对称轴 只有一条 ，但有的轴对称图形的对称轴却 不止一条 ，有的轴对称图形的对称轴甚至有 无数条 。 （ 2 ）对称轴通常画成 虚线 ，是 直线 ，不能画成线段。 A′ A B C B′ C′ 观察 下面的每对图形有什么共同特点 ? 两个图形成轴对称的 定义： 把 _______ 沿着某一条直线折叠 , 如果它能够与 _____ 图形 ____, 那么就说这两个图形 ______________ 或者说这两个图形成轴对称。这条直线叫做 _____. 折叠后重合的点是对应点 , 叫做 ______. 一个图形 另一个 重合 关于这条直线对称 对称轴 对称点 想一想：一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？ 比较归纳： 轴对称图形 两个图形成轴对称 区别 ＿个图形 ＿个图形 联 系 １．沿一条直线折叠 , 直线两旁的部分能够＿＿＿＿． ２．都有＿＿＿＿． ３． 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线＿＿＿；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就 是 ＿ ＿＿＿ ． 一 两 互相重合 对称轴 对称 轴对 称图 形 如 图， △ABC 和 △A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点 A′ 、 B′ 、 C′ 分别是点 A 、 B 、 C 的对称点，线段 AA′ 、 BB′ 、 CC′ 与直线 MN 有什么关系？ MN 垂直平分线段 AA′ 、 BB′ 和 CC′ ． 想一想 知识要点   对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线 ． 图形轴对称和轴对称图形的性质： （1）如果两个图形关于某一条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）如果两个图形关于某一条直线对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 第 2 章 图形的轴对称 2.2 轴对称的基本性质 如 图， 把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点 A 、 点 A ′ ，折痕记为 l ；连接 AA ′ ， AA ′ 与 l 相交于点 O ． 你有什么发现 ？ （ 小组交流 ） ● l l ● A ′ O ● 【 活动一 】 A ∴ 线段 OA 、 OA ′ 重合， ∵ ∠ 1 ＝∠ 2 且 ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 180° ， ∴ O 是 AA ′ 的中点． ∴ ∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 9 0° ． l A A ′ ● ● 2 o 1 ∴ l 垂直且平分 AA ′ ． ∵ 把纸沿折痕 l 折叠时，点 A 与点 A ′ 重合， 垂 直并且平分一条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线 ． l    如图，直线 l 交线段 AB 于点 O , ∠ 1 ＝ 90 ° ， AO ＝ BO ， 直线 l 是线段 AB 的垂直平分线． B A ● ● 1 O 【 归纳概括 】 仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点 B 、 B ′，连接 AB 、 A ′ B ′、 BB ′．你有什么新的发现？ A ′ B ′ 【 活动二 】 l 如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线． △ ABC 与△ A ′ B ′ C ′ 有什么关系？ 你能得出什么结论？ A C B A ′ B ′ ● C ′ 【 活动三 】 l 1 ．成轴对称的两个图形全等． 2 ．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． 轴对称的性质： 轴对称的性质 A A 【 归纳概括 】 ● ● ● ● A D C B ● ● ● ● F E H G l 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“ 4” ，然后将纸放在镜子前． (1) 图中两个“ 4” 有什么关系？ （ 1 ）你能画出镜子所在直线 l 的位置吗？ l 方法（ 1 ） 方法（ 2 ） 【 活动四 】 （ 2 ）图中点 A 、 B 、 C 、 D 的对称点 分别 是 ，线段 AC 、 AB 的对应线段分别是 ， CD= ， ∠ CAB= ，∠ ACD= . E 、 G 、 F 、 H EF 、 EG FH ∠ FEG ∠ EFH ● ● ● ● A D C B ● ● ● ● F E H G l （ 3 ）连接 AE 、 BG ， AE 与 BG 平行吗？为什么？ ∵ A 和 E ， B 和 G 是关于直线 l 的对称点， ● ● ● ● A D C B ● ● ● ● F E H G l ∴ l ⊥ AE ， l ⊥ BG ． ∴ AE ∥ BG ． 解 ：平 行． （ 4 ） AE 与 BG 平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互 相平 行吗？ 解 ：不 一定． ● ● ● ● A D C B ● ● ● ● F E H G l 如图，对称点的连线 DH 、 CF 就不互相平行，而是在同一条直线上， 从而说明 轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上． ● ● ● ● A D C B ● ● ● ● F E H G l （ 5 ）延长线段 CA 、 FE ，连接 CB 、 FG 并延长，作直线 AB 、 EG ，你有什么发现吗？    轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行． （ 1 ）成轴对称的两个图形全等． （ 2 ）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线． 2 ．轴对称的性质： （ 3 ）轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上． （ 4 ）轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行． 【 课堂小结 】 1 ． 垂直平分线的定义： 垂 直 并且 平分 一条线段的直线称为这条线段的 垂直平 分线（或中垂线） ． 2.2 轴 对称 的基本性 质（课时 2 ） 垂直平分线的定义： 垂 直 并且 平分 一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线（或中垂线 ） . ● A l ● A ′ O (1) A 、 B 、 C 三 点都在方格纸的格点位置上，请你再找一个格点 D ，使图中四点组成一个轴对称图形 . A B C 思考 （ 2 ）去掉网格线，你能找出点 A 关于直线 BC 的对应点么？ （ 3 ）点 C 关于直线 BC 的对应 点存在么 ？你能画出线段 AC 关于直线 AB 的对称图形么？ 怎样画出线段 AB 关于直线 的对称线段 A ′ B ′? A l B A l B A l B 画轴对称图形的一般步骤： （ 1 ） 确定 对称轴； （ 2 ） 找出 关键点； （ 3 ） 作出 对称点； （ 4 ） 画出 轴对称图 形 . l 已知成轴对称的 两个图形 ，要求画出 对称轴 已知 一个图形 和 对称轴 ，要求画出 另一个图形 A A ′ B B ′ ● ● C ′ C l l A ● C B 例 1 如 图，作出 Δ ABC 关于直线 l 对称 的 Δ A′B′C′. 例 2 作出下图中 △ ABC 关于直线 l 的对称 △ A′B′C ′. B C A l C B l A C A B l 如果两个图形成轴对称，那么对应线段互相平行或它们所在直线的交点在对称轴 上 . 例 4 已知：如图，在∠ AOB 内有一点 P ，试作点 P 关于直线 OA 的对称点 P 1 ，再作点 P 关于直线 OB 的对称点 P 2 。 （ 1 ）试探索∠ P 1 OP 2 与∠ AOB 的大小关系； （ 2 ）若点 P 在∠ AOB 的外部，或在∠ AOB 的一边上，上述结论还成立吗？ 课 堂小结 1 、画轴对称图形的步骤： （ 1 ） 确定 对称轴； （ 2 ） 找出 关键点； （ 3 ） 作出 对称点 （ 4 ） 画出 轴对称图 形 . 2 、轴对称的其他性质： （ 1 ）如果两个图形成轴对称，那么对应线段互相平行或它们所在直线的交点在对称轴上； （ 2 ）成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对 称 . 第 2 章 图形的轴对称 2.3 轴对称图形 如果 沿着 折叠，直线两旁的部分能够 ，那么这个 图形叫做轴对称图形， 这条直线就是它的 对称轴 。 一个图形 一条直线 完全重合 1. 下列图形是轴对称图形吗？如果是你能找出对称轴吗？你是怎样判别的？ 合作学习 折叠可以判断一个图形是不是轴对称图形 2 、请找出下列哪些图形是轴对称图形 ? 并找出它的对称轴各有几条？ 一般等腰三角形 等腰梯形 正方形 一般长方形 等边三角形 一般三角形 圆 一般梯形 一般平行四边形 课 内 练 习 3. 在 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 这几个数字中，哪几个是轴对称图形？ 0 3 8 4.你能举出几个是轴对称图形的汉字的例子吗？ 中 田 王 干 平面内 两个图形 在 一条直线 的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够 完全重合 ，那么称这 两个图形 成 轴对 称 . 这条直线叫做 对称 轴 . 折 叠后重合的两点叫做 对应点（对称点 ） . （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 下列各组中的两个图形是否关于给定的直线对称？ 巩固练习 轴对称图形 轴对称 区别 联系 对两个图形而言 只有一条对称轴 对一个图形而言 至少有一条对称轴 2 、若将成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形沿对称轴看成两个图形，那么这两个图形关于这条对称轴成轴对称． 1 、沿某条直线对折后都能完全重合； 说 说轴对称图形与轴 对 称的 区别与联 系 . 交流与讨论 请你用 2 种方法，将如 图的 四块小正方形纸板拼成一个大的正方形，并且使拼成的大正方形是至少有两条对称轴的轴对称图 案 . 你是设计师 小结： 谈 谈本节课你学到的知识有哪 些？ 有什么感受 ? 第 2 章 图形的轴对称 2.4 线段的垂直平分线 操作 指出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称 轴 . （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） （ 7 ） 问题 怎 样作出 一条线段的垂直平分线？ 2. 过点 E 、 F 作直 线 . 1. 分别以点 A ， B 为圆心，大于 的长 为半径，画弧 交于点 E ， F ； 尺规作图 作法： 探究 测量 猜想 证明 测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离 已知，如图，直线 MN 经过线段 AB 的 中点 O ，且 MN ⊥ AB , P 是 MN 上 任意一 点 . 求证 ： . 线段垂直平分线上的 点到线 段两端的距离相 等 . 线段垂直平分线上的 点到线 段两端的距离相 等 . 定理 如图 ，在四 边形 ABCD 中，直线 AC 垂直平分 BD 于点 O . （ 1 ）图中有多少对全等三 角形，请把它们写出来； （ 2 ）任选（ 1 ）中一对全等 三角形加以证 明 . 例 1 范例学习 针对性训练 1 、如 图， DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ） A ． ED = CD B ． ∠ DAC = ∠B C ． ∠ C ＞ 2 ∠B D ． ∠ B + ∠ADE =90° 2 、如图，在△ ABC 中， BC 的中垂线交斜边 AB 于 D ，图中相等的线段有（ ） A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 针对性训练 3 、已知，如图， y 轴垂直平分线段 BC ，点 A 在 y 轴上，点 B ， C 在 x 轴 上 . （ 1 ）若点 C 的坐标为（ 3 ， 0 ），则点 B 的坐标是 __________ ； （ 2 ）若点 B 的坐标为（ m ， 0 ），则点 C 的坐标是 ___________ . 针对性训练 4 、已知如图， DE 是△ ABC 的边 AB 的垂直平分线， D 为垂足， DE 交 AC 于点 E ，且 AC ＝ 8 ， BC ＝ 5 ，则△ BEC 的周 长为 ______. 针对性训练 5 、公路 l 同侧的 A ， B 两村，共同出资在公路边修建一个停靠站 C ，使停靠站到 A ， B 两村距离相等，你如何确定停靠站 C 的位 置 . 针对性训练 思考 你 能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 逆命题 定理 到线 段两端距离相等的点 在线 段的垂直平分线 上 . 线段垂直平分线上的 点到线 段两端的距离相 等 . 定理 范例学习 例 2 已知：如图， DE 、 DF 分别是 △ ABD 和 △ ACD 的高， DE ＝ DF . 求证： AD 垂直平分 EF . 整理小结 一个方法 证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性 质 . 两条定理 线段垂直平分线上的 点到线 段两端的距离相 等 . 到线 段两端距离相等的点 在线 段的垂直平分线 上 . 三种作图 折纸 ; 过中 点作垂 线 ; 尺规作图法 第 2 章 图形的轴对称 2.5 角平分线的性质 问题 1 ：   如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20 000 ） 解决问题 s 1 、 观察下面简易的平分角的仪器，其中 AB=AD ， BC=DC. 将 点 A 放在角的顶点， AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE ， AE 就是∠ DAB 的平分 线 . 你 能说明它的道理吗？ 探究 在△ ADC 和△ ABC 中 AB=AD （已知） AC=AC （公共边） DC=BC （已知） ∴ △ ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC （全等三角形对应角相等） ∴ AE 平分∠ BAD （角平分线定义） 证明 ： B D A C E 已知： AB=AD ， BC=DC 。 求证： AC 是∠ BAD 的平分线 已知 ： ∠ ＡＯＢ ( 如图 ). 求作 ： ∠ ＡＯＢ 的平 分线 OC . O A B N M C 证明 : 连结 MC , NC. 由 作法 知 ， 在△ OMC 和△ ONC 中，     OM = ON ，     MC=NC ，     OC = OC ， ∵△ OMC ≌△ ONC (SSS ) ， ∴∠ AOC =∠ BOC ， 即 OC 是∠ ＡＯ Ｂ 的平 分线 . 2 、基本作图：平分已知角 作法 ： 1 、 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧， 交 OA 于 M ，交 OB 于 N . 2 、分别以 M 、 N 为圆心，大 于 的长为半径在角的内部作弧，两弧在 ∠ AOB 内部交于点 C . 3 、作射线 OC ，射线 OC 即为所 求 . 1 2 MN 思考： 当 ∠ AOB 的两边成一条直线（即 ∠ AOB =180° ），通过上面的步骤得到射线 OC 后， OC 是这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线 AB 是什么关系？ 1 、折痕 PE 和 PD 与角的两边 OA 、 OB 有什么关系？ PD 和 PE 相等吗？ 2 、两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？ 3 、由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证明你的结论 . C O B A P D E 3 、观察折纸，思考问题： 将 ∠ AOB 对折 , 再折出一个直角三角形 ( 使第一条折痕为斜边 ), 然后展开 , 观察两次折叠形成的三条折痕 , 你能得到什么结论 ? 角 平分线性质 : 角 平分线上的点 到这个角的两边距离相等 . 已知 : 如图 , OC 平分 ∠ AOB , P 是 OC 上一点 , PD ⊥ OA , PE ⊥ OB . 求证 : PD = PE . 证明 : ∵ OC 平分 ∠ AOB , P 是 OC 上一 点 , （ 已知） ∴∠ DOP =∠ BOP . （ 角平分线定义） ∵ PD ⊥ OA , PE ⊥ OB , （ 已知） ∴∠ ODP =∠ OEP =90 °. （ 垂直的定义） 在△ OPD 和△ OPE 中 ,  ∠ DOP = ∠ EOP , （ 已证）  ∠ ODP =∠ OEP , （ 已证）    OP = OP ,   （已知） ∴ △ OPD ≌△ OPE . (AAS ) ∴ PD = PE . （ 全等三角形对应边相等） 几何语言 : ∵ OC 是∠ AOB 的平分线 , PD ⊥ OA,PE ⊥ OB, ∴ PD=PE.( 角平分线上的 点 , 到 这个角的两 边的距 离相等 ) E D O A B P C 解： 作夹角的平分线 OC ，截取 OD =2.5 cm , D 即为所求 . D C s 已知：如图，在△ ABC 中，∠ C =90° ， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥ AB 于 E ， F 在 AC 上 BD = DF . 求证： CF = EB . 应用与提高 证明 ：∵ AD 平分∠ CAB ， DE ⊥ AB ，∠ C ＝ 90 ° ，（ 已知） ∴ CD ＝ DE . ( 角平分线的性质 ) 在 Rt △ CDF 和 Rt△ EDB 中 , CD = DE ，（ 已证） DF = DB ，（ 已知） ∴ Rt△ CDF ≌Rt△ EDB ， (HL) ∴ CF = EB . （ 全等三角 形的对 应边相等 ） 1 、如图，连接角平分仪的 边 BD ， AC ，那么 AC 与 BD 有什么关系？为什么 ? 提高与拓展 2 、从集合的角度给角平分线下定义是什么样的？ 角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集 合 . 做一做 已知 : 如图 , 在△ ABC 中 , AD 是它的角平分线 , 且 BD = CD , DE ⊥ AB , DF ⊥ AC , 垂足分别是 E , F . 求证 : EB = FC . B A E D C F 小结： 这节课我们学到了什么？在生活中 有哪些 用到了我们今天学到的知 识 . 1 、角 平分线上的点 到这个角的两 边的距 离相等 . 2 、到角两 边的距 离相等的点 在这个 角的 平分线 上 . 3 、 角平分线可以看作 是到角两边距离相等的点的集 合 . 思考 : 1 、 到 一个三 角 形的三 边距离相等的点有几个 ? 画图说明 . 2 、 求证：三角形的三条平分线交于一 点 . 第 2 章 图形的轴对称 2.6 等腰三角形 一、复习 1 、什么叫 轴对称图形 和 轴对称 ？ 答： 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图 形 . 这 条直线叫做对称 轴 . 2 、轴对称与轴对称图形的联系和区别是什么？ 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成 轴对 称 . 这 条直线就是对称 轴 . 二、复习 1 、角是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些？ 答： 是，对称轴是角平分线所在的直 线 . 角 平分线上的点到角两边的距离相 等 . 2 、线段是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些呢？ 答： 是，对称轴是它的垂直平分 线或它本身所在的直线， 线段的垂直平分线到线段的两个端点的距离相 等 . 做一做 现在请同学们将刚才所发的等腰三角形对折， 使两腰 AB ， AC 重叠在一起，折痕为 AD ， 你能发现什么现象呢？ D A B C ·→ 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 “ 三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高 为什么不一样 ? １ . 等腰三角形是 轴对称图 形 . ２ . 等腰三角形两个底角相等，简写成“ 等边对等角 ” . ３ . 等腰三角形的 顶角平分线 、底边上的 中线 、底边上的 高 互相重合 . 简称“ 三线合一 ” . 等腰三角形的三个性质 “ 三线合一”是对等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高而言的 “ 等边对等角”必须在同一个等腰三角形中才成立 例 1 已知，在 △ ABC 中， AB=AC ， ∠ B= 80 。 . 求 ∠ C 和 ∠ A 的度数． 解 : ，（ 已知） . （ 等边对等角） （三角形内角和等于  ） ， . 例 2 如 图，在 △ ABC 中， AB=AC ， D 是 BC 边上的中点 ，∠ B= 30 。 . 求 ∠ １ 和 ∠ ADC 的度数． 解 : ∵ AB=AC ， D 是 BC 边上的中 点， ∠ADC ＝ 90 ° ∵ ∠ BAC= 180 ° -30 °- 30 °= 120 ° ， （三线合一） ， ， . 小结 本节课你学到了什么 ? 1 、等腰三角形的定义以及相关概 念 . 2 、等腰三角形的性质： （ 2 ）等腰三角形底边上的中线 , 底边上的高 和顶角平分 线互相重合（简称“三线合一 ”） . （1）等腰三角形的两底角相等（简写“等边对等角”）. 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法 . A C B D ● ● E ●● ●● A C B M N A C B P Q 下 列 各说法对吗 ？为什么？ 1 、等腰三角形两底角的平分线相等 . 2 、等腰三角形两腰上的中线相等 . 3 、等腰三角形两腰上的高相等 . 思考 一、等腰三角形性质定理： 1 、将命题“ 等边对等角 ”写成“如果 … 那么 …” 的形式，并写出它的题设与结 论 . 如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相 等 . 2 、说出上述命题的逆命题，它是真命题还是假命题？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相 等 . 简称为“等角对等边” .