冀教版九年级数学上册第25章图形的相似

第二十五章 图形的相似 25.1 比例线段 全等图形：能够完全重合的两个图形 . 我们把线段 AB 、 BC 、 A`B` 、 B`C` 叫做 成比例线段 . 预习 25.1 ：图  图 是 两个形状相同但大小不同的矩形， 对比它们 长、宽的大小关系，你怎样理解什么叫线段的比？什么叫成比例线段？ B C D A 3 6 图  2 4 B` C` D` A` 图  4 3 E F H G 图  计算 : 已知 线段 a=2cm , b=3mm 那么 a,b 两条线段的比是 多少？ 比例线段注意两点： 1. 单位统一 2. 顺序性 称 a,b,c,d 成比例 称 a, d,c,b 成比例 解方程： 2:3=4 ： x 解： 2 x =3×4 x =6 比例的基本性质： 特别地，如果三条线段 a, b, c 满足比例式　　　　 即 ， 则 b 叫做 a, c 的比例中项 . 欣赏 : 上海东方明珠塔 图为上海东方明珠电视塔 , 这个塔的设计精巧 , 外型匀称、美观、大方，是因为塔 高 468m ，中球体到塔底的距离约为 289.2m, 289.2 与 468 的比值 是一个神奇的数字 , 这个数字蕴含着数学中的一种神奇分割，这个分割是什么呢？这个数字又是多少呢？ B . . C . A 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 ， AC 与 AB 的比叫做 黄金比 . 如图 , 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC , C A B 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 ， Ｂ C Ａ 如何来求 的值呢？ A B c A B c 思考 : 一条线段有几个黄金分割点？ 这三幅图片从构图上看那幅更美？ B A C E F 脸型相同，五官完全相同的 3 张脸，哪个美？ B C A 京剧演员经常选择舞台宽度的一个黄金分割点作为出场亮相的位置，这样具备最佳的舞台效果 . 黄金分割的魅力 黄金 分割与生活 由黄金分割画出的正五角星形 , 有庄严雄健之美 . A C B 总结归纳： 本节课你学到了什么知识？ 1. 什么叫线段的比、比例线段及注意事项 . 2. 比例的性基本质 . 3. 比例中项及黄金分割（黄金分割 0.618 ）及黄金 分割在生活中的应用 . 4. 数学的作用好强大，为人们的生活服务，同时体会到数学巨大的魅力。 第二十五章 图形的相似 25.2 平行线分线段成比例（ 1 ） 学 习 新 知 如图，在课前准备的语文横格本上任意画两条直线，分别交横格线 于 A 、 B 、 C 与 D 、 E 、 F ，你能得到线段 AB 与 BC 、 DE 与 EF 之间的数量关系吗？ 如图所示 , 两条直线 AC , DF 被三条互相平行的直线 l 1 , l 2 , l 3 所截 , 截得的四条线段分别为 AB , BC , DE , EF , 平行线 l 1 , l 2 之间的距离为 d 1 , 平行线 l 2 , l 3 之间的距离为 d 2 . 与 相等吗 ? 平行线分线段成比例 （ 1 ）在 课前准备的距离相等的 横格纸中， l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ，任意作直线分别交横格线与 A 、 B 、 C 与 D 、 E 、 F ( 如图所示）， = ， = ，即 . = ， = ，即 ； （ 2 ） 在课前准备的距离相等的横格纸中，横格线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ∥ l 4 ∥ l 5 ，任意作直线 AE 和 A 1 E 1 ( 如图所示）， 则 = ， = ，即 ； （ 3 ） 在上图中，你还能得到其 他 的比例式吗？ （ 4 ） 如图，对于任意一组平行线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ，直线 AC ， DF 被三条平行线截得的对应线段成比例吗？ 几何语言： 如图，当直线 l 1 ∥l 2 ∥l 3 时， 则 . 基本事实： 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例 . 大家谈谈 如图，当直线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 时，直线 AC 、 DF 被三条平行线所截，交点为 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F ，说出三组成比例的线段． 如图所示，直线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 时，你能得到对应线段成比例吗？ ( 教材 64 页练习 1 题 ) 如图所示 , 在正方形网格图中 , 每个正方形的边长均为 1, 若 AB=BC , 则 DE 和 EF 之间有什么关系 ? 为什么 ? 解 : DE=EF. 理由如下 : ∵ AD ∥ BE ∥ CF ，∴ ∵ AB=BC ，∴ ， ∴ DE=EF. ( 教材 64 页练习 2 题 ) 如图所示 , l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 , AB= 3, BC= 6, DE= 2 . 求 EF 的长 . 解 :∵ l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ,∴ . ∵ AB =3 ， BC =6 ， DE =2 ， ∴ ， ∴ EF=4. 2 . 在应用平行线分线段成比例这个基本事实时 , 找准被平行线所截得的对应线段 , 被截线段不一定平行 , 当“上比下”的值为 1 时 , 说明平行线间的距离相等 . [ 知识拓展 ] 　 1 . 平行线分线段成比例这个基本事实应用于平行线的图形中 , 用来直接判断线段成比例 , 或将线段的比转化为其他的线段的比 . 检测反馈 1 . 如图所示 , 已知 AB ∥ CD ∥ EF , 那么下列结论中错误的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D . 解析 :∵ AB ∥ CD ∥ EF , ∴ ， ， ， 故选项 A 、 B 、 D 正确； ∵ AB//CD ∥ EF ，∴ ， 故选项 C 错误 . 故选 C. C 解析 : 由平行线分线段成比例可得 , 所以 , 解得 CE= 6, 所以 AE=AC+CE= 4 + 6 = 10 . 故选 D. 2 . 如图所示 , 已知直线 a ∥ b ∥ c , 直线 m , n 与直线 a , b , c 分别交于点 A , C , E , B , D , F , AC= 4, DF= 4 . 5, BD= 3, 则 AE 等于 ( 　　 ) A.7 B.7 . 5 C.8 D.10 D 3 . 如图所示 , 直线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 , 另两条直线分别交 l 1 , l 2 , l 3 于点 A , B , C 及 D , E , F , 且 AB= 3, DE= 4, EF= 2, 则 BC= 　　　　 .  解析 :∵ l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 , ∴ ∵ AB= 3, DE= 4, EF= 2, ∴ , 解得 BC= . 故填 . 4. 如图所示 , AD ∥ BE ∥ CF , 直线 l 1 , l 2 与直线 AD , BE , CF 分别交于点 A , B , C 和点 D , E , F. 已知 AB= 4, BC= 5, DE= 5, 求 DF 的长 . 解 :∵ AD ∥ BE ∥ CF , ∴ ， ∴ EF= , ∴ DF=DE+EF= 5 + 第二十五章 图形的相似 25.2 平行线分线段成比例（ 2 ） 学 习 新 知 2 . 平行线分线段成比例的基本事实能解决哪些问题 ? 复习准备 1 . 平行线分线段成比例的基本事实如何叙述 ? ( 两条直线被一组平行线所截 , 截得的对应线段成比例 ) ( 证明线段成比例、求线段的长度等 ) l 1 l 2 l 3 A B C D E F l 4 l 5 平行线分线段成比例转化到三角形中 l 1 l 2 l 3 l 5 l 4 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 4 l 5 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 1 l 2 l 3 E A B D C A B C E D 数学符号语言 ∵ DE ∥ BC ∴ A B C E D A B C D E ∵ DE ∥ BC AD AE AC AB = ∵ ∵ DE ∥ BC AD AE AC AB = ∵ 数学符号语言 数学符号语言 推论： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截其他两边 ( 或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 推论的数学符号语言： ∵ DE∥BC AD AE AB AC ∴ —— —— ＝ （推论） A B C D E A B C E D 平行于三角形一边的直线的性质 如图所示 , 在△ ABC 中 , EF ∥ BC , EF 与两边 AB , AC 分别相交于点 E , F. 求证 ： 思考 （ 1 ）如何证明 ? （由平行线分线段成比例的基本事实易得） （ 5 ）你能写出 的证明过程吗？ （ 3 ）你能证明 吗 ? （ 2 ） EF 不在 BC 边上，用什么方法将 EF 转化到 BC 边上呢？ （过 E 作 EG∥AC ，交 BC 于点 G) （由平行线分线段成比例的基本事实易得） （ 4 ） EF 与 CG 存在什么关系 ? （ 6 ）尝试用语言叙述上述结论，并用几何语言表示你的结论 . 证明：∵ EF ∥ BC ， ∴ 如图所示 , 过点 E 作 EG ∥ AC , EG 与边 BC 相交于点 G , 则 ， ∵ EF ∥ BC ， EG ∥ AC ， ∴ ∴ 平行于三角形的一边、并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例． 几何语言： 如图，∵在△ ABC 中， EF∥BC ， ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 练习 1 . 如图所示 , 在△ ABC 中 , DE ∥ BC , EF ∥ AB. 下列各式中正确的是 　　　　 ( 填写序号 ) .  ②④ 解：∵ DE ∥ AC ， ∴ ， ∵ AB =7, BD =3, BE =2,∴ BC = . 2. 如图，在 △ ABC 中， DE ∥ AC , AB =7 ， BD =3 ， BE =2. 求 BC 的长． 2 . 在应用平行于三角形一边的直线的性质时 , 找准成比例线段 , 利用成比例线段可以求线段长度 . [ 知识拓展 ] 　 1 . 将平行线分线段成比例这个基本事实转化到三角形中 , 用来直接判断三角形中线段成比例 . 解析 :∵EF∥BC,∴ .∵AE=EB, ∴ ,∴ . 故选 B. 检测反馈 1 . 在 △ ABC 中 , E 是 AB 的中点 , EF ∥ BC 交 AC 于 F 点 , 则下列结论成立的是 ( 　　 ) A. AE=AF B. AF∶AC= 1 ∶ 2 C. AF∶FC= 1 ∶ 2 D. BE=FC B 解析 :∵ 四边形 ABCD 为平行四边形 , ∴ AD ∥ BC , AD=BC ,∴ ,∵ 点 E 是边 AD 的中点 ,∴ AE=DE= AD ,∴ ,∴ DB ∶ DF= 3∶1 . 故选 B. 2 . 如图所示 , 在 ▱ ABCD 中 , 点 E 是边 AD 的中点 , EC 交对角线 BD 于点 F , 则 DB∶DF 等于 ( 　　 ) A.3∶2 B.3∶1 C.1∶1 D.1∶2 B 解析 :∵ DE ∥ BC ,∴ , DE= 2, ∴ ,∴ BC= 6 . 故填 6 . 3 . 如图所示 , 在 △ ABC 中 , DE ∥ BC , 若 , DE= 2, 则 BC 的长为 　　　　 .  6 4 . 如图所示 , 若 DE ∥ BC , DE= 3 cm, BC= 5 cm, 求 的值 . 解 :∵ DE ∥ BC ,∴ ， ∵ DE= 3 cm, BC= 5 cm, ∴ 第二十五章 图形的相似 25.3 相似三角形 学 习 新 知 图片中的三角形形状和大小相同吗 ? 它们的对应角、对应边之间有什么关系 ? 图片 欣赏 自主学习教材 69 页 , 小组合作交流下列问题 , 并归纳总结 . 5 . 类比全等三角形的性质 , 你能得到相似三角形的性质吗 ? 怎样用几何语言表示相似三角形的性质 ? 1 . 什么是相似三角形、相似比 ? 2 . 如何用几何语言表示相似三角形的概念 ? 3 . 如果相似比是 1:1, 那么这两个三角形是什么关系 ? 4 . △ ABC 与△ A'B'C' 的相似比为 k , 那么△ A'B'C' 与△ ABC 的相似比是多少 ? 1 . 定义 : 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 . 相似三角形对应边的比叫做它们的相似比 . 几何表示 : 如图所示 , 在△ ABC 和△ A'B'C' 中 , ∠ A= ∠ A' , ∠ B= ∠ B' , ∠ C= ∠ C. = = =k , 即△ ABC 与△ A'B'C' 相似 . △ ABC 与△ A'B'C' 的相似比为 k. 2 . 表示： △ ABC 与 △ A'B'C' 相似记作“ △ ABC ∽ △ A'B'C' ” ，读作“ △ ABC 相似于 △ A'B'C' ”. 注意：对应顶点写在对应的位置上 . 3 . 相似比为 1 ∶ 1 时 , 这两个三角形全等 , 所以全等三角形是相似三角形的特例 . 则∠ A= ∠ A' , ∠ B= ∠ B' , ∠ C= ∠ C' , = = . 4 . △ ABC 与△ A'B'C' 的相似比为 k , 那么△ A'B'C' 与△ ABC 的相似比是 . 5 . 性质 : 相似三角形的对应角相等 , 对应边成比例 . 几何语言 : 如上图所示 , △ A'B'C' ∽△ ABC , 大家谈谈 : ( 全等三角形都是相似比为 1:1 的相似三角形 , 即全等三角形一定是相似三角形 , 但相似三角形不一定是全等三角形 ) 1 . 两个直角三角形相似吗 ? ( 不一定相似 ) 2 . 两个等腰三角形相似吗 ? 两个等边三角形呢 ? ( 两个等腰三角形不一定相似 , 两个等边三角形相似 ) 3 . 相似三角形与全等三角形有什么区别和联系 ? 例 如图所示 , △ AEF ∽△ ABC. (1) 若 AE= 3, AB= 5, EF= 2 . 4, 求 BC 的长 . (2) 求证 EF ∥ BC. 解 :(1)∵ △ AEF ∽△ ABC , ∴ 又∵ AE =3 ， AB =5 ， EF =2.4 ， ∴ (2)∵△ AEF ∽△ ABC , ∴ EF ∥ BC . ∴∠ AEF =∠ B ． ∠ BAC= ∠ EAF ,∠ AEF= ∠ ABC ,∠ AFE= ∠ ACB , . 由平行线证明三角形相似 如图所示 , EF ∥ BC , 与 AB , AC ( 或它们的延长线 ) 相交于点 E , F. 求证△ AEF ∽△ ABC. 回答问题 : (1) 要证明三角形相似 , 需要哪些条件 ? ( 由两直线平行 , 同位角相等、内错角相等及对顶角相等可得 ) (2) 你能证明这些角对应相等吗 ? (3) 如何证明 ? ( 由平行线分线段成比例的基本事实易得 ) (6) 尝试用语言叙述上述结论 , 并用几何语言表示你的结论 . (4) 你能写出△ AEF ∽△ ABC 的证明过程吗 ? (5) 用同样的方法能证明图 (2)(3) 两种情况吗 ? 证明：如图 (1) ，在 △ AEF 和 △ ABC 中， ∵EF//BC, ∴∠ AEF = ∠ B ，∠ AFE = ∠ C ， 且 又∵∠ A =∠ A ， ∴△ AEF ∽△ ABC . 同理可证其他两种情况． 平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似． 几何语言： ∵在△ ABC 中， EF∥BC ， ∴ △ AEF ∽△ ABC . 1 . 相似三角形与全等三角形的联系与区别 : 全等三角形的大小相等 , 形状相同 , 而相似三角形的形状相同 , 大小不一定相等 , 所以全等三角形是相似三角形的特例 , 相似比是 1 ∶ 1 的两个相似三角形是全等三角形 . [ 知识拓展 ] 　 2 . 书写两个三角形相似时 , 要注意对应点的位置要一致 , 即若△ ABC ∽△ DEF , 则说明 A 的对应点是 D , B 的对应点是 E , C 的对应点是 F. 3 . 相似三角形的传递性 : 如果△ ABC ∽△ A'B'C' , △ A'B'C' ∽△ A″B″C″ , 那么△ ABC ∽△ A″B″C″. 4. 符合平行线证明三角形相似的图形有两个，我们成为“ A” 字型和“ X” 字型，如图所示，若 DE∥BC ，则 △ADE∽△ABC. 检测反馈 1 . 如图所示 , △ ADE ∽△ ACB , ∠ AED= ∠ B , 那么下列比例式成立的是 ( 　　 ) 解析：∵△ ADE ∽△ ACB ，∠ AED= ∠ B ，∴ ，故选 A. A 解析： ∵ DE∥BC,∴△ADE∽△ABC ， ∴△ADE 和 △ABC 的相似比为 .∵ ， 2. 如图， DE∥BC, , 则 △ADE 和 △ABC 的相似比为 ( 　 　 ) A ． 1∶2 B ． 1∶3 C ． 2∶1 D ． 2∶3 B ∴ = ，故填 B. 3 . 若 △ ABC 与 △ DEF 的相似比是 5 ∶ 3, 则 △ DEF 与 △ ABC 的相似比是 　　　　 .  解析 : 根据相似比的概念 , 可得 △ ABC 与 △ DEF 的相似比与 △ DEF 与 △ ABC 的相似比互为倒数 , 所以 △ DEF 与 △ ABC 的相似比是 3∶5 . 故填 3∶5 . 3∶5 4 . 如图， △ABC 中，点 D 在 BC 上， EF∥BC ，分别交 AB ， AC ， AD 于点 E ， F ， G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？ 解：共有三对相似三角形，分别是 △AEG∽△ABD ， △AGF∽△ADC ， △AEF∽△ABC. 5 . 如图所示 , AB=AD , AC=AE , FG ∥ DE. 求证 :△ ABC ∽△ AFG. 证明 :∵ AB=AD , AC=AE , ∠ BAC= ∠ DAE , ∴△ ABC ≌△ ADE , ∴∠ B=∠ADE , ∴ DE ∥ BC . ∵FG//DE ， ∴ FG ∥ BC , ∴△ ABC ∽△ AFG. 第二十五章 图形的相似 25.4 相似三角形的判定（ 1 ） 你知道金字塔有多高吗 ? 传说法老命令祭师们测量金字塔的高度 , 祭师们为此伤透了脑筋 , 为了帮助祭师们解决困难 , 古希腊伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量了金字塔的高度 ( 在金字塔旁边竖立一根木桩 , 当木桩影子的长度和木桩的长度相等时 , 只要测量出金字塔的影子的长度 , 便可得出金字塔的高度 ( 如图所示 ) ), 这展示了他非凡的数学及科学才能 . 观察教师手中的一副三角尺和学生手中的三角尺，其中同样两个锐角（ 30° 与 60° ，或 45° 与 45° ） . 1. 如图，这两个等腰直角三角形的三角板相似吗？说说理由． 2. 如图，这两个含 30° 角的直角三角形的三角板相似吗？说说理由． 3. 如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？ 做一做 如图所示 , 已知 ∠ α ,∠ β. (1) 分别以 ∠ α ,∠ β 为两个内角 , 任意画出两个三角形 . (2) 量出这两个三角形各对应边的长 , 并计算出相应的比 . 这两个三角形相似吗 ? 如图所示 , 在 △ ABC 和 △ A'B'C' 中 ,∠ A= ∠ A' ,∠ B= ∠ B'. 求证 △ ABC ∽△ A'B'C'. (1) 除了定义外 , 还有什么方法可以证明三角形相似 ? ( 由平行线证明三角形相似 ) (2) 如何把两个三角形转化到一个三角形内 , 利用平行线证明三角形相似 ? ( 在 △ ABC 的边 AB , AC ( 或它们的延长线 ) 上 , 分别截取 AD=A'B' , AE=A'C' , 连接 DE ) (5) 你能根据上面的分析 , 完成证明过程吗 ? (3) 根据平行线能否证明 △ ADE 与 △ ABC 相似 ? ( 能 ) (4) 根据已知条件 △ A'B'C' 与 △ ADE 是否全等 ? ( 由 SAS 可证得全等 ) 证明 : 如图所示 , 在 △ ABC 的边 AB , AC ( 或它们的延长线 ) 上 , 分别截取 AD=A'B' , AE=A'C' , 连接 DE. ∵∠ A= ∠ A' ,∴△ ADE ≌△ A'B'C'. ∴∠ ADE= ∠ B' ,∠ AED= ∠ C' , DE=B'C'. ∵∠ B= ∠ B' , ∴DE ∥ B'C'. ∴△ ADE ∽△ ABC. ∴ ， . ∴ 又 ∵∠ A= ∠ A' ,∠ B= ∠ B' ,∠ C= ∠ C' , ∴△ ABC ∽△ A'B'C'. 相似三角形的判定定理 用数学符号表示这个定理 : 在 △ ABC 和 △ A'B'C' 中， ∵ ∠ A= ∠ A' , ∠ B= ∠ B' , ∴ △ ABC ∽△ A'B'C'. 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 , 那么这两个三角形相似 . 可简单说成 : 两角 对应相 等的两个三角形相似 . 2 . 在应用相似三角形的判定定理时 , 还要注意一些隐含条件 , 如公共角、对顶角等 . [ 知识拓展 ] 　 1 . 判断两个三角形相似 , 在有一组对应角相等的情况下 , 可以选择突破口 : 寻找另一组对应角相等 . 检测反馈 解析 : 等腰三角形中 110° 角只能是顶角 , 顶角相等的等腰三角形的底角也相等 , 根据两角对应相等的两个三角形相似 , 可得两个三角形相似 . 故选 B. 1 . 有一个角等于 110° 的两个等腰三角形 ( 　 ) A. 全等 B. 相似 C. 既不相似也不全等 D. 无法确定 B 2 . 如图所示 , 在 △ ABC 中 ,∠ ACB= 90°, CD ⊥ AB 于点 D , 则图中相似三角形共有 ( 　　 ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 解析： ∵∠ ACB= 90°, CD ⊥ AB ,∴△ ABC ∽△ ACD , △ ACD ∽△ CBD ,△ ABC ∽△ CBD ,∴ 有三对相似三角形 . 故选 C. C 3 . 如图所示 , 等边三角形 ABC 的边长为 3, 点 P 为 BC 上一点 , 且 BP= 1, 点 D 为 AC 边上一点 , 若 ∠ APD= 60°, 求 CD 的长 . 又 ∵∠ ABP= ∠ PCD= 60°,∴△ ABP ∽△ PCD. 解 :∵△ ABC 为等边三角形 , ∴∠ ABC= ∠ PCD= 60°, ∴∠ APC= ∠ ABP+ ∠ BAP= 60° + ∠ BAP , 又 ∠ APC= ∠ APD+ ∠ CPD= 60° + ∠ CPD , ∴∠ BAP= ∠ CPD. ∴ ，即 . ∴CD= . 第二十五章 图形的相似 25.4 相似三角形的判定（ 2 ） 学 习 新 知 如图所示 , 有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的 , 往往需要使用交叉卡钳进行测量 . 图中所示为一个零件的剖面图 , 内径 AB 未知 . 现用交叉卡钳去测量 , 若 ， CD=b , 那么我们就可以计算内径的长 . 你知道其中的道理吗 ? 问题思考 动手操作、测量、比较 : (1) 画出 △ ABC 和 △ A ‘ B ’ C ‘ 使 ∠ A ’ = ∠ A ， = =2. (2) 画出 △ ABC 和 △ A ‘ B ’ C ‘ , 使 ∠ A ’ = ∠ A ， = = 3 . (3) 比较 ∠ C' 和 ∠ C ( 或 ∠ B' 和 ∠ B ) 的大小 . (4) 由比较的结果 , 能断定 △ ABC 和 △ A'B'C ' 相似吗 ? (5) 若在 △ ABC 和 △ A'B'C' 中 , ∠ A'= ∠ A , = =k ， △ ABC 和 △ A'B'C' 相似吗？ (6) 根据上面的操作 , 你能猜想正确的结论吗 ? 猜想 : 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 . 已知 : 如图所示 , 在 △ ABC 和 △ A'B'C' 中 , = ∠ A= ∠ A‘. 求证 :△ ABC ∽△ A'B'C'. 证明 : 如图所示 , 在 △ ABC 的边 AB ( 或它的延长线 ) 上截取 AD=A'B' , 过点 D 作 DE ∥ BC , 交 AC 于点 E. D E ∵△ABC∽△ADE, ∴ . ∵ ， AD=A'B' ， ∴ . ∴ AE=A'C'. 又 ∵∠ A= ∠ A' ,∴△ ADE ≌△ A'B'C'. ∴△ ABC ∽△ A'B'C'. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 . 相似三角形的判定定理 如图所示 , 若 ∠ A= ∠ A'. 则 △ ABC ∽△ A'B'C'. 例题 已知 : 在 △ ABC 与 △ A'B'C' 中 , ∠ A= ∠ A'= 60°, AB= 4 cm, AC= 8 cm, A'B'= 11 cm, A'C'= 22 cm . 求证 :△ ABC ∽△ A'B'C'. 证明： ∵ ， ， ∴ ∴△ ABC ∽△ A'B'C'. 又 ∵∠ A= ∠ A'= 60°, [ 知识拓展 ] 　 1. 对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况 , 常用相似三角形的判定定理 2 判定两个三角形相似 . 2 . 在应用相似三角形的判定定理 2 时 , 一定要注意必须是两边夹角相等才行 . 3 . 在应用相似三角形的判定定理 2 时 , 还要注意一些隐含条件 , 如公共角、对顶角等 . 检测反馈 1 . 在 △ ABC 与 △ A'B'C' 中 , AB ∶ AC=A'B' ∶ A'C' ,∠ B= ∠ B' , 则这两个三角形 ( ) A. 相似 , 但不全等 B. 相似 C. 不相似 D. 无法判定是否相似 解析 : 因为 ∠ B 与 ∠ B' 不是 AB 与 AC , A'B' 与 A'C' 的夹角 , 所以不能确定这两个三角形是否相似 . 故选 D. D 2 . 如图所示 , 线段 AC , BD 交于点 O , 由下列条件 , 不能得出 △ AOB 与 △ DOC 相似的是 ( 　 ) A. OB ∶ OC=OA ∶ OD B. OA ∶ OB=OD ∶ OC C. OA ∶ OD=AB ∶ CD D. AB ∥ CD 解析 : 图中两三角形有一对对顶角相等 , 根据三角形相似的条件 :A,B 符合两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ;D 中 AB ∥ CD , 则有 ∠ A= ∠ C , 两角对应相等的两个三角形相似 ;C 中的边不是夹着相等对应角的边 , 不符合 . 故选 C. C 3 . 如图所示 , 若 AB 2 =AD · AC , 则 △ ABC ∽ 　　　　 .  解析 :∵AB 2 =AD · AC,∴ , 又 ∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB. 故填 △ADB. △ ADB 解析：∵ ， ∠A=∠A ， ∴△ ABC ∽△ ADE ， ∴ ， ∵ BC =5 ,∴ DE = ，故填 . 4 . 如图所示 , 在 △ ABC 中 , D , E 分别在 AB , AC 边上 , 且 ， BC= 5, 则 DE= 　　　　 .  5. 如图所示， BE ， CD 相交于点 A ，若 AD · AC=AE · AB ，那么 △ADE 与 △ABC 相似吗？试说明理由 . 解： △ ADE∽△ABC 理由 :∵ AD · AC=AE · AB , ∴ 又 ∠ DAE= ∠ CAB , ∴△ ADE ∽△ ABC. 第二十五章 图形的相似 25.4 相似三角形的判定（ 3 ） 学 习 新 知 学校为了改善环境，在一片空地上修建一块三角形草地，图纸如图 1 所示，完工后小明想要确定图 2 的草坪是否和图纸中的三角形相似，你能帮帮他吗？ (1) 分别画一个△ ABC 和△ A'B'C' , 使 AB= 1 . 5 cm, AC= 2 . 5 cm, BC= 2 cm; A'B'= 3 cm, A'C'= 5 cm, B'C'= 4 cm . (2) 比较△ ABC 与△ A'B'C' 各个角 , 它们对应相等吗 ? 这两个三角形相似吗 ? (3) 如果一个三角形的三边长分别是另一个三角形三边长的 k 倍 , 那么这两个三角形是否相似 ? 已知 : 如图所示 , 在△ ABC 和△ A'B'C' 中 , 求证 : △ ABC ∽△ A'B'C'. 证明 : 如图所示 , 在△ ABC 的边 AB 上截取 AE=A‘B' , 过点 E 作 EF ∥ BC , 交 AC 于点 F , 则 △ ABC ∽△ AEF , E F 在△ A'B'C' 和△ AEF 中 , ∵ ， 且 AE=A'B' , ∴ 又∵ ， ∴AF=A'C',EF=B'C'. ∴ △ AEF ≌△ A'B'C'. ∴ △ ABC ∽△ A'B'C'. A B C D E F 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 几何语言： ∵ ∴ △ABC∽△DEF 简单叙述： 三边成比例的两个三角形相似。 相似三角形的判定定理 证明 : 设 =k , 则 AB=kA'B' , AC=kA'C'. 例 3 已知 : 如图所示 , 在 Rt △ ABC 与 Rt △ A'B'C' 中 , ∠ B= ∠ B'= 90°, . 求证 :Rt △ ABC ∽ Rt △ A'B'C'. 根据勾股定理 , 得 ∴ = . ∴Rt △ ABC ∽ Rt △ A'B'C'. ( 一个锐角相等或两边对应成比例 ) 追加提问 1 . 你能归纳判定两个直角三角形相似的条件吗 ? ( 平行线法、两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等 , 三边对应成比例 ) 2 . 我们可以用几种方法证明三角形相似 ? [ 知识拓展 ] 　 1 . 当已知条件中有三边时 , 可考虑用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明三角形相似 . 2 . 在应用本课时所学的相似三角形的判定定理时 , 一定要注意先求两个三角形中大边与大边 , 中间边与中间边 , 小边与小边的比值 , 然后判断上述比值是否相等 , 从而判断两个三角形是否相似 . 1 . 若△ ABC 的各边都分别扩大为原来的 2 倍 , 得到△ A 1 B 1 C 1 , 下列结论正确的是 ( 　　 ) A. △ ABC 与△ A 1 B 1 C 1 的对应角不相等 B. △ ABC 与△ A 1 B 1 C 1 不一定相似 C. △ ABC 与△ A 1 B 1 C 1 的相似比为 D. △ ABC 与△ A 1 B 1 C 1 的相似比为 2 解析 : △ ABC 的各边都分别扩大为原来的 2 倍 , 则两个三角形的对应边成比例 , 且比值为 , 由三边对应成比例 , 两个三角形相似可得△ ABC ∽△ A 1 B 1 C 1 , 且相似比为 . 故选 C. C 2 . 如图所示 , 小正方形的边长均为 1, 则图中三角形 ( 阴影部分 ) 与△ ABC 相似的是 ( 　 B 　 ) 第二十五章 图形的相似 25.5 相似三角形的性质（ 1 ） 学 习 新 知 小华做小孔成像实验 , 如下图 , 已知蜡烛与成像板间的距离为 l , 当蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时 , 蜡烛焰 AB 是像 A'B' 的一半长 ? 相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比 . 如图所示 , △ ABC ∽△ A'B'C' , 相似比为 k , 其中 AD , A'D' 分别是 BC 和 B'C' 上的高 , 那么 AD 与 A'D' 的比与相似比之间有怎样的关系 ? 【思考】 (1) 图中的△ ABD 和△ A'B'D' 相似吗 ? 如何证明 ? (2) 由相似三角形的性质 , 你能得到 AD 与 A'D' 的比与相似比之间的关系吗 ? 相似三角形对应高的比等于相似比 . 已知 : 如图所示 , △ ABC ∽△ A'B'C' , 相似比为 k , AD , A'D' 分别为 BC , B'C' 边上的高 . 求证 : 证明 :∵ △ ABC ∽△ A'B'C' , ∴ ∠ B= ∠ B'. 又 ∵ AD ⊥ BC , A'D' ⊥ B'C' , ∴ ∠ ADB= ∠ A'D'B'= 90°, ∴ △ ADB ∽△ A'D'B'. ∴ 追加提问 (1) 能去掉性质中的对应两个字吗 ? (2) 如图所示 , △ ABC ∽△ A'B'C' , 相似比为 k.AE 与 A'E' 分别为 BC , B'C' 边上的中线 , AF 与 A'F' 分别为∠ BAC 和∠ B'A'C' 的平分线 . 猜想 : AE 和 A'E ' 的比、 AF 和 A'F ' 的比分别与相似比有怎样的关系 ? (3) 类比上述证明方法 , 你能证明上述结论吗 ? (4) 怎样用语言描述上述结论 ? 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 . 1 . 已知 : 如上图所示 , △ ABC ∽△ A'B'C' , 相似比为 k , AE , A'E' 分别为 BC , B'C' 边上的中线 . 求证 : . 证明 :∵ △ ABC ∽△ A'B'C' , ∴ ∠ B= ∠ B' , . 又 ∵ AE 与 A'E' 分别为 BC , B'C' 边上的中线 , ∴BE= BC,B'E'= B'C', ∴ ∴ △ ABE ∽△ A'B'E'. ∴ 2. 已知 : 如图所示 , △ ABC ∽△ A'B'C' , 相似比为 k , AF , A'F' 分别为∠ BAC , ∠ B'A'C' 的平分线 . 求证 : 证明 :∵ △ ABC ∽△ A'B'C' , ∴ ∠ B= ∠ B' , ∠ BAC= ∠ B'A'C'. 又 ∵ AF , A'F' 分别为∠ BAC , ∠ B'A'C' 的平分线 , ∴ ∠ BAF= ∠ BAC , ∠ B'A'F'= ∠ B'A'C' , ∴ ∠ BAF= ∠ B'A'F' , ∴ △ ABF ∽△ A'B'F'. ∴ 例 1 如图所示 , 在△ ABC 中 , AD ⊥ BC , 垂足为 D , EF ∥ BC , 分别交 AB , AC , AD 于点 E , F , G , , AD= 15 . 求 AG 的长 . 检测反馈 思考 : (1) 由 EF ∥ BC 可以得到哪两个三角形相似 ? (2) 相似三角形的相似比是多少 ? (3) AG 与 AD 是不是相似三角形的对应线段 ? (4) 根据相似三角形的性质能否求出线段 AG 的长 ? 解 :∵ EF ∥ BC ,∴ △ AEF ∽△ ABC. ∵ AD ⊥ BC ,∴ AD ⊥ EF. ∴ . 又 ∵ ， AD =15 ， ∴ ∴ AG =9. 【 知识拓展】 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算等，还可以用于证明两角相等、两条线段相等 . 检测反馈 1. 如果两个相似三角形对应边之比是 1∶4, 那么它们的对应中线之比是 ( 　　 ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 解析 : 根据相似三角形的对应中线之比等于相似比 , 而相似比为相似三角形对应边的比 , 得对应中线之比等于 1∶4 . 故选 B. B 解析 : 由已知可得两个相似三角形的相似比为 8∶5, 根据相似三角形的对应高的比、对应中线的比等于相似比可得它们的对应高的比是 8∶5, 对应中线的比是 8∶5 . 2 . 两个相似三角形的最长边分别为 8 cm 和 5 cm, 它们的对应高的比是 　　　　 , 对应中线的比是 　　　　 .  8∶5 8∶5 3 . 任意连接三角形三边中点 , 所构成的三角形与原三角形对应边上的高的比是 　　　　 .  解析 : 由三角形的中位线定理可得所构成的三角形三边与原三角形三边的比为 1∶2, 根据三边对应成比例的两个三角形相似可得这两个三角形相似 , 且相似比为 1∶2, 由相似三角形对应高的比等于相似比可得对应边上的高的比是 1∶2 . 故填 1∶2 . 1∶2 第二十五章 图形的相似 25.5 相似三角形的性质（ 2 ） 学 习 新 知 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题 , 马路旁原有一个面积为 100 平方米、周长为 80 米的三角形绿化地 . 由于马路的拓宽 , 绿地被削去一个角 , 变成了一个梯形 , 原绿化地一边 BC 的长由原来的 30 米变为 18 米 . 那么被削去的部分的面积有多少 ? 你能解决这个问题吗 ? 根据图上标出的数据，回答下列问题： (3) 计算两个三角形的面积 , 它们的面积比与相似比有什么关系 ? (1) 根据图中数据易知两个直角三角形相似 , 相似比是多少 ? (2) 计算这两个三角形的周长 , 它们的周长比与相似比有什么关系 ? (4) 你能证明猜想 2 的结论吗 ? (1) 猜想 1: 任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系 ? (2) 你能证明猜想 1 的结论吗 ? (3) 猜想 2: 任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系 ? 相似三角形的性质定理 : 相似三角形的周长比等于相似比 . 相似三角形的面积比等于相似比的平方 . 已知 : 如图所示 ,△ ABC ∽△ A'B'C' , 相似比为 k , AD , A'D' 分别为 BC , B'C' 边上的高 . 求证 : , 证明 :∵△ ABC ∽△ A'B'C' , 相似比为 k , ∴ , . ∴ AB=kA'B' , AC=kA'C' , BC=kB'C'. ∴ ( 教材 86 页例 2) 如图所示 , 在 △ ABC 中 , D , E , F 分别为 BC , AC , AB 边的中点 . 求 : (1)△ DEF 的周长与 △ ABC 的周长之比 . (2)△ DEF 的面积与 △ ABC 的面积之比 . 解析 　 由三角形的中位线定理可以得到 △ DEF 三边与 △ ABC 三边之间的数量关系 , 根据相似三角形的判定定理可得两个三角形相似 , 且相似比为 1 ∶ 2, 由相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 , 可得结论 . 解 :∵ D , E , F 分别为 BC , AC , AB 的中点 , ∴ DE ∥ AB , EF ∥ BC , DF ∥ AC , 且 DE= AB , EF= BC , DF= AC. ∴ ， △ DEF 的面积与 △ ABC 的面积之比为 1∶4 . ∴△ DEF ∽△ ABC. ∴△ DEF 的周长与 △ ABC 的周长之比为 1∶2, [ 知识拓展 ] 　 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等 , 还可以用于证明两角相等、两条线段相等等 . 检测反馈 1 . 在一张由复印机复印出来的纸上 , 一个三角形的一条边的长由原来的 1 cm 变成 4 cm, 那么它的周长由原来的 3 cm 变成 ( 　　 ) A.6 cm B.12 cm C.24 cm D.48 cm 解析 : 由已知可知两个三角形是相似三角形 , 相似比为 1∶4, 根据相似三角形的周长比等于相似比可得周长变为原来的 4 倍 , 即周长变为 12 cm . 故选 B. B 2 . 如图所示 , 在等边三角形 ABC 中 , 点 D , E 分别在 AB , AC 边上 , 且 DE ∥ BC , 如果 BC= 6 cm, , 那么 △ ADE 的周长等于 　　　　 cm,△ ADE 与四边形 BCED 的面积比为 　　　　 .  解析 :∵ DE ∥ BC ,∴△ ADE ∽△ ABC ,∴ 两个三角形的周长比等于相似比 , 面积比等于相似比的平方 ,∵ 等边三角形 ABC 中 , BC= 6 cm,∴△ ABC 的周长为 18 cm,∵ ,∴△ ADE 的周长等于 6cm,△ ADE 与 △ ABC 面积比等于 1∶9,∴△ ADE 与四边形 BCED 的面积比为 1∶8 . 6 1∶8 解 : 设较大三角形的周长是 3 x , 较小三角形的周长是 2 x , 则 3 x- 2 x= 25, 解得 x= 25, 那么较大三角形的周长是 3 x= 75, 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方 , 得这两个三角形的面积比为 4∶9 . 3. 若两个相似三角形对应高的比为 2∶3, 它们周长的差是 25, 求较大三角形的周长及两个三角形的面积比 . 第二十五章 图形的相似 25.6 相似三角形 的应用 世界上最高的楼 —— 台北 101 大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 世界上最宽的河 —— 亚马孙河 怎样测量河宽？ 利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题 例题讲解 在 金字塔影子的顶部立一根木 杆， 如图，如果木杆 EF 长 2m ，它的影长 FD 为 3 m ，测得 OA 为 201 m ，求金字塔的高度 BO . 例 1 解：太阳光是平行线， 因此∠ BAO = ∠ EDF 又 ∠ AOB = ∠ DFE =90° ∴△ ABO ∽△ DEF BO EF = OA FD BO = = 134 OA · EF FD = 201×2 3 D E A ( F ) B O 2m 3m 201m A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他方法测量吗？ 一题多解 OB EF = OA AF △ ABO ∽△ AEF OB = OA · EF AF 平面镜 物 1 高 ：物 2 高 = 影 1 长 ：影 2 长 测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理 解决 . 知识要点 ∠ P =∠ P 得 PQ =90 例 2 求河宽 ? ∴ △ PQR ∽ △ PST ∴ S T P Q R b a 45m 60m 90m ∴ 【 解析 】 ∵∠ PQR =∠ PST = 90° 测距的方法 测量不能到达两点间的 距离，常 构造相似三角形 求解 . 知识要点 如 图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量 . 图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为 a ，内径 AB 未知 . 现用交叉卡钳去测量， 若 ， CD = b ，则这个零件的内径为多少，零件的壁厚 x 又是多少？（用含 a ， b ， m 的代数式表示） 例 3 解： ∵ ， ∠ COD =∠ AOB ， ∴△ CDO ∽△ ABO. ∴ . 又 ∵ CD = b, ∴ AB = mb ， . 即这个零件的内径为 mb ，壁厚为 . 如 图， △ ABC 为一块铁板余料 . 已知 BC =120 mm, 高 AD =80 mm. 要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB ， AC 上，这个正方形的边长应为多少毫米？ 例 4 解：设裁出的正方形为 EFGH ， △ ABC 的高 AD 与 HG 交于点 K ，则 AK 为 △ AHG 的高 . ∵ HG // EF ， ∴∠ AHG =∠ B. 又 ∵∠ BAC 为公共角， ∴△ AHG ∽△ ABC. ∴ ∵ 四边形 EFGH 为正方形 , ∴ AK = AD - HG ∴ 设 HG = x mm ，则 解得 x =48. 答：裁出的正方形的边长为 48 mm. 如 图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A ，再在河的这一边选点 B 和 C ，使 AB ⊥ BC ，然后，再选点 E ，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D ．  此时如果测得 BD ＝ 120 米， DC ＝ 60 米， EC ＝ 50 米，求两岸间的大致距离 AB ． A D C E B 练习 1 解： 因为 ∠ ADB ＝∠ EDC ，   ∠ ABC ＝∠ ECD ＝ 90° ，   所以 △ ABD ∽△ ECD ，   答： 两岸间的大致距离为 100 米 . ．   1. 相似三角形的应用主要有两个方面： （ 1 ） 测高 测量不能到达两点间的 距离，常 构造相似三角形 求解 . （不能直接使用皮尺或刻度尺量的） （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常 用 “ 在同一时刻物高与影长成比例”的原理 解决 . （ 2 ） 测距 课堂小结 2. 解相似三角形实际问题的一般步骤： （ 1 ） 审题 . （ 2 ）构建 图形 . （ 3 ）利用相似 解决问题 . 第二十五章 图形的相似 25.7 相似多边形和图形的位似（ 1 ） 学 习 新 知 欣赏图片 : （ 1 ）汽车和它的模型 （ 2 ）大小不同的两个足球 （ 3 ）大小不同的照片 （ 4) 国旗上大五角星与小五角星 认识相似图形 【思考 1 】以上展示的图片之间有什么特点 ? 它们的形状和大小有怎样的关系 ? 结论 : 形状相同的图形叫做相似图形 . 【思考 2 】 　 全等图形一定是相似图形吗 ? 相似图形一定全等吗 ? 它们之间有什么关系 ? 结论 : 全等图形是相似图形的一种特殊情况 . 全等图形一定相似 , 相似图形不一定全等 . 如图所示 , 在上、下两行的图形中 , 把你认为是相似图形的用线连起来 . (4) 相似图形是否可以看成其中一个图形是由另一个图形放大或缩小得到的 ? 【思考】 (1) 相似图形的主要特征是什么 ? (2) 如何判定两个图形是相似图形 ? (3) 相似图形的大小是不是一定相等 ? 结论 : 相似图形的特征是 : 形状相同 . 两个图形的形状相同 , 则两个图形就是相似图形 . 相似图形的大小不一定相等 , 其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的 . 相似多边形 如图所示 , 将四边形 ABCD 用 2 倍放大镜观察得到四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 , 这两个四边形相似吗 ? 这两个四边形中的对应角、对应边之间有什么关系 ? 1 . 在四边形 ABCD 及用 2 倍放大镜观察得到的四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 对应角之间的数量关系为 :∠ A ∠ A 1 , ∠ B 　　　 ∠ B 1 ,∠ C 　　　 ∠ C 1 ,∠ D 　 　 ∠ D 1 ;  对应边之间的数量关系为 = 　　 , = 　　 , = 　　 , = 　　 , 即 　　　 = 　　 = 　　 　 = 　 　　 .  2. 放大镜下的图形与原图形是否相似？两个图形的对应角、对应边之间有什么关系？ ( 相似 , 对应角相等、对应边成比例 ) 3. 你能尝试给出相似多边形的定义吗？并尝试用几何语言表示出来 . 4. 相似比的值与两个相似多边形的顺序有关吗？ 5. 相似多边形的对应角、对应边有什么特点？用几何语言怎样表示？ = = = ，因此四边形 ABCD 与四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 相似 . 1 . 一般地 , 如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例 , 那么这两个多边形叫做相似多边形 . 相似多边形对应边的比叫做它们的相似比 . 几何语言 ( 以四边形为例 ): 如图的两个大小不同的四边形 ABCD 和四边形 A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,∠ A= ∠ A 1 ,∠ B= ∠ B 1 ,∠ C= ∠ C 1 ,∠ D= ∠ D 1 , 2 . 相似多边形的性质 : 相似多边形的对应角相等 , 对应边成比例 . 观察与思考 : 分别观察 (1) 和 (2) 中的两个多边形 , 先直观判断它们是不是相似多边形 , 再经过测量与计算 , 验证你的结论 . ( 教材 94 页例 ) 如图所示 , 五边形 ABCDE ∽ 五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , 求 C 1 D 1 的长和 ∠ A 的度数 . 思考 : (1) 相似多边形的性质是什么 ? (2) 相似五边形中 , 对应边 AB 与 A 1 B 1 , CD 与 C 1 D 1 之间有什么关系 ? (3) 在比例式中 , 已知三条线段的长能否求出第四条线段的长 ? 尝试求出 C 1 D 1 的长 . (6) 由五边形内角和定理 , 能否求出 ∠ A 的值 ? (4) 根据相似多边形的性质 , 你能求出 ∠ E 的大小吗 ? (5) 五边形的内角和是多少度 ? 解 :∵ 五边形 ABCDE ∽ 五边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , ∴ ， ∠ E= ∠ E 1 = 145° . ∵ AB= 15, A 1 B 1 = 10, CD= 21, ∴ . 解得 C 1 D 1 = 14 . 又 ∵∠ B= 130°,∠ C= ∠ D= 90°, ∴∠ A= (5 - 2) × 180° - 130° - 145° - 2 × 90° = 85° . ∴ C 1 D 1 = 14,∠ A= 85° . [ 知识拓展 ] 　 1 . 所谓“形状相同” , 就是与图形的大小、位置无关 , 与摆放角度、摆放方向也无关 . 有些图形之间虽然只有很小的形状差异 , 但也不能认为是“形状相同” . 2 . 在相似多边形中 ,“ 对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时成立时 , 才能说明这两个多边形是相似多边形 . 5 . 相似比为 1∶1 的两个相似多边形是全等多边形 . 4 . 相似比的值与两个多边形的前后顺序有关 . 3 . 相似多边形的性质可以用来确定两个多边形中未知的边的长度或未知的角的度数 . 1 . 下列四个命题 :① 所有的直角三角形都相似 ;② 所有的等腰三角形都相似 ;③ 所有的正方形都相似 ;④ 所有的菱形都相似 , 其中正确的有 ( 　　 ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.1 个 检测反馈 解析 : 所有的正方形的形状相同 , 所以 ③ 正确 ; 直角三角形、等腰三角形、菱形的形状和内角有关 , 角度不同 , 图形的形状不同 , 所以所有的直角三角形、所有的等腰三角形、所有的菱形不一定相似 . 故选 D. D 2 . 下列关于相似多边形的叙述正确的是 ( 　 ) A. 对应边相等的多边形叫做相似多边形 B. 多边形的边数不同时也可以相似 C. 对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形 D. 对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形 解析 : 两个边数相同的多边形 , 满足对应边成比例、对应角相等的叫做相似多边形 , 两个条件缺一不可 , 所以 A,C 错误 ,D 正确 ; 边数不相等的多边形一定不相似 , 所以 B 错误 . 故选 D. D 解析 : 根据相似多边形对应边成比例得相似比为 , 所以长为 1,2,3,4 的各边对应的边长分别为 , 则周长为 + 7 = 21 . 故选 C. 3 . 一个五边形的各边长分别为 1,2,3,4,5, 另一个和它相似的五边形的最大边的长为 7, 则后一个五边形的周长为 ( 　　 ) A.27 B.25 C.21 D.18 C 4 . 如图所示 , 六边形 ABCDEF 与六边形 A'B'C'D'E'F' 相似 , 已知 AB= 5 cm, EF= 6 cm, CD 与 C'D' 的比为 1∶3,∠ E= 125°, 求 A'B' , E'F' 的长及 ∠ E' 的度数 . 解 :∵ 六边形 ABCDEF 与六边形 A'B'C'D'E'F' 相似 , ∴ ， ∠ E'= ∠ E= 125°. ∴ A'B'= 3 AB= 15 cm, E'F'= 3 EF= 18 cm . 第二十五章 图形的相似 25.7 相似多边形和图形的位似（ 2 ） 欣赏图片 学 习 新 知 如图所示 , 已知 △ ABC 及 △ ABC 外的一点 O. 请按如下步骤画出 △ A'B'C'. (1) 画射线 OA , OB , OC. (2) 分别在 OA , OB , OC 上截取点 A' , B' , C' , 使 OA'= 2 OA , OB'= 2 OB , OC'= 2 OC. (3) 连接 A'B' , A'C' , B'C' , 得 △ A'B'C'. A' c' B' 【思考】 1 . 请你判断 AB 与 A'B' , AC 与 A'C' , BC 与 B'C' 的位置关系 , 并说明理由 . 2 . △ ABC 与 △ A'B'C' 相似吗 ? 为什么 ? 1 . 解 : AB ∥ A'B' , AC ∥ A'C' , BC ∥ B'C'. 理由 :∵ OA=AA' , OB=BB' , ∴ AB ∥ A'B' , 同理可得 AC ∥ A'C' , BC ∥ B'C'. 2 . 解 : 相似 . ∵ AB ∥ A'B' ,∴ ， 同理可得 ， ， ∴ ， ∴△ ABC ∽△ A'B'C'. 如图所示 , 点 O 在四边形 ABCD 的内部 , 请按“一起探究”中的步骤画一个四边形 A'B'C'D' , 使得四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 相似 , = 2, 对应边互相平行 , 且经过每对对应点的直线相交于点 O. 3. 若使四边形的对应边 =2 ，那么四边形内部点 O 到各顶点的距离比是多少？ 1.“ 一起探究”中， 的值是多少？它与点 O 到点 A 与点 A′ 的距离的比有什么关系？ （ 1:2 ，相等 .) 2 . “ 一起探究”中的画图步骤有哪些 ? （画射线；确定点的位置；画出图形 .) （ 2:1 ） 4. 你能在四边形内部画出符合条件的四边形吗？ 作法 :(1) 连接 OA , OB , OC , OD ; (2) 分别在 OA , OB , OC , OD 上取点 A' , B' , C' , D' ; 使得 (3) 顺次连接 A' , B' , C' , D' , 得四边形 A'B'C'D'. A' B' C' D' 两个相似多边形的每对对应顶点的直线相交于一点 , 对应边互相平行 ( 或在同一条直线上 ) . 我们把这样的两个图形称为 位似图形 , 对应顶点所在直线的交点称为 位似中心 , 这时的相似比又称 位似比 . 【思考】 (1) 位似图形一定是相似图形吗 ? 反之成立吗 ? （位似图形一定是相似图形 , 相似图形不一定是位似图形 , 位似图形是特殊的相似图形 ) ( 首先判断两个图形是相似图形 , 其次判断对应点的连线交于一点 , 最后判断对应边平行或在同一直线上 ) (2) 如何判断两个图形是位似图形 ? (3) 判断下列各组图形是不是位似图形 . 请说明理由 . 位似图形的性质 (1) 在各图中 , 位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系 ? (2) 在各图中 , 对应点到位似中心的距离与两个图形的位似比有什么关系 ? (3) 在各图中 , 两个图形中的对应线段有什么位置关系 ? 3 . 位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上 . 1 . 位似图形可能在位似中心的同侧 , 也可能在位似中心的异侧 . 2 . 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上 , 它们到位似中心的距离之比等于位似比 . 如图所示 , 画出五边形 ABCDE 的位似五边形 A‘B’C‘D’E‘ , 且使 = 2 . （ 1 ）位似图形在位似中心的同侧 A' B' C' D' E' （ 2 ）位似图形在位似中心的异侧 A' B' C' D' E' 画位似图形的一般步骤 : (1) 确定位似中心 ; (2) 过位似中心和已知图形的关键点作直线 ; (3) 在直线上取图形关键点的对应点 , 使对应点与位似中心的距离比相等 , 且等于位似比 . (4) 顺次连接各对应点 , 得到所求图形 . 1 . 位似是一种具有特殊位置关系的相似 . 两个图形是位似图形 , 必定是相似图形 , 而两个图形是相似图形 , 不一定是位似图形 . [ 知识拓展 ] 　 2 . 位似中心可以在两个图形内部 , 两个图形之间 , 两个图形的同一侧 , 也可以在一个图形的一条边上或某一顶点上 . 3 . 利用位似 , 可以将一个图形放大或缩小 . 4 . 平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交 , 所构成的三角形与原三角形位似 . 5 . 作位似图形时 , 要弄清位似比 , 即分清是已知图形与新图形的比 , 还是新图形与已知图形的比 . 6 . 一般情况下 , 作已知图形的位似图形的结果不唯一 . 检测反馈 1 . △ ABC 和 △ A'B'C' 是位似图形 , 且面积之比为 1∶9, 则 △ ABC 和 △ A'B'C' 的对应边 AB 和 A'B' 的比为 ( 　　 ) A.3∶1 B.1:3 C.1 :9 D.1 : 27 解析 : 根据相似三角形的性质可得 △ ABC 和 △ A'B'C' 的相似比为 1∶3, 所以两三角形的对应边的比为 1∶3 . 故选 B. B 2 . △ ABC 与 △ A'B'C' 是位似图形 , 且 △ ABC 与 △ A'B'C' 的位似比是 1∶2, 已知 △ ABC 的周长是 3, 则 △ A'B'C' 的周长是 　　　　 .  解析 :∵△ ABC 与 △ A'B'C' 的位似比是 1∶2,∴△ ABC 与 △ A'B'C' 的周长比是 1∶2,∴△ A'B'C' 的周长是 6 . 故填 6 . 6 3 . 如图 (1) 所示 , 在 8×8 的网格中建立直角坐标系 , 每个小方格的顶点叫做格点 . △ ABC 的顶点都在格点上 , 坐标分别为 A (1,1), B (4,1), C (3,2), 以原点 O 为位似中心 , 在网格中作出 △ ABC 的位似图形 △ A'B'C' , 使 △ A'B'C' 与 △ ABC 的位似比是 2∶1 . 解 : 所画图形如图 (2) 所示 , 其中 △ A'B'C' 即为所求 . A' B' C'