沪科版九年级数学上册第23章测试题及答案

沪科版九年级数学上册第23章测试题及答案 ‎23.1 锐角的三角函数 一、选择题 ‎1.如图，点A为∠边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 ‎ ‎2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若锐角满足cos＜，且tan＜，则的范围是（ ）‎ A.30°＜＜45° B.45°＜＜60° C.60°＜＜90° D.30°＜＜60°‎ ‎4.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）‎ A.tan70°＜cos70°＜sin70° B.cos70°＜tan70°＜sin70°‎ C.sin70°＜cos70°＜tan70° D.cos70°＜sin70°＜tan70° ‎ ‎5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝，则sinB的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知是锐角，cos＝，则tan的值是（ ）‎ A. B.2 C.3 D. ‎ ‎7.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在△ABC中，若角A，B满足+(1－tanB)2＝0，则∠B的大小是（ ）‎ A.45° B.60° C.75° D.105°‎ ‎9.如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 第9题图 第10题图 ‎10.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数 y＝上，且OA⊥OB，cosA＝，则k的值为（ ）‎ A.-3 B.-6 C.-4 D.-2‎ 二、填空题 ‎11.已知：∠A+∠B＝90°，若sinA=，则cosB＝__________.‎ ‎12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果CD＝3，BD＝2，那么cos∠A的值是__________.‎ ‎13.若为锐角，且cos＝，则m的取值范围是_________________.‎ ‎14.已知：＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是__________________.‎ ‎15.已知：是锐角，且tan＝，则sin+cos＝__________.‎ ‎16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果3a＝b，那么sinA＝________.‎ 三、解答题 ‎17.计算下列各题 ‎（1）sin60°－4cos230°+sin45°tan60° .‎ ‎（2）－(－3.14)0+(-)-2++tan27°tan63° .‎ ‎18.先化简，再求值：÷－1，其中a＝2sin60°－tan45°，b＝1.‎ ‎19.如图，△ABC是锐角三角形，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求tanC和sinA的值.‎ ‎20.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH.‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）如果CD＝，求BE的长.‎ ‎21.已知：sin，cos（0°＜＜90°）是关于x的一元二次方程2x2－(+1)x+m＝0的两个实数根，试求角的度数.‎ ‎22.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.‎ ‎23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上.‎ ‎（1）求斜坡AB的水平宽度BC；‎ ‎（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.（≈2.236，结果精确到0.1m）‎ 答案 一、1.C 分析：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠＝∠ACD，∴cos＝cos∠ACD＝＝＝.故选C.‎ ‎2. D 分析：过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理，得：AB＝，AD＝2，∴cosA＝＝，‎ 故选D.‎ ‎3.B 分析：∵为锐角，∴cos＞0.又∵cos＜，∴0＜cos＜.∵cos90°＝0，cos45°＝，‎ 根据锐角三角函数的增减性可得：45°＜＜90°.∵tan＞0，tan＜，∴0＜tan＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，∴0°＜＜60°，综合上述，45°＜＜60°.故选B.‎ ‎4.D 分析：根据锐角三角函数的概念，知：sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°，即sin70°＞cos70°，∴cos70°＜sin70°＜tan70°.故选D．‎ ‎5.A 分析：∵sin2B+cos2B＝1，cosB＝，∴sinB＝＝.故选A.‎ ‎6.B 分析:由sin2+cos2＝1，cos＝，得：sin＝＝，∴tan＝＝2.故选B.‎ ‎7.C 分析：∵在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴可设BC＝5k，AB＝13k，∴AC＝＝12k，∴tanB＝＝＝.故选C.‎ ‎8.D 分析：由题意得，cosA＝，tanB＝1，则∠A＝30°，∠B＝45°，则∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故选D．‎ ‎9.B 分析：过点A作AE⊥BC于E，过点C作CD⊥AB于C，由勾股定理，得：AB＝AC＝，BC＝，由等腰三角形的性质，得：BE＝BC＝，∴AE＝＝，由三角形的面积，得：ABCD＝BCAE，∴CD＝＝，∴sin∠CAB＝＝.故选B.‎ ‎10.B 分析：作AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，设A点坐标为(x，y)，则∠BCO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BCO+∠AOD＝∠OAD+∠AOD＝90°，∴∠BCO＝∠OAD.又∵∠BCO＝∠ADO，∴△OAD∽△BOC，∴＝＝.∵cos∠BAO＝＝，∴＝＝，∵y＝AD＝OC，x＝OD＝BC.∵第一象限内的点A在反比例函数y＝上，∴xy＝OC×BC＝2，∴k＝OCBC＝2×3＝－6.故选B.‎ 二、11. 分析：由∠A+∠B＝90°，sinA＝，得：cosB＝sinA＝.‎ ‎12. 分析：如图所示，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A.∵CD＝3，BD＝2，∴BC＝，∴cosA＝cos∠BCD＝＝＝.‎ ‎13.－＜m＜ 分析：∵0＜cos＜1，∴0＜＜1，解得：－＜m＜.‎ ‎14.20°＜∠A＜30° 分析：∵ ＜cosA＜sin70°，sin70°＝cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．‎ ‎15. 分析：由tan＝＝知，如果设a＝3x，则b＝4x，结合a2+b2＝c2得c＝5x．所以sin＝＝＝，cos＝＝＝，sin+cos＝+＝.‎ ‎16. 分析：∵3a＝b，∴＝；令a＝k，则b＝3k；c＝＝2k．∴sinA＝＝.‎ 三、17.解：（1）原式＝×－4×()2+×‎ ‎ ＝－3+‎ ‎ ＝－3‎ ‎（2）原式＝－1+4++1‎ ‎ ＝2－－1+4++1‎ ‎ ＝6.‎ ‎18.解：÷－1‎ ‎ ＝÷－1‎ ‎ ＝×－1‎ ‎ ＝－1‎ ‎ ＝，‎ 当a＝2sin60°－tan45°＝2×－1＝－1，b＝1时，‎ 原式＝－＝＝.‎ ‎19.解：过A作AD⊥BC于点D，‎ ‎∵S△ABC＝BCAD＝84，∴×14×AD＝84，∴AD＝12．‎ 又∵AB＝14，‎ ‎∴BD＝＝9．∴CD＝14﹣9＝5．‎ 在Rt△ADC中，AC＝＝13，‎ ‎∴tanC＝＝；‎ 过B作BE⊥AC于点E，‎ ‎∵S△ABC＝ACEB＝84，∴BE＝，‎ ‎∴sin∠BAC＝＝＝.‎ ‎20.解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，‎ ‎∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，‎ ‎∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，‎ 又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，‎ ‎∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，‎ ‎∵AH＝2CH，‎ ‎∴由勾股定理，得：AC＝CH，‎ ‎∴CH：AC＝1：，‎ ‎∴sinB＝；‎ ‎（2）由sinB＝得：＝，∴AC＝2，‎ ‎∵∠B＝∠CAH，∴sin∠CAH＝sinB＝，‎ 设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝(x)2，‎ ‎∴CE＝x＝1，AC＝2，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，‎ ‎∵AB＝2CD＝2，∴BC＝4，‎ ‎∴BE＝BC－CE＝3.‎ ‎21.解：由根与系数的关系，得：sin+cos＝，sincos＝，‎ ‎∵(sin+cos)2＝sin2+cos2+2 sincos＝1+2 sincos，‎ ‎∴()2＝1+2×，解得：m＝，‎ 把m＝代入原方程得：2x2－(+1)x+＝0，‎ 解这个方程得：x1＝，x2＝，‎ ‎∴sin＝或sin＝，‎ ‎∴＝30°或60°.‎ ‎22.解：过点B作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G，‎ 在Rt△ABE中，BE＝ABsin30°＝20×＝10km，‎ 在Rt△BCF中，BF＝BC÷com30°＝10÷＝km，‎ CF＝BFsin30°＝×＝km，‎ DF＝CD－CF＝(30－)km，‎ 在Rt△DFG中，FG＝DFsin30°＝(30－)×＝(15－)km，‎ EG＝BE+BF+FG＝(25－)km，‎ 答：两条高速公路间的距离为(25－)km.‎ ‎23.解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴i＝＝，‎ ‎∴BC＝2AC＝4×2＝8m，‎ ‎（2）作DS⊥BC于点S，且与AB相交于点H，‎ ‎∵∠DGH＝∠BSH＝90°，∠DHG＝∠BHS，‎ ‎∴∠GDH＝∠SBH，‎ ‎∴tan∠GDH ＝tan∠SBH ＝＝＝，‎ ‎∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，‎ ‎∴DH＝＝m，BH＝BF+FH＝3.5+（2.5－1）＝5m，‎ 设HS＝xm，则BS＝2xm，‎ 由勾股定理，得：x2+(2x)2＝52，‎ 解得：x＝m，‎ ‎∴DS＝DH+HS＝+＝2m，‎ 答：点D离地面的高为2m.‎ ‎23.2 解直角三角形及其应用 一、选择题 ‎1.在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC+AC＝3+，则BC等于（ ）‎ A. B.3 C.2 D.+1‎ ‎3.在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cosB＝，则BC边长为（ ）‎ A.7 B.8 C.8或17 D.7或17‎ ‎4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（ ）‎ A.60° B.90° C.120° D.150°‎ ‎5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）‎ A. B.－1 C.2－ D.‎ ‎ ‎ 第5题图 第6题图 第7题图 ‎6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝，则tanB的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（ ）‎ A.20海里 B.40海里 C.20海里 D.40海里 ‎9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）‎ A.144cm B.180cm C.240cm D.360cm ‎ ‎ 第8题图 第9题图 第10题图 ‎10.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）‎ A.50 B.51 C.50+1 D.101‎ 二、填空题 ‎11. 在△ABC中，，∠C＝90°，tana＝，AC＝6，则BC＝___________.‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是____________.‎ ‎13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）‎ ‎14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，斜坡AB的水平宽度BE＝3m，那么斜坡AB的长为_________m.‎ ‎ ‎ 第14题图 第15题图 第16题图 ‎15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米．‎ ‎16.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cosB＝，EC＝2，P是AB边上的一动点，则线段PE的长度的最小值是___________.‎ 三、解答题 ‎17.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值.‎ ‎18.如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝6，AD＝8，求sin∠OEA的值．‎ ‎19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(≈1.7)‎ ‎20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°.‎ ‎（1）求调整后的滑梯AD的长度 ‎（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）‎ ‎（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）‎ ‎21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎22.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD＝4，sinB＝，若E是AC边上的点，且满足AE：EC＝2：3，连接DE，求sin∠ADE的值.‎ ‎23.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ 答案 一、1.B 分析：∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，AB＝4，∴BC＝，由勾股定理得：AC＝，∵在Rt△ADC中，sinA＝，∴CD＝×＝.故选B.‎ ‎2.B分析：设BC＝x，则AC＝＝x，∵BC+AC＝3+，∴x+x＝3+，解得x＝3，即BC＝3.故选B.‎ ‎3.D分析：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°， ∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17.故选D．‎ ‎4.A分析：如图，AB＝AC，AD为BC边上的高，由题意得：BC：AD＝2：，由等腰三角形的“三线合一”得BD＝BC，∴BD：AD＝1：，即＝，∴tanB＝，∴∠B＝60°，∴此三角形为等边三角形，故顶角为60°.故选A.‎ ‎5.A分析：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC＝AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝DC＝AC．∴tan∠DBC ‎＝＝＝.故选A．‎ ‎6.B分析：在Rt△ACM中，sin∠CAM＝＝，设CM＝3x，则AM＝5x，根据勾股定理得：AC＝＝4x，又M为BC的中点，∴BC＝2CM＝6x，在Rt△ABC中，tanB＝＝＝.故选B.‎ ‎7.D分析：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴＝＝＝，∴CE＝x，DE＝x，∴AE＝x，∴tan∠CAD＝＝.故选D．‎ ‎8.C分析：根据题意可知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∵∠CBD＝∠CAD+∠ACB，∴∠CAD＝30°＝∠ACB，∴AB＝BC＝40海里，在Rt△CBD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，∴sin60°＝，∴CD＝40×sin60°＝40×＝20 （海里）.故选C．‎ ‎9.B分析：根据题意可知：：△AFO∽△ABD，OF＝EF＝30cm.∴＝，即＝，∴DC＝72cm，∵tan＝，∴＝，∴AD＝×72＝180cm．故选B．‎ ‎10.C分析：设AG＝x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝，∴EG＝＝x在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x，∴x﹣x＝100，解得x＝50，则AB＝50+1（米）.故选C．‎ 二、11. 4分析：∵∠C＝90°，tanA＝，∴＝，∴BC＝6×＝4.‎ ‎12. （4，0）分析：如图，∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，∴k+b＝1①，点A，点B分别与x轴，y轴的正半轴相交，且点B坐标为（0，b），∴OB＝b，在Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝3，∴OA＝3OB＝3b，∴点A的坐标为（3b，0）.∴3bk+b＝0，∴k＝－，把k＝－代入①得：b＝，∴点A的坐标为（4，0），‎ ‎13.182 分析：设电视塔高为x米，由题意得：x＝500tan20°≈500×0.3640＝182（米）.‎ ‎14.6 分析：∵斜坡AB的坡度为1：，∴tanB＝，∴∠B＝30°，∵cosB＝，∴AB＝‎ ‎＝6（m）.‎ ‎15.200+200 分析：由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200，∵CD⊥AB于点D，∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，∴AD＝＝200，在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠B＝45°.∴DB＝CD＝200，∴AB＝AD+DB＝200+200.‎ ‎16.4.8 分析：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝2，所以BE＝x﹣2.因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosB＝，又cosB＝，于是＝，解得x＝10，即AB＝10．所以易求BE＝8，AE＝6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．故由三角形面积公式有：ABPE＝BEAE，‎ 求得PE的最小值为4.8.‎ 三、17.解：（1）∵AD是边BC上的高，AD＝12，‎ ‎∴sinB＝＝，∴AB＝15，‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝9，‎ ‎∴DC＝BC－BD＝14－9＝5；‎ ‎（2）∵E是斜边AC的中点，‎ ‎∴DE＝EC，‎ ‎∴∠EDC＝∠C，‎ 在Rt△ADC中，tanC＝＝，‎ ‎∴tan∠EDC＝tanC＝.‎ ‎18.解：连结EC，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴BC＝AD＝8，OA＝OC，∠ABC＝90°，‎ 由勾股定理得：AC＝＝10，则OA＝5，‎ ‎∵OE⊥AC，‎ ‎∴OE是AC的垂直平分线，‎ ‎∴AE＝CE，‎ 在Rt△EDC中，设EC＝AE＝x，‎ 则有ED＝AD－AE＝8－x，DC＝AB＝6，‎ 根据勾股定理得：x2＝(8－x)2+62，‎ 解得：x＝，‎ ‎∴AE＝，‎ 在Rt△AOE中，sin∠OEA＝＝.‎ ‎19.解：作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12，‎ 在Rt△BCE中，BE＝＝＝12，‎ 在Rt△BDE中，DE＝BEtan∠DBE＝12tan45°＝12， ‎ ‎∴CD＝CE+DE＝12+12≈32.4，‎ 所以，楼房CD的高度约为32.4米.‎ ‎20.解：（1）Rt△ABD中，‎ ‎∵∠ADB＝30°，AC＝6米，‎ ‎∴AD＝2AC＝12（m） ‎ ‎∴AD的长度为12米；‎ ‎（2）∵Rt△ABC中，AB＝＝4（m），‎ ‎∴AD－AB＝12﹣4≈5.1（m）．‎ ‎∴改善后的滑梯会加长5.1m．‎ ‎21.解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，‎ 由题意知：BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，‎ 在Rt△ABE中，i＝＝，‎ ‎∴AE＝50米，‎ 在Rt△CFD中，∠D＝30°，‎ ‎∴DF＝＝20米，‎ ‎∴AD＝AE+EF+DF＝50+6+20≈90.6（米），‎ 答：坝底AD的长度约为90.6米.‎ ‎22.解：过点A作AF∥BC，交DE的延长线于F，‎ ‎∵AD是等腰△ABC底边上的高，‎ ‎∴BD＝CD，AB＝AC，‎ 在Rt△ABD中，∵sinB＝＝，而AD＝4，‎ ‎∴AB＝5，‎ ‎∴BD＝＝3，‎ ‎∴CD＝BD＝3，‎ ‎∵AF∥CD，‎ ‎∴∠DAF＝90°，△AEF∽△CED，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴AF＝2，‎ 在Rt△DAF中，DF＝＝2，‎ 在Rt△DAF中，sin∠ADF＝＝＝，‎ 即sin∠ADE的值为．‎ ‎23.解：过点C作CE⊥AB于点E，‎ 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，‎ 设AE＝x海里，‎ 在Rt△AEC中，CE＝AEtan60°＝x；‎ 在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，‎ ‎∴AE+BE＝x+x＝100(+1)， ‎ 解得：x＝100，‎ ‎∴AC＝＝2x＝200．‎ 在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，‎ 过点D作DF⊥AC于点F，‎ 设AF＝y，则DF＝CF＝y，‎ ‎∴AC＝y+y＝200，‎ 解得：y＝100(－1)，‎ ‎∴DF＝AF＝×100(－1)≈126.3海里，‎ ‎∵126.3＞100，‎ 所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险.‎