第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
• 学习目标:
• 1.理解同底数幂的乘法法则的推导过程.
• 2.能熟练地进行同底数幂的乘法运算.
• 3.能逆用法则来解答一些变式练习.
1.幂：
知识回顾
乘方的结果.
个
a
n a
a a na
回忆:幂
底数
指数
的 次幂.n
求几个相同因数的积的运算.2.乘方：
讲授新课
1.同底数幂:就是指底数相同的幂.
2. 两个同底数幂相乘：
同底数幂的概念
25×22 =
25
22
2×2×2×2×2
2×2
=(a·a·a )(a·a)
= a·a·a·a·a
7（1）25×22 =
5
2(__) =(2×2×2×2×2)×(2×2)
=2×2×2×2×2×2×2
根据乘方的意义填空，并说说你是怎么算的？
（2）a3 · a2 =a(__)
通过计算，注意观察计算前后底数和指数的变化，你
发现了什么规律？并能用自己的语言描述。
（3）5m · 5n = 5(_____)
=(5×5×…×5)
m+n
(5×5×…×5)
m个5 n个 5
×
个个
m na a
( )
m a
a a
( )
n a
a a
( )
( )
m n a
a a
m na
.m n m na a a
个
如果我把上题中的指数 3,2改成一般的任意正整数
并分别用字母 来表示.,m n
m n m na a a
同底数幂的乘法法则：
（ 都是正整数）, m n
即：同底数幂相乘，底数_____，指数______. 不变 相加
幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加。
（1）等号左边是什么运算？
m n m na a a , m n
法则剖析：
（ 都是正整数）
（2）等号左右两边的指数有什么关系？
答：等号左边是乘法运算 .
答：等号右边的指数是等号左边的两个指数相加的
和.
1.计算： （1）107 ×104 ；
（2）x2 ·x5 .
解：（1）107 ×104 =107 + 4= 1011.
（2）x2 ·x5 = x2 + 5 = x7.
尝试练习
Øam·an = am+n (m，n都是正整数)
am·an·ap = am+n+p （m，n，p都是正整数）
2.计算：（1）23×24×25 ;
（2）y·y2·y3 .
解：（1）23×24×25=23+4+5=212.
（2）y·y2·y3 = y1+2+3=y6 .
例1 计算： (1) x2·x5 ; (2) a·a6 ;
(3)（-2）×（-2）4×(-2）3 ;
(4) xm·x3m+1.
解：(1) x2·x5
(2) a·a6
=x2+5 = x7.
= a1+6 =a7.
(3)（-2）×（-2）4×(-2）3
= （-2） 1+4+3 =（-2）8 =256.
(4) xm· x3m+1 =xm+3m+1=x4m+1.
a=a1
Ø例2
(1) x n · xn+1 ;
(2) (x+y)3 ·(x+y)4 .
计算:
解: x n · xn+1 =
解: (x+y)3 ·(x+y)4 =
am · an = am+n
xn+(n+1) = x2n+1.
公式中的a可代表
一个数、字母、式
子等.
(x+y)3+4 =(x+y)7.
（4）y · y8 = y8 ( )
（1）b5 · b5 = 2b5 （ ）
（3）x2 · x3 = x6 （ ）
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
b5 · b5 = b10
b5 + b5 = 2b5
x2 · x3 = x5
y · y8 = y9
×
×
×
×
（2）b5 + b5 = b10 （ ）
（5）(-a)2 · a3 = -a5 ( ) (-a)2 · a3 = a2 · a3 = a5 ×
这台由中国自主研发的世界上先进的超级计算机——
天河1号，它每秒的运算速度是1015 次，如果运行103
秒它将运算多少次？
1015×103解：
答：运行103秒它将运算1018次。
＝1015+3＝1018.
公式推广：
当三个或三个以上的同底数幂相乘时，法则可以
推广为：
m n p m n pa a a a , ,m n p（ 都是正整数）
即：当幂与幂之间相乘时，只要是底数相同，就可以
直接利用同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂的乘法：
m n m na a a
m n p m n pa a a a , ,m n p
, m n
（ 都是正整数）
（ 都是正整数）
今天，我们学到了什么？
课堂小结
注意事项：
1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。对这个法
则要注重理解“同底,相乘,不变,相加”这八个字.
2.底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.运
算时底数不同的要先化为同底数的，才可以运用法
则.
4.解题时，要注意指数为1的情况，不要漏掉.
3.解题时，底数是负数的要用括号把底数括起来.
课堂小结
14.1.2 整式的乘法
——幂的乘方
一、温故知新，铺垫新知
1、知识回顾：口述同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加am·an=am+n
（m和n都是正整数）
2、计算
①73×75=___
②a6·a2=____
③x2·x3·x4=____
78
a8
x9
解： 2 3a（ ）
2 2 2a a a
6.a
答：这个铁盒的容积是a6 ．
有一个边长为a2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是
多少？
创设情境，探索新知
我收获，我快乐
mnnm aa ）（
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
幂的乘方的法则：
多重乘方可以重复运用上述法则：
=pm n mnpa a （ ） （m，n，p是正整数）
想一想： 当三个或三个以上多重乘方时，是否也可以使用
上述法则？ 怎样用公式表示？
（m，n都是正整
数）
学有所思，归纳小结：
1.本节课你的主要收获是什么？
2.你认为在运用“幂的乘方运算法则”中，重点应该注
意什么？
3.同底数幂的乘法与幂的乘方的相同点和不同点。
运算
种类 表达式 法则
中运算
计算结果
底数 指数
同底数幂
的乘法
幂的乘方
乘法
乘方
不变
不变
相加
相乘mnnm aa ）（
nmnm aaa
同底数幂的乘法与幂的乘方的相同点和不同点
比一比：
14.1.3 积的乘方
1、叙述同底数幂的乘法法则并用字母 表示。
2、叙述幂的乘方法则 并用字母表示。
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
字母表示：am·an=am+n ( m、n都为正整数)
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
字母表示：(am)n=amn (m,n都是正整数）
复习引入新课：
一个正方体的棱长为1.1×10³,你能计算出它的
体积是多少吗?
提出问题：
解： 它的体积应是V=(1.1×10³)³.
（1）这个结果是幂的乘方形式吗？
思考：
（2）它又如何运算呢？能不能找到一个运算法则呢？
2、比较下列各组算式的计算结果：
[2 ×(-3)]2 与 22 ×(-3)2
[(-2)×(-5)]3与(-2)3 ×(-5)3
1、计算: (2×3)2与22 × 32，我们发现了什么？
∵ (2×3)2=62=36 , 22 ×32=4×9=36,
∴ (2×3)2 =22 × 32 .
3、观察、猜想:
(ab)3与a3b3 是什么关系呢？
（ab)3=(ab)·(ab)·(ab) =(aaa) ·(bbb)=a3b3
乘方的意
义
乘法交换律、
结合律
乘方的
意义
思考：积的乘方(ab)n =?
公式证明：
(ab)n =(ab)·(ab)· ··· ·(ab)
n个
(乘方的意义)
=(a·a·····a)·(b·b·····b)
(乘法交换律、结合律)
n个n个
=an
bn
(乘方的意义)
(ab)n=an bn 即
语言表述 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一
个因式分别 ，再把所得的幂 。
拓展 当三个或三个以上因式的积乘方时,也具有这
一性质
例如 (abc)n=anbncn
(ab)n=an bn 积的乘方公式
乘方 相乘
）（abba nnn 逆用公式 ，即
例1.计算：
（1）(xy)5
（2）(-2a)3
（3）( ab)4
=x5y5
=(-2)3 · a3 =-8a3
2
1=( )4· a4· b4
= a4b4
16
1
1
2
例2.计算：
（1）(ab2)3
（2）(3a2b3)3
（3）-( x3y2)2
3
2
解:（1）(ab2)3 =a3·(b2)3
=a3b6
（2）(3a2b3)3 = 33 ·(a2)3 ·(b3)3
= 27a6b9
（3）-( x3y2)2
3
2
3
2= -( )2· (x3)2 ·(y2)2
= x6y4
9
4
例3.计算：
（1）(-2a2b)3 · (-2a2b)2
（2）(3a3b3)2 - (2a2b2)3
解:（1）(-2a2b)3 • (-2a2b)2
= (-2a2b)5
= -32a10b5
（2）(3a3b3)2 - (2a2b2)3
=9a6b6 - 8a6b6
=a6b6
小结：
同底数幂的乘法： am·an=am+n （m,n都是正整数）
幂的乘方： (am)n=amn （m,n都是正整数）
积的乘方：(ab)n=anbn ( n为正整数)
14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式和单项式乘多项式
一、复习导入
1.知识回顾：
回忆幂的运算性质：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)，
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(am)n＝amn(m，n都是正整数)，
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(ab)n＝anbn(n为正整数)，
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所
得的幂相乘．
口答：
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、
单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对
上述的内容作复习．
二、探究新知
问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地
球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距
离约是多少千米？
注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动
探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体
系．
地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千
米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢？学生提
出运用乘法交换律和结合律可以解决：
(3×105)×(5×102)＝(3×5)×(105×102)＝
15×107(为什么？)
在此处再问学生更加规范的书写是什么？应该是
地球与太阳的距离约为1.5×108千米．
请学生回顾，我们是如何解决问题的．
问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，
你会算吗？
学生独立思考，小组交流．
注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，
要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实
践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2
分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．
ac5·bc2＝(a·c5)·(b·c2)
＝(a·b)·(c5·c2)＝abc5＋2＝abc7.
注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际
问题．
[探究一]类似地，请你试着计算：
(1)2c5·5c2；(2)(－5a2b3)·(－b2c)．
ac5，bc2，2c5，5c2，(－5a2b3)，(－b2c)都是单
项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项
式乘单项式？
注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，
而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，总
结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这
个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益
的．
学生总结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、
相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字
母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3.算一算
例1：教材例4.
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利
用运算性质和法则．分析后再动手做，同时让学生说一
说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确
定结果的符号．
例2 小民的步长为a米，他量得家里卧室长15步，
宽14步，这间卧室的面积有多少平方米？
注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实
际问题的能力．
4.辩一辩
教材第99页练习2.
注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚
至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的
批判性思维能力．
[探究二]
1.师生共同研究教材第99页的问题，对单项式与多项式
相乘的方法能有感性认识．
注：这个问题来源于实际生活，所以在教学中通过师生
共同探讨，再结合分配律不难得到结论．
2.试一试
计算：2a2·(3a2－5b)．(根据分配律)
注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，
所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘多项
式转化为单项式的乘法，尝试得出结论．
3.想一想
从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式
和多项式相乘？
学生发言，互相补充后得出结论：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的
每一项，再把所得的积相加．
4.做一做
教材例5.(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多
项式的每一项都包括它前面的符号)
教材第100页练习．
第2课时 多项式乘多项式
一、情境导入
教师引导学生复习单项式×多项式的运算法则．
整式的乘法实际上就是：
单项式×单项式；
单项式×多项式；
多项式×单项式．
组织讨论：问题 为了扩大街心花园的绿地面积，把
一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽
了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
如何计算？小组讨论，你从计算过程中发现了什么？
由于(a＋b)(p＋q)和(ap＋aq＋bp＋bq)表示同一个量，
即有(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.
二、探索新知
(一)探索法则
根据分配律，我们也能得到下面的等式：
在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则
并板书法则．
让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多
项式的每一项，再把所得的积相加．
(二)例题讲解与巩固练习
1.教材例6计算：
(1)(3x＋1)(x＋2)；
(2)(x－8y)(x－y)；
(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
三、课堂小结
指导学生总结本节课的知识点，学习过程的自我
评价．主要针对以下方面：
1.多项式×多项式．
2.多项式与多项式的乘法．
用一个多项式中的每项乘另一个多项式的每一项，
不要漏乘．在没有合并同类项之前，两个多项式相
乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积．
第3课时 同底数幂相除
一、探究新知
请同学们做如下运算：
1.(1)28×28；(2)52×53；(3)102×105；(4)a3·a3.
2.填空：
(1)( )·28＝216；(2)( )·53＝55；
(3)( )·105＝107；(4)( )·a3＝a6.
除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是
一种除法运算，所以这四个小题等价于：
(1)216÷28＝( )；(2)55÷53＝( )；
(3)107÷105＝( )；(4)a6÷a3＝( )．
再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：
(1)28；(2)52；(3)102；(4)a3.
其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、
讨论．
(1)216÷28＝ (2)55÷53＝
(3)107÷105＝ (4)a6÷a3＝
从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m≥n)
三、例题讲解
例1(教材例7) 计算：
(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.
解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6.
(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.
例2 先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an＝am
－n的方法计算，你能得出什么结论？
(1)32÷32＝( )；(2)103÷103＝( );
(3)am÷am＝( )(a≠0)．
解：先用除法的意义计算．
32÷32＝1；103÷103＝1；am÷am＝1(a≠0)．
再利用am÷an＝am－n的方法计算．
32÷32＝32－2＝30；
103÷103＝103－3＝100；
am÷am＝am－m＝a0(a≠0)．
这样可以总结得a0＝1(a≠0)．
于是规定：
a0＝1(a≠0)，
即 任何不等于0的数的0次幂都等于1.
四、课堂小结
师生共同总结：
(1)同底数幂相除，底数不变，指数相减.
(2)任何不等于0的数的0次幂都等于1.
),,0( nmnmaaaa nmnm 都是正整数，并且
)0(10 aa
第4课时 整式的除法
一、情境导入
问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量
约是5.97×1021吨，你知道木星的质量约是地球质量
的多少倍吗？
重点研究算式(1.90×1024)÷(5.97×1021)怎样进
行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．
二、探究新知
1.探索法则
(1)计算(1.90×1024)÷(5.97×1021)，说说你
计算的根据是什么？
(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗？
8a3÷2a；6x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2.
(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则
吗？
教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数
和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．
2.归纳法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的
因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指
数作为商的一个因式．
3.应用新知
(1)28x4y2÷7x3y；
(2)－5a5b3c÷15a4b.
首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这
里省去了括号，对本例可以采用学生口述，教师板书
的形式完成．口述和板书都应注意展示法则的应用，
计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则．
4.巩固新知
教材第104页练习第2题．
学生自己尝试完成计算题，同桌交流．
5.再探新知
计算下列各式：
(1)(am＋bm)÷m；
(2)(a2＋ab) ÷a；
(3)(12a3－6a2＋3a)÷3a.
①说说你是怎样计算的．
②还有什么发现吗？
在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的
思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出
计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项
数相同．
6.归纳法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这
个单项式，再把所得的商相加．
你能把这句话写成公式的形式吗？
7.解决问题
计算：
(1)(21x4y3－35x3y2＋7x2y2)÷(－7x2y)；
(2)[(x＋y)2－y(2x＋y)－8x]÷2x.
幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的
重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步
变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互
为逆运算，检验商式的正确性．
8.巩固提高
教材第104页练习第3题．
三、布置作业
1.必做题：教材第105页习题14.1第6题．
2.备选题：下列计算是否正确？如不正确，应怎
样改正？
(1)－4ab2÷2ab＝2b；
(2)(14a3－2a2＋a)÷a＝14a2-2a.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
复习:
多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相
乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一
项,再把所得的积相加.
计算下列各题:
(1) (a+b)(a-b)=? (2) (a+2)(a-2)=?
(3) (3-x)(3+x)=? (4) (2m+n)(2m-n)=?
比较等号两边的代数式,它们在系数和字母
方面各有什么特点?两者有什么联系?
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
做一做:
将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,
你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方
差公式吗?
a-b
a b
b
a-b
a
甲 乙
a-b
例1 运用平方差公式计算:
(1)(3x+5y)(3x-5y) 1 1(2)( )( )2 2b a b a
例2 用平方差公式计算:
(1) 103×97 (2)59.8×60.2
小结:
1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.
2.学会运用平方差公式进行计算.
14.2.2 完全平方公式
一、复习引入
你能列出下列代数式吗？
(1)两数和的平方；(2)两数差的平方．
你能计算出它们的结果吗？
二、探究新知
你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学
生之间互相补充，教师不急于概括；
举例：
(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________；
(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________；
(3)(m＋2)2＝________________；
(4)(m－2)2＝________________．
通过几个这样的运算例子，让学生观察算式与结果间
的结构特征．
归纳：公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平
方和，加上(或减去)它们积的2倍．这两个公式叫做(乘
法的)完全平方公式．
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这
个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，
并尝试说明产生这些特点的原因．
还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来
解释：
(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2
＝a2－2ab＋b2.
2.教材例4：运用完全平方公式计算：
(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22
＝10 000＋400＋4
＝10 404；
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12
＝10 000－200＋1
＝9 801.
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，
口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全
平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样
化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
四、再探新知
1.现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根
据二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量
的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的
代数意义：
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个
小组快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的
变化，帮助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2
－2b(a－b)＝a2－2ab＋b2.
3.添括号法则
运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号.我们
学过去括号法则，即
a+(b+c)=a+b+c;
a-(b+c)=a-b-c.
教师带领学生回顾去括号法则：括号前的符号是
“+”时，去括号后，括号内各项的符号不变；括号前
的符号是“-”时，去括号后，括号内各项的符号改变.
反过来，就得到添括号法则：
a+b+c=a+(b+c);
a-b-c=a-(b+c).
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，
括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面
是负号，括到括号里的各项都改变符号.
五、巩固拓展
教材例5：运用乘法公式计算：
(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.
解：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)
＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]
＝x2－(2y－3)2
＝x2－(4y2－12y＋9)
＝x2－4y2＋12y－9.
(2)(a＋b＋c)2
＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
挑战一下
问题：已知a+b=8,ab=4，求a2 b+a b2 的值。
运用前面所学的知识填空：
把下列多项式写成乘积的形式
都是多项式化为
几个整式的积的
形式
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
(1) m(a+b+c)=
(2) (x+1)(x-1)=
(3) (a+b)2 =
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
观察“回忆”与
“探究”，你能
发现它们之间的
联系与区别吗？
回忆
探究
把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样
的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式。
定义
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的积
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项
式的公因式。
mcmbma
相同因式m
这个多项式有什么特点？
例: 找 3 x 2 –6xy 的公因式。
系数：最大
公因数。
3
字母：相同的
字母
x
所以，该代数式的公因式是3x。
指数：相同字母
的最低次幂
1
寻找公因式的关键是：
1、定系数 2、定字母 3、定指数
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积
的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
( a+b+c )ma+ mb +mcm=
注:其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式a +b+c
是ma+mb+mc除以m所得的商。
(1) 8a3b2 + 12ab3c
例1: 把下列各式分解因式
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是
一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
2、确定公因式的方法：
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
1、什么叫因式分解？
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式.
4、提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽； （2）某项提出莫漏1;
（3）提出负号时,要注意变号.
记住哟！
(1) 13.8×0.125+86.2×
(2)已知2a+b=5,ab=3,求2a2b+ab2的值.
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
=12.5
解: 2a2b+ab2
=ab(2a+b)=3×5=15
巧妙计算
8
1
14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式分解因式
（1）了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）了解提公因式法是分解因式首先考虑的方
法，再考虑用平方差公式分解因式．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？
问题2：你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因
式吗？这两个多项式有什么共同的特点？
对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变
形，可引导比较它与整式乘法的关系．
对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适
当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的
特点．
特点：这两个多项式都是两个数的平方差的形式，对
于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因
式．
即(a＋b)(a－b)＝a2－b2
反过来就是：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
要求学生具体说说这个公式的意义．
例1 分解因式：
(1)4x2－9；
(2)(x＋p)2－(x＋q)2.
分析：注意引导学生观察这2个多项式的项数，每个
项可以看成是什么“数”的平方，使之与平方差公式进
行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式
后，再用平方差公式进行因式分解．
能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式
是否符合平方差的特征，即两个数的平方差，所以要强
调多项式是否可化为( )2－( )2的形式．括号里的
“式子”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多
项式，如(2)题是多项式．
例2 分解因式：
(1)x4－y4；(2)a3b－ab.
分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，
注意它的第2次分解；
(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，
发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解．
学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为
止．
第2课时 运用完全平方公式因式分解
下面的多项式能分解因式吗？
(1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
乘法公式——完全平方公式：
222 2 bababa
222 2 bababa
我们把多项式a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab
＋b² 叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
结构特征:
（1）三项式
（2）其中有两项是平方项且都是同号
（3）第三项是两平方项底数乘积的两倍
例题：把下列式子分解因式
16x2+24x+9
22 2首 首 尾 尾 =(首 ± 尾)2
（4x）2+ 2 × 4x × 3 + 32 =( 4x + 3)2
例１ 利用公式： a2±2ab+b2 ＝ （a±b）2把下列多
项式分解因式。
⑴ 25－10x+x2 ⑵ 9a2+6ab+b2
解：原式=52－2×5·x+x2
= （5-x）2
解：原式=(3a)2+2×3a·b+b2
= （3a+b）2
从以上这两题可以发现：先把多项式化成符合完全平方公
式特点的形式，然后再根据完全平方公式分解因式。
解完以上这两题，你发现什么？
例２、把下列多项式分解因式。
⑴ x2+14x+49
⑵ （m+n）2－6（m +n）+9
解：原式=x2+2·x·7+72
=（x+7）2
解：原式= （m+n）2 －2·（m +n）·3 +32
= （m+n-3）2
通过解这两题，你得到什么启示？
⑴ 2ax2+4axy+2ay2
⑵ －x2-4y2+4xy
解：原式=2a（x2+2xy+y2）
=2a（x+y）2
解：原式=－（x2-4xy+4y2）
=－［x2-2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
通过解这两题，你得
到什么启示？
例3 把下列多项式因式分解
1.若有公因式，应先提取公因式，再用公式法
分解因式。
2.分解因式要彻底。
因式分解的一般步骤
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
2
2
2
2 2
2
2 2
1 4 4
2 6 9
3 4 4 1
4 9 6
15 4
6 4 12 9
x x
a a
a a
m m n n
x x
a ab b
22x 原式
22 1a 原式
23m n 原式
21
2x
原式
22 3a b 原式
【例】分解因式：
(a2+b2)2- 4a2b2
小结: (1) 选用公式时要看多项式的特征
两项考虑平方差公式
三项考虑完全平方公式
(2)分解因式时一定要分解彻底。
【例】简便计算：
（2）522+482+52×96
（1）9972－9
=9972－32
=（997+3）（997-3）
=1 000×994=994 000
=522+482+2×52×48
=（52+48）2
=10 000
2.因式分解的一般思路:
一提（提公因式法）
二用（运用公式法）
小结：
1.因式分解的方法:
(1) 提取公因式法
平方差公式法 (两项)
完全平方公式法(三项)
(2) 公式法
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