北师大版八年级数学上册第六章数据的分析

第六章 数据的分析 1 平均数 学习目标 会计算算术平均数和加权平均数，并能利用所算的结果进行分析，作出正确的决策。 生活 中，人们离不开数据，我们不仅要收集、整理和表示数据，还需要对数据进行分析，进而帮助我们更好地作出判断 . 右 图表示的是甲、乙、丙三人的射击成绩，谁的成绩更好，谁更稳定？你是怎么判断的？除了 直观感觉 外，我们如何用 量化的数据来刻画“更 好”、“更稳定”呢？ 情景导入 当 你听到“小亮的身高在班上是中等偏上的”，“ A 篮球队队员比 B 队更年轻”等诸如此类的说法时，你思考过这些话的含义吗？你知道人们是如何作出这一判断的吗？ 数学 上，我们常借助平均数、中位数、众数、方差等来对数据进行分析和刻画 . 影响篮球比赛的成绩有哪些因素？ 如何衡量两个球队队员的身高？ 怎样理解“甲队队员的身高比乙队 更高”？ 要比较两个球队队员的身高，需要 收集哪些数据呢？ 导学一 北京金隅（冠军） 广东东莞银行（亚军） 号码 身高 / 厘米 年龄 / 岁 号码 身高 / 厘米 年龄 / 岁 3 188 35 3 205 31 6 175 28 5 206 21 7 190 27 6 188 23 8 188 22 7 196 29 9 196 22 8 201 29 10 206 22 9 211 25 12 195 29 10 190 23 13 209 22 11 206 23 20 204 19 12 212 23 21 185 23 20 203 21 25 204 23 22 216 22 31 195 28 30 180 19 32 211 26 32 207 21 51 202 26 0 183 27 55 227 29 哪支球队队员的身材更为高大？哪支球队队员更为年轻？你是怎样判断的？与同伴交流。 日常生活中，我们常用 平均数 表示 一组数据的 “平均水平” 。 一般地，对于 n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， 我们把 ( x 1 + x 2 +…+ x n ) / n 叫做这 n 个数的 算术平均数 ，简称 平均数 。记为 x 。 概念 想一想 年龄/岁 1 9 22 2 3 2 6 2 7 2 8 29 3 5 相应队员数 1 4 2 2 1 2 2 1 小明是这样计算北京金隅队 队员的平均年龄的： 平均年龄 =（1 9×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28× 2+29×2+35×1 ）÷（1+ 4+2+2+1+2+2+1 ）≈ 2 5.4 （岁） 你 能说说小明这样做的道理吗？ 1. 某次体操比赛，六位评委对选手 的打分（单位：分）如下： 9.5 ， 9.3 ， 9.1 ， 9.5 ， 9.4 ， 9.3. (1) 求这六个分数的平均分。 (2) 如果规定：去掉一个最高分和一个最低分，余下分数的平均值作为选手的最后得分，那么该选手的最后得分是多少？ 解 : (1) 这六个分数的平均分为 (9.5+9.3+9.1+9.5+9.4+9.3)÷6=9.35( 分 ) (2)(9.5+9.3+9.4+9.3)÷4=9.375( 分 ) 答：该选手的最后得分是 9.375 分。 检测一 （1） 如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？ （2） 根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按 4∶3∶1 的比例确定各人的测试 成绩，此时谁将被录用？ 测试项目 测试成绩 A B C 创 新 72 85 67 综 合 知 识 50 74 70 语 言 88 45 67 某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对 A ，B，C 三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示： 导学二 解 : (1)A 的平均成绩为(72+50+88) ÷3=70( 分 ) B 的平均成绩为(85+74+45) ÷ 3=68 ( 分 ) C 的平均成绩为(67+70+67) ÷ 3=68 ( 分 ) 因此候选人 A 将被录用。 (2) 根据题意，三人的 测试成绩如下： A 的测试成绩为 (72×4+50×3+88×1) ÷( 4+3+1 )=65.75( 分 ) B 的测试成绩为 (85×4+74×3+45×1) ÷ ( 4+3+1 )=75.875( 分 ) C 的测试成绩为 (67×4+70×3+67×1) ÷( 4+3+1 )=68.125( 分 ) 因此候选人 B 将被录用 。 在 实际问题中，一组数据里的各个数据的 “重要程度” 未必相同。因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个 “权 ”。 　 如例1中 4，3，1 分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的 权 ，而称（72×4+50×3+88×1） ÷ （4+3+1） 为 A 的三项测试成绩的 加权平均数。 概念 解： 小颖这学期的体育成绩是 92×20%+80×30%+84×50% = 84.4（分） 答：小颖这学期的体育成绩是84.4分。 2. 某校规定学生的体育成绩由三部 分组成：早锻炼及体育课外活动占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%。小颖的上述三项成绩依次为 92分、80 分、84 分，则小颖这学期的体育成绩是多少分？ 检测二 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一 班 9 8 9 8 二 班 10 9 7 8 三 班 8 9 8 9 （ 1 ）若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按 10% ， 20% ， 30% ， 40% 的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ （ 2 ）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案。根据你的评分方案，哪一个班的广播操比赛成绩最高？与同伴进行交流。 某 学校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几 项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐 ( 每项满分 10 分 ), 其中三个班级的成绩分别如下： 导学三 解 : ( 1) 一班的广播操成绩为： 9×10% ＋ 8×20% ＋ 9×30% ＋ 8×40%=8.4( 分 ) 二班的广播操成绩为： 10×10% ＋ 9×20% ＋ 7×30% ＋ 8×40%=8.1( 分 ) 三 班的广播操成绩为： 8×10% ＋ 9×20% ＋ 8×30% ＋ 9×40%=8.6( 分 ) 因此，三班的广播操成绩最高。 (2) 权有差异，得出的结果就会不同，也就是说 权的差异对结果有影响。 3 、小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200 元，其他支出为7200 元。小颖家今年的这三项支出依次比去年增长了9%，30%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？ 以下是小明和小亮的两种解法，谁做得对？说说你的理由。 小明 :(9%+30%+6%)÷3=15% 小亮 :( 9%×3600+30%×1200+6%×7200) ÷ (3600+1200+7200)=9.3% 检测三 由于 小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的增长率 “地位” 不同，它们对总支出增长率的 “影响” 不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3600，1200 ,7200 分别视为三项支出增长率的 “权” ，从而总支出的增长率为小亮的解法是对的。 日常生活 中的许多 “平均” 现象是 “加权平均” 。 解: (1) 小明的平均速度是 ( 15×1+5×1) ÷ (1+1)=10千米/时 (2) 小明的平均速度是 (15×2+5×3) ÷ (2+3)=9千米/时 4. 小明骑自行车的速度是15千米/时， 步行的速度是5千米/时。 (1)如果小明先骑自行车1小时，然后又步行了1小时，那么他的平均速度是多少？ (2)如果小明先骑自行车2小时，然后步行了 3小时，那么他的平均速度是多少？ 议一议 说说算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？ 算术平均数 是加权平均数 各项的权都相等 的一种特殊情况，即算术平均数是加权平均数,而加权平均数不一定是算术平均数。 由于权的不同，导致结果不同，故 权的差异对结果有影响 。 课堂小结 第六章 数据的分析 2 中位数与众数 Contents 目录 01 02 03 04 学习目标 新知探究 分层练习 课堂小结 情景引入 05 1. 理解中位数、众数的概念，会求一组数据的中位数、众数。 2. 体会“众数”“中位数”“平均数”各自的特点，明确它们之间的联系与区别，并能选择众数、中位数或平均数来解决实际问题。 月平均 工资 元 ，待遇不错！ 招聘启示 因工作需要，本公司欲招工作人员几名，月平均工资 2700 元，有意者面谈。 某某 公司 2015 年 12 月 2700 怎么每个月的工资只有 元 呢 1200 ？ 上班一个月后 单位：元 该超市工作人员月工资如下表 : 我每个月的 工资只有 元 1200 月平均工资 元 2700 经 理 副经理 员工 A 员工 B 员工 C 员工 D 员工 E 员工 F 员工 G 月工资 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 我是不是被经理给骗了呢？ 例 某公司员工的月工资如下： 员工 经理 副经理 职员Ａ 职员Ｂ 职员Ｃ 职员Ｄ 职员Ｅ 职员Ｆ 职员Ｇ 月工资／元 7 000 4 400 2 400 2 000 1 900 1 800 1 800 1 800 1 200 经理说：我公司员工收入很高 , 月平均工资是 2 700 元。 职员 C 说：我的工资是 1 900 元，在公司算是中等收入。 职员 D 说：我们好几个人的工资都是 1 800 元。 你怎样看待该公司员工的收入？ 职员 C 的工资 1 900 元，恰好居于所有员工工资的“正中间” ( 恰有 4 人的工资比他高，有 4 人的工资比他低 ) ，我们称它为中位数。 9 个员工中有 3 个人的工资为 1 800 元，出现的次数最多，我们称它为众数。 月平均工资 2 700 元，指所有员工工资的平均数 是 2 700 元，说明公司每月将支付 2 700×9=24 300 （元） 员工 经理 副经理 职员Ａ 职员Ｂ 职员Ｃ 职员Ｄ 职员Ｅ 职员Ｆ 职员Ｇ 月工资／元 7 000 4 400 2 400 2 000 1 900 1 800 1 800 1 800 1 200 （ 1 ）他们的说法都对吗？你认为哪个数据最能表示该公司员工的“平均水平”？ （ 2 ）为什么该公司员工收入的平均数比中位数高得多？ 议一议 一般的， n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的 中位数 （ median ） 6000 元， 4000 元， 1700 元， 1300 元， 1200 元， 1100 元， 1100 元， 1100 元， 500 元 . 问题：什么时候取最中间位置的数据？什么时候取最中间两个数据的平均数？举例说明。 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的 众数 （ mode ） . 问题：一组数据中中位数有几个？众数可以有多个吗？ 练一练 1 .有一位同学平时的 7 次测试成绩分别是： 83,75,88,69,92,83,90 ，则 这组数据的中位数是_____，众数是 . 2. 某校篮球队 21 名同学的身高如下表： 身高 /cm 180 185 187 190 201 人数 / 名 4 6 5 4 2 则该校篮球队 21 名同学身高的中位是 ， 众数是 . 平均数、中位数和众数有哪些特征？ 上面说的这些特征在实际生活中有哪些地方用到 ? 议一议 想一想 平均数、中位数及众数的区别与联系 名称 区别 联系 平均数 （ 1 ）平均数的大小由一组数据中 所有数据 决定，它的值容易受到个别 极端数据 的影响；（ 2 ）一组数据中平均数唯一；（ 3 ）平均数不一定是原数据中的数据 （ 1 ）平均数、中位数及众数都是描述一组数据的集中程度的统计量，其中以平均数最为重要，其应用最为广泛（ 2 ）在实际问题中，求得的平均数、中位数和众数都有单位，它们的单位都与原数据的单位相同 中位数 （ 1 ）某些数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中存在个别极端数据时，可用中位数来描述其集中趋势；（ 2 ）一组数据中中位数唯一；（ 3 ）中位数 不一定是原数据中的数据 众数 （ 1 ）众数着眼于对各数据出现次数的考察，其大小只与这组数据中的 部分数据 有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；（ 2 ）一组数据中 众数不一定唯一 ；（ 3 ）众数 一定是原数据中的数据 我是不是被经理给骗了呢？ 学以致用 该超市工作人员月工资如下表 : 经 理 副经理 员工 A 员工 B 员工 C 员工 D 员工 E 员工 F 员工 G 月工资 7 000 4 400 2 400 2 000 1 900 1 800 1 800 1 800 1 200 1. 小华所在的八年级一班共有 50 名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是 1.65m ，而小华的身高是 1.66m ，下列说法错误的是（ ） A .1.65m 是该班学生身高的平均水平 B. 班上比小华高的学生人数不会超过 25 C. 这组身高数据的中位数不一定是 1.65m D. 这组身高数据的众数不一定是 1.65m 2. 某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是 ( ) A ． 94 分， 96 分 B ． 96 分， 96 分 C ． 94 分， 96.4 分 D ． 96 分， 96.4 分 3. 公园有甲、乙两队游客在做团体游戏，两队游客的年龄如下（单位：岁） 甲队： 13, 13, 14, 15, 15 ， 15 ， 15, 16, 17, 17 乙队： 3, 4 ， 4, 5 ， 5 ， 6 ， 6 ， 6 ， 54, 57 （ 1 ）分别算出两队游客年龄的平均数、众数和中位数。 （ 2 ）甲、乙两队游客年龄的平均数能代表他们各自的年龄特征吗？如果不能，哪个数据能代表？ 6 8 10 18 a 如果 8 是中位数， a 可以是 ( ) 如果 10 是中位数 , a 可以是 ( ) 如果 a 是中位数 , a 可以是 ( ) 已知下列一组数据，中位数可以是几？ 拓展延伸 第六章 数据的分析 3 从统计图分析数据的集中趋势 Contents 目录 01 02 03 04 学习目标 新知探究 达标检测 课堂小结 旧知回顾 05 1. 经历从统计图分析数据集中趋势的活动建立数据直觉，发展几何直观。 2. 能从条形统计图、扇形统计图等统计图中获取信息， 求出 或 估计 相关数据的 平均数、中位数、众数。 某市 上周各天的最高气温统计如下表： 最高气温（ ℃ ） 3 4 7 8 天数 1 1 2 3 这组数据的 中位数 是（ ） 众 数 是（ ） 平均数 约是（ ） 我们学过的统计图都有哪些？各自的特点是什么呢？ 折线统计图 特点：用一个单位长度表示一定的数量；用折线的上升或下降表示 数量的多少和增减变化情况。 作用：既可 表示各种数量的多少 ，又可反映出 数量的增减变化趋势 。 条形 统计图 特点：用一个单位长度表示一定的数量；用直条的长短来表示数量的多少。 作用：用于 表示各个数量的多少 。 扇形 统计图 特点：用一个圆的面积来表示总数；用圆内扇形的大小来表示占总数的百分比。 作用：可以清楚地 表示出各个部分与总体的关系 。 为了检查面包的质量是否达标，随机抽取了同种规格的面包 10 个，这 10 个面包的质量如图所示。 （ 1 ）这 10 个面包质量的众数、中位数分别是多少？ （ 2 ）估计这 10 个面包的平均质量，再具体算一算，看看你的估计水平如何。 你发现这些数据的集中趋势了吗？与同伴分享 !! 估计方法： 这些数据，在 100 这条线上的点最多， 因此可以判定众数是 100 ；另外其他 7 个 点，都集中在 100 附近，因此可以估计平 均数也应在 100 左右。 具体计算时，可以以 100 为基准 ，超过的部分记为正数，低于的部分记为负数，求出它们的平均数为－ 0.2 ，加上 100 ，得平均数为 99.8. 活动一 为了检查面包的质量是否达标，随机抽取同种规格的面包 10 个，这 10 个面包的质量如图所示。 （1）这10个面包质量的众数是（ ）、中位数是（ ）； （2）估计这10个面包的平均质量，再具体算一算，看看你的估计水平如何。 学以致用 101 105 98 100 103 100 100 99 97 95 众数： ________________________________;   中位数： ________________________________; 平均数： . 同一水平线上出现次数最多的数据 折线图上，从上到下 ( 或从下到上 ) 处于中间点所对应的数 可以用 中位数 与 众数 估测 平均数 , 具体计算时可以以这个数为基准用简便算法求平均数 交流反思： 在折线统计图中，可以怎样求一组数据的众数、中位数、平均数？ 甲、乙、丙三支青年排球队各有 12 名队员，三队队员的年龄情况如下图： (1) 观察三幅图，你能从图中分别看出三支球队 队员年龄的众数吗？中位数呢？ (2) 根据图表，你能大致估计出三支球队队员的平均年龄哪个大、哪个小吗？ 你是怎么估计的？与同伴交流。 活动二 (3) 计算出三支球队队员的平均年龄，看看你上面 的估计是否准确？ 众数： _________________________________;   中位数： _________________________________; 平均数： _________________________________. 柱子最高的小长方形所对应的数据 从左到右（或从右到左）找中间数 可以用 中位数 与 众数 估测 平均数 交流反思： 在条形统计图中，可以怎样求一组数据的众数、中位数、平均数呢？ 小明调查了班级里 20 位同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了下面的统计图： (1) 在这 20 位同学中 , 本学期计划购买课外书的花费的 众数、中位数 分别是多少？ ( 2) 计算这 20 位同学计划购买课外书的平均花费是多少？你是怎么计算的？与同伴交流。 活动三 想一想：在上面的问题中，如果不知道调查的总人数，你还能求平均数吗？ 众数： _____________________________;   中位数： ; 平均数： ____________________________. 面积最大的扇形所对应的数据 扇形图中各数据 按大小顺序排列 ，相应的百分比 第 50% 、 51% 两个数据的平均数 是中位数 可以利用 加权平均数 进行计算 交流反思： 在扇形统计图中，可以 怎样求一组数据的众数、 中位数、平均数？ 某地连续统计了 10 天日最高气温， 并绘制成如 图所 示的扇形统计图 . (1) 这 10 天中，日最高气温的众数是多少？ (2) 计算这 10 天日最高气温的平均值。 例： 1. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的 50 名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这 50 人一周的体育锻炼时间的 众数 和 中位数 分别是 ( ) (A)6 小时、 6 小时 (B)6 小时、 4 小时 (C)4 小时、 4 小时 (D)4 小时、 6 小时 2. 在一次爱心捐款中，某班有 40 名学生拿出自己的零花钱，有捐 5 元、 10 元、 20 元、 50 元的，图 7 反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款 _________ 元，中位数是 ______ 元，众数是 _________ 元 . 3 . 某鞋厂为了解初中生穿鞋的尺码情况，对某校八年级（ 1 ）班的 20 名男生进行了调查，结果如图所示。 （ 1 ）写出这 20 个数据的平均数、中位数和众数； （ 2 ）在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是哪一个？ （ 1 ） 不计算， 你能判断哪一个班学生的体育成绩好一些吗 ？ （ 2 ） 你能从图中观察出各班学生体育成绩等级的 “众数” 吗？ 4. 下图反映了初三 (1) 班、 (2) 班的体育成绩： ( 3 ) 如果依次将不及格、及格、中、良好、优秀记为55、65、75、85、95分，分别估算一下，两个班学生体育成绩的平均值大致是多少？算一算，看看你估计的结果怎么样？ ( 4 ) 初三（1） 班学生体育成绩的平均数，中位数和众数有什么关系 ？你能说说其中的理由吗？ 4. 下图反映了初三 (1) 班、 (2) 班的体育成绩： 5. 一交通管理人员星期天在市中心的某十字路口，对闯红灯的人次进行统计，根据上午各时间段（以 1 小时为一个时间段）闯红灯的人次，制作了如图所示的条形统计图，则各时间段闯红灯人次的众数和中位数分别为（ ） A ． 15 ， 15 B ． 10 ， 15 C ． 15 ， 20 D ． 10 ， 20 人次 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 闯红灯人次统计 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 时间段 众数：同一水平线上出现次数最多的数据； 中位数：从上到下（或从下到上）找中间点所对的数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数． 在本节课的学习中，你有哪些收获？请谈谈怎样从条形统计图、扇形统计图等统计图中获取信息，求出或估计相关数据的平均数、中位数、众数。 (2) 条形统计图中， (3) 扇形统计图中， (1) 折线统计图中 众数：是柱子最高的数据； 中位数：从左到右（或从右到左）找中间数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数 . 众数：为扇形面积最大的数据； 中位数：按顺序，看相应百分比，第 50% 与 51% 两个数据的平均数； 平均数：可以利用加权平均数进行计算． 第六章 数据的分析 4 数据的离散程度 为了选拔一名同学参加某市中学生射击竞赛，某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射靶 10 次 . = 7 7 6 8 6 7 8 7 5 9 乙成绩 （环数） = 5 7 10 9 5 6 8 6 7 7 甲成绩 （环数） X 甲 X 乙 7 7 大家想想，我们应选甲还是乙，能否用你前面学的知识解决一下？ 思考：大家想一想，射击运动应重点强调运动员的什么方面的素质 ? 中位数 众数 7 7 7 7 中位数 众数 1. 知识目标 （ 1 ）经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程； （ 2 ）了解刻画数据离散程度的三个量度 —— 极差、方差、标准差，能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情景中加以运用； 2. 教学重点 运用极差、方差、标准差解决实际问题； 3. 教学难点 对极差、方差、标准差概念的理解 . 0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 乌鲁木齐 10℃ 14 ℃ 20 ℃ 24 ℃ 19 ℃ 16 ℃ 广州 20 ℃ 22 ℃ 23 ℃ 25 ℃ 23 ℃ 21 ℃ 某日在不同时段测得乌鲁木齐和广州的气温情况如下 : 上面的温差是一个极差的例子 . 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差 . 这一天两地的温差分别是 : 乌鲁木齐 24-10=14 ℃ 广州 25-20=5℃ 极差能够反映数据的变化范围 . 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量 . 例如 : 一支篮球队队员中 最高队员 与 最矮队员 的身高的差 ; 一个公司成员的 最高收入 与 最低收入 的差都是极差 . 你能举出生活中利用极差说明数据波动情况的例子吗 ? 如一个人成绩的高低波动情况等. 1 2 3 4 5 14.54 14.47 14.54 14.53 14.52 14.52 14.47 14.50 14.53 14.48 为培养新人 , 孙教练要从甲，乙两名跨栏运动员中选取一名队员作为重点培养对象，假设你是教练，根据他们平时比赛成绩会选择哪名队员呢？表中是他们５次在相同情况下的比赛成绩． ０ １ ２ ３ ４ ５ 次数 14.47 14.48 14.49 14.50 14.51 14.52 14.53 14.54 时间 次数 时间 １ ２ ３ ４ ５ 14.47 14.48 14.50 14.49 14.51 14.53 14.52 14.54 方差 : 各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这批数据的方差 . 标准差：就是方差的算术平方根. 讨论 :1. 数据比较分散的分布在平均值附近 , 方差值怎样 ? 2. 数据比较集中的分布在平均值附近 , 方差值怎样 ? 3. 方差的大小与数据的波动性大小有何关系 ? 结论 : 方差越大 , 数据的波动越大 方差越小数据的波动越小 S 2 = [ ( x 1 - ) 2 +( x 2 - ) 2 +··· + ( x n - ) 2 ] 例 1 在一次芭蕾舞比赛中 , 甲、乙两个芭蕾舞团 表演了 舞剧 《 天鹅湖 》, 参加表演的女演员的身高 ( 单位 :cm) 分别是 甲团 163 164 164 165 165 165 166 167 乙团 163 164 164 165 166 167 167 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐 ? 解 : 甲、乙两团演员的平均身高分别是 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 例 2 一次科技知识竞赛 , 两组学生成绩统计如下 : 已经算得两个组的人平均分都是 80 分 , 请根据你所学过的统计知识 , 进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣 , 并说明理由 . 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 解 : (1) 甲组成绩的众数为 90 分 , 乙组成绩的众数为 70 分 , 以成绩的众数比较看 , 甲组成绩好些 . (3) 甲、乙两组成绩的中位数都是 80 分 , 甲组成绩在中位数以上 ( 包括中位数 ) 的人有 33 人 , 乙组成绩在中位数以上 ( 包括中位数 ) 的人有 26 人 , 从这一角度 , 看甲组成绩总体较好 ; (4) 从成绩统计表看 , 甲组成绩高于 80 分的人数为 20 人 , 乙组成绩高于 80 分的人数为 24 人 , 乙组成绩集中在高分段的人数多 , 同时 , 乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多 6 人 , 从这一角度看 , 乙组的成绩较好 . 1 、样本方差的作用是（ ） A .表示总体的平均水平 B .表示样本的平均水平 C .准确表示总体的波动大小 D .表示样本的波动大小 3 、 在样本方差的计算公式 数字 10 表示 ，数字 20 表示 . 2 、样本 5 、 6 、 7 、 8 、 9 的方差 是 . 跟踪练习 D 2 样本平均数 样本容量 4. 为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽出 10 株苗， 测得苗高如下（单位： cm ） 甲： 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 10 ， 16 ， 13 ， 11 ， 15 ， 11 ； 乙： 11 ， 16 ， 17 ， 14 ， 13 ， 19 ， 6 ， 8 ， 10 ， 16 。 哪种小麦长得比较整齐？ 解： x = （ 12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13 (cm ) 甲 1 10 x = （ 11+16+17+14+13+19+6+8+10+16 ） =13 (cm ) 乙 1 10 因为 S 甲 ＜ S 乙 ，所以甲种小麦长得比较整齐 . 2 2 为了考察甲、乙两种小麦的长势 , 分别从中抽出 10 株苗，测得苗高如下 ( 单位 :cm): 甲 : 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙 : 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 问哪种小麦长得比较整齐 ? 思考：求数据方差的一般步骤是什么？ 1 、求数据的平均数； 2 、利用方差公式求方差 . S 2 = [( x 1 － x ) 2 ＋ ( x 2 － x ) 2 ＋ … ＋ ( x n － x ) 2 ] 1 n 为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行 10 次测验，成绩（单位：分）如下： 甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 （ 1 ）填写下表： 同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85 分以上的频率 甲 84 84 0.3 乙 84 84 34 84 90 0.5 14.4 拔尖自助餐 （ 2 ）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价 从众数看，甲成绩的众数为 84 分，乙成绩的众数是 90 分，乙的成绩比甲好； 从方差看， s 2 甲 =14.4 ， s 2 乙 =34 ，甲的成绩比乙相对稳定； 从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是 84 分，两人成绩一样好； 从频率看，甲 85 分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好 . 同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85 分以上的频率 甲 84 84 84 14.4 0.3 乙 84 84 90 34 0.5 1. 数据 4 ， 6 ， 3 ， 7 ， 2 ， 8 ， 1 ， 9 ， 5 ， 5 的极差是 _____. 2. 有 5 个数 1 ， 4 ， a ， 5 ， 2 的平均数是 a ，则这个 5 个数的方差是 _____. 3. 绝对值小于 所有整数的标准差是 ______. 4. 一组数据： a , a , a , ---, a ( 有 n 个 a ) 则它的方差为 ___; 5. 已知一组数据 a 1 ， a 2 ， a 3 ， … ， a n 的平均数为 2 ，方差 为 3 ，那么数据 3 a 1 -3 ， 3 a 2 -3 ， 3 a 3 -3 ， … ， 3 a n -3 的平均数为 ，方差为 . 当堂检测 2 2 0 3 9 8 6. 甲、乙两名学生在参加今年体育考试前各做了 5 次立定跳远测试，两人的平均成绩相同，其中甲所测得成绩的方差是 0.005 ，乙所测得的成绩如下： 2.20m ， 2.30m ， 2.30m ， 2.40m ， 2.30m ，那么甲、乙的成绩比较 ( 　 ) A ．甲的成绩更稳定 B ．乙的成绩更稳定 C ．甲、乙的成绩一样稳定 D ．不能确定谁的成绩更稳定 B 7. 如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数 ，那么 这组数据的 ( 　 ) 　 A ．平均数和方差都不变 B ．平均数不变，方差改变 C ．平均数改变，方差不变 D ．平均数和方差都改变 C 1. 方差 : 各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 批数据的方差 . 3. 方差用来衡量一批数据的波动大小 ( 即这批数据偏离平均数的大小 ). 在样本容量相同的情况下 , 方差越大 , 说明数据的波动越大 , 越不稳定 . S 2 = [( x 1 - x ) 2 +( x 2 - x ) 2 +··· +( x n - x ) 2 ] 2. 标准差是方差的算术平方根. 小 结