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高考数学必考点《数学文化》精选 100 题
1．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为 6000 份，每一份叫做1密位的角．以
密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采
用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与
十位数字之间画一条短线，如密位 7 写成“0 07 ”， 478 密位写成“ 4 78 ”，1周角等
于 6000 密位，记作1周角 60 00 ，1直角 15 00 ．如果一个半径为 2 的扇形，它
的面积为 7
6
，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A．12 50 B．17 50 C． 21 00 D．35 00
2．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、
戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，
地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，
第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，
“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是
伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）
A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年
3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开
为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合
面为一”．在某种玩法中，用 na 表示解下 9,n n n N 个圆环所需的移动最少次数，
若 1 1a ，且 1
1
2 1,
2 2,
n
n
n
a na a n
为偶数
为奇数，则解下 5 个环所需的最少移动次数为（ ）
A． 7 B．13
C．16 D． 22
4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积
所用的经验公式为：弧田面积 1
2
（弦 矢） 矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所
围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心
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角为 2
3
，半径等于 20 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）（参
考数据： 3.14 ， 3 1.73 ）
A． 220 平方米 B． 246 平方米 C． 223平方米 D． 250 平方米
5．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，
其理论依据是：设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 b
a
和 d
c
（ , , ,a b c d N ），
则 b d
a c
是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 2.71828e ，若令
27 14
10 5e ，则第一次用“调日法”后得 41
15
是 e 的更为精确的过剩近似值，即
27 41
10 15e ，若每次都取最简分数，那么第二次用“调日法”后可得 e 的近似分数为
（ ）
A． 68
25 B． 41
15 C． 27
10 D． 14
5
6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其
甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方
白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取的 3
个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30 B．40 C．44 D．70
7．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在
掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的
“弓”，掷铁饼者的手臂长约
4
米，肩宽约为
8
米，“弓”所在圆的半径约为1.25 米，你
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估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据: 2 1.414 ， 3 1.732 )（ ）
A．1.012米 B． 2.043米 C．1.768米 D． 2.945 米
8．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归
运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射
点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续 400 天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半
球时取正值，直射南半球时取负值).设第 x 天时太阳直射点的纬度值为 ,y 该科研小组通
过对数据的整理和分析.得到 y 与 x 近似满足 23.4392911 0.01720279y sin x .则每
400 年中，要使这 400 年与 400 个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为(精
确到1)（ ）
参考数据 182.62110.01720279
A． 95 B．96 C．97 D．98
9．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除问题：
将1到 2021这 2021个正整数中能被 3 除余1且被 5 除余1的数按从小到大的顺序排成
一列，构成数列 na ，则数列 na 各项的和为（ ）
A．137835 B．137836 C．135809 D．135810
10．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫
天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二
个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、
乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我
国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干
支纪年法（即农历）．干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一．今年（2020
年）是庚子年，小华的爸爸今年 6 月 6 日是 56 周岁生日，小华爸爸出生那年的农历是
（ ）
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A．庚子 B．甲辰 C．癸卯 D．丙申
11．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､
雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.
若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是 40.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影
子长为（ ）
A． 6.5 尺 B．13.5尺 C．14.5尺 D．15.5尺
12．英国数学家泰勒(B. Taylor，1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世｡由泰勒
公式，我们能得到 1 1 1 11 1! 2! 3! ! ( 1)!
ee n n
(其中 e 为自然对数的底数，
0 1, ! 1 2 ... 2 1n n n n )，其拉格朗日余项是 .( 1)!n
eR n
可以看
出，右边的项用得越多，计算得到的 e 的近似值也就越精确｡若 3
( 1)!n 近似地表示 e 的
泰勒公式的拉格朗日余项 ,nR nR 不超过 1
1000
时，正整数 n 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
13．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角
攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部
分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 2 ，则侧
棱与底面内切圆半径的比为（ ）
A． 3
3sin
B． 3
3cos
C． 1
2sin D． 1
2cos
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14．“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，为探究下面“瓦
当”图案的面积，向半径为 10 的圆内投入 1000 粒芝麻，落入阴影部分的有 400 粒.则估
计“瓦当”图案的面积是（ ）
A．40 B． 40 C．4 D． 4
15．明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造
性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单
地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以
上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由 12 块正方形木板组成，最小的
一块边长约为 2 厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼
睛到木板的距离大约为 72 厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，
上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观
测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算
出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则sin 2
（ ）
A． 12
35 B． 17
17
C． 8
17 D． 8
15
16．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，
问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天
共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第 2
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天所织布的尺数为（ ）
A． 20
31 B． 5
31 C． 10
31 D． 40
31
17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农
政全书》中用图 1 描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个
盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为 2m，筒车
的轴心 O 到水面的距离为 1m，筒车每分钟按逆时针转动 2 圈.规定：盛水筒 M 对应的
点 P 从水中浮现（即 0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒 M 从 0P 运动到点 P 时所
用时间为 t（单位：s），且此时点 P 距离水面的高度为 h（单位：m）.若以筒车的轴心 O
为坐标原点，过点 O 的水平直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy （如图 2），则 h 与 t
的函数关系式为（ ）
A． 2sin 115 6h t
， 0,t B． 2sin 115 6h t
， 0,t
C． 2sin 16h t
， 0,t D． 2sin 16h t
， 0,t
18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在 ABC 中，
角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 ABC 的面积
22 2 2
21 ( )2 2
a b cS ab
.
根据此公式，若 cos ( 2 )cos 0a B b c A ，且 2 2 2 4b c a+ - = ，则 ABC 的面积
为（ ）
A． 6 B． 2 3 C． 3 D．3 2
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19．我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百
五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座 7 层塔共挂了 254 盏灯，且相邻两层中的下一
层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的底层共有灯（ ）
A．32 盏 B．64 盏 C．128 盏 D．196 盏
20．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的
两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进11 尺，以后每天进度是前一天的 2 倍.小老鼠第
一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此
墙至少在第（ ）
A． 3 天 B． 4 天 C．5 天 D． 6天
21．中国古代重要的数学著作《 孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数之，
剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知
3 2,A x x n n N ， 5 3,B x x n n N ， 7 2,C x x n n N ，
若 x A B C ，则下列选项中符合题意的整数 x 为（ ）
A．8 B．127 C．37 D． 23
22．刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人
之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周
合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的
内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形
的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到 6sin 的近似值为（ ）
A．
30
B．
60
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C．
90
D．
180
23．电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条狗交给你，
一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九
十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三
个奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把300 条狗分成 4 群，每群都是
单数，1群少，3 群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎
样分?舟妹已唱出其中一种分法，即 3,99,99,99 ，那么，所有分法的种数为（ ）
A． 6 B．9
C．10 D．12
24．我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税
一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重
一斤．问本持金几何．”，其意思是“今有人持金出五关，第一关收税金为持金的 1
2
，
第 2 关收税金为剩余的 1
3
，第 3 关收税金为剩余税金的 1
4
，第 4 关收税金为剩余税金
的 1
5
，第 5 关收税金为剩余税金的 1
6 ”5 关所税金之和，恰好重 1 斤．则在此问题中，
第 3 关收税金为（ ）斤
A． 1
10 B． 3
10 C． 1
3 D． 9
10
25．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问
中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转
多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝，第一天派
出 64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝的每人每天分发大
米 3 升．”在该问题中前 5 天共分发多少升大米？（ ）
A．1170 B．1440 C．1512 D．1772
26．中国的少数民族有不少具有鲜明特色的建筑，如图①所示的建筑为坐落于广西三江
林溪河上的程阳永济桥，是典型的侗族建筑，该类建筑由桥、塔、亭组成，其中塔、亭
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建在石桥上，具有多层结构，被称为世界十大最不可思议桥梁之一，因为行人过往能够
躲避风雨，故名“风雨桥”.已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看
作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差
数列.若这四层六边形的周长之和为 156，且图②中阴影部分的面积为 33 32
，则最外层
六边形的周长为（ ）
A．54 B．48 C．42 D．30
27．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约 950 米，即今西安市
雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早 1000 多年，
是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛
外围测得 60AB 米， 60BC 米， 40CD 米， 60ABC ， 120BCD ，
据此可以估计天坛的最下面一层的直径 AD 大约为（ ）．（结果精确到 1 米）
（参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 5 2.236 ， 7 2.646 ）
A．39 米 B．43 米 C．49 米 D．53 米
28．《孙子算经》记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，一
共五级.现每个级别的诸侯分别有 1，2，3，4，5 人，按照如下规则给他们分发一批苹
果：同一等级的诸侯所得苹果数依次为 1a ， 2a ， 3a ，…，且满足 *
1k ka a k k N ；
任一等级诸侯所得苹果数量最多的比高一级的诸侯所得苹果数最少的少一个．现已知等
级为男的诸侯所得苹果数为 1，则这批苹果共有（ ）个．
A．158 B．159 C．160 D．161
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29．祖暅（公元 5-6 世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：
“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截
面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数
学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如
图将底面直径皆为 2b ，高皆为 a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一
平面 上.以平行于平面 的平面于距平面 任意高 d 处可横截得到 S圆 及 S环 两截面，
可以证明 S S 环圆 总成立.据此，短轴长为 6cm ，长轴为8cm 的椭球体的体积是（ ）
3cm
A． 24 B． 48 C．192 D． 384
30．蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外
包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的
足球.2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物
质文化遗产名录.3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，
运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即
“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产
品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已
知某鞠的表面上有四个点 A 、 B 、C 、 D ，满足任意两点间的直线距离为 2 6cm ，
现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由 ABCD 组成的几何体后
剩余的部分，打印所用原料密度为 31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的
质量约为（ ）（参考数据：取 3.14 ， 2 1.41 ， 3 1.73 ，精确到 0.1）
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A．113.0g B． 267.9g C．99.2g D．13.8g
31．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，
良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，
复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（ ）
A．1125 B．1250 C． 2250 D． 2500
32．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以
3 余 2)，五五数之剩三(除以 5 余 3)，问物几何？”现将 1 到 2020 共 2020 个整数中，同
时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{ },na
则该数列共有（ ）
A．132 项 B．133 项 C．134 项 D．135 项
33．1750 年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：
如果用V 、 E 和 F 表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：
2V E F .已知正十二面体有 20 个顶点，则正十二面体有（ ）条棱
A．30 B．14 C． 20 D． 26
34．龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其
中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，
二四为肩，六八为足 u，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴
数中分别随机抽出 2 个和 1 个，则被抽到的 3 个数的数字之和超过 16 的概率为（ ）
A． 13
40 B． 7
20 C． 1
4 D． 3
10
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35．降雨量是气象部门观测的重要数据，日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水
层的深度(单位：毫米)｡我国古代就有关于降雨量测量方法的记载，古代数学名著《数书
九章》中有“天池盆测雨”题：天池盆(圆台形状)盆口直径二尺八寸，盆底直径为一尺二
寸，盆深一尺八寸｡若盆中积水深九寸，则平地降雨量是几寸(注：一尺等于十寸，一寸
等于10
3
厘米)?已知某隧道的积水程度与日降水量的关系如下表所示：
日降雨量(单位：毫米) [15，40) [40，70) [70，120) [120，250)
隧道积水程度 一级 .二级 三级 四级
如果某天该隧道的日降水量按照“天池盆测雨”题中数据计算，则该隧道的积水程度为
（ ）
A．一级 B．二级 C．三级 D．四级
36．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平
面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁
式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六
棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径的比为
（ ）
A． 1
2cos B． 1
2sin C．
sin
3πsin 8
D．
cos
3πcos 8
37．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期，在漆器表面，用
金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工
序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹.现甲，乙两位工匠要完成 A ，B ，C 三
件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间（单
位： h ）如下：
原料 原料 A 原料 B 原料C
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时间
工序
上漆 9 16 10
描绘花纹 15 8 14
则完成这三件原料的描金工作最少需要（ ）
A． 43h B． 46h C． 47h D． 49h
38．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个
是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三
角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是
一个顶角为 36o 的等腰三角形（另一种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五
个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 ABC 中，
5 1
2
BC
AC
.根据这些信息，可得sin126 （ ）
A．1 2 5
4
B． 3 5
8
C．1 5
4
D． 4 5
8
39．“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，
“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为
天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图．圆形轨道距月球表面 100 千米，椭圆形
轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点
距月球表面 15 千米，则椭圆形轨道的焦距为（ ）
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A．85km B． 42.5km C．50km D．100km
40．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有如下问题:“今有委米依垣
内角，下周四尺. 高三尺.何积及为米几何?”其意思为:“ 在屋内墙角处堆放米，米堆底部
的弧长为 4 尺.米堆的高为 3 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积
约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ）
A．7 斛 B．3 斛 C．9 斛 D．12 斛
41．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，
由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中
错误的是（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－m
B．由“在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
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1
1
r r r
n n nC C C
C．由“第 n 行所有数之和为 2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
42．阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之
比为常数 ( 0, 1)k k k 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点
A B、 间的距离为 4 ，动点 P 满足 3PA
PB
，当 P A B、 、 不共线时， PAB△ 面积的最
大值是（ ）
A． 4 3
3
B． 3 C． 4 3 D． 3
3
43．古希腊时期，人们把宽与长之比为 5 1
2
的矩形称为黄金矩形，把这个比值 5 1
2
称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示
相关对应点，图中的矩形 ABCD ， EBCF ， FGHC ， FGJI ， LGJK ， MNJK 均近
似为黄金矩形.若 A 与 D 间的距离大于 18.7m，C 与 F 间的距离小于 12m．则该古建筑
中 A 与 B 间的距离可能是（ ）（参考数据： 5 1 0.6182
， 70.618 0.38 ，
30.618 0.236 ）
A．29m B．29.8m C．30.8m D．32.8m
44．《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数
学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，
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并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点 F 在半圆 O 上，且OF AB ，点 C 在直
径 AB 上运动.设 AC a ， BC b ，则由 FC OF 可以直接证明的不等式为（ ）
A． 0, 02
a b ab a b B． 2 2 2 0, 0a b ab a b
C． 2 0, 0ab ab a ba b
D．
2 2
0, 02 2
a b a b a b
45．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，
即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个 c 键到下一个 1c 键的 8 个白键与 5 个黑
键(如图)的音频恰成一个公比为 12 2 的等比数列的原理，也即高音 1c 的频率正好是中音
c 的 2 倍.已知标准音 1a 的频率为 440Hz，那么频率为 220 2Hz 的音名是（ ）
A．d B．f C．e D．#d
46．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当 n 很大时，用圆内
接正 n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 π 31416 ． ．在《九
章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体
而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当 π 取 3.1416 时可得sin1 的近似值为（ ）
A．0.00873 B．0.01745 C．0.02618 D．0.03491
47．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状
金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型
法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接
制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D
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打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正
方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10 2 cm ，母
线与底面所成角的正切值为 2 ．打印所用原料密度为 31 g/cm ，不考虑打印损耗，制
作该模型所需原料的质量约为（ ）（取 π 3.14 ，精确到 0.1）
A． 609.4g B． 447.3g C．398.3g D． 357.3g
48．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日:以弦乘矢，矢又自乘，并之,
二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积= 1
2
（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧(弧
田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田
弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧
田弦 AB 等于 6 米，其弧田弧所在圆为圆 O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的
面积为 7
2
平方米，则 cos∠AOB=（ ）
A． 1
25 B． 3
25 C． 1
5 D． 7
25
49．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷
长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节
气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说
法不正确的是（ ）注：“相差”是指差的绝对值
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A．立春和立冬的晷长相同
B．立夏和立秋的晷长相同
C．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长
D．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长
50．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦
图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形 ABCD 内部为
“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在
的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同
一片“风叶”的概率为（ ）
A． 3
7 B． 4
7 C． 3
14 D． 11
14
51．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、
春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、
清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为
（ ）
A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸
52．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，
鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，
类似今日的足球. 2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第
一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点 A 、 B 、C 、 D ，满足
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5AB CD ， 6BD AC ， 7AD BC ，则该鞠的表面积为（ ）
A． 55 B． 60 C． 63π D． 68
53．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古
代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”
一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北
周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 3 部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部
分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、 ，
上面一粒珠（简称上珠）代表 5 ，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等
于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨
2 粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A． 1
3 B． 1
2 C． 2
3 D． 1
6
54．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光
辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理
涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广
泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将 1 到 2020 这
2020 个整数中能被 3 除余 2 且被 5 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
na ，那么此数列的项数为（ ）
A．133 B．134 C．135 D．136
55．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平
均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一
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个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中 88 键标准钢琴键盘的一部
分中，c 到 c1 便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼
原来的 7 个音符，分别是 c，d，e，f，g，a，b，则多出来的 5 个音符为 c#（读做“升 c”），
d#，f#，g#，a#；12 音阶为：c，c#，d，d#，e，f，f#，g，g#，a，a#，b，相邻音阶的
频率之比为 1： 12 2 .如图，则键盘 c 和 d 的频率之比为 2121: ( 2) ，即 1： 6 2 ，键盘 e
和 f 的频率之比为 1：12 2 ，键盘 c 和 c1 的频率之比为 1：2，由此可知，图中的键盘 b1
和 f2 的频率之比为（ ）
A． 31: 2 B．1： 2 C． 3 2 ：1 D． 2 ：1
56．罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一.它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像,
高约 33 米.如图所示，太阳神赫利俄斯手中所持的几何体(含火焰)近似是一个底面相同
的倒立的两个圆锥，正方向投影过去，其平面几何图形形状为一个角为 60°，边长为 2
的菱形.现在其中一个圆锥中放置一个球体，使得球与母线、底面相切，则该球球的表
面积为（ ）
A． 4
9
B． 4
3
C． 8
3
D．16
3
57．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头
部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中
有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形
ABCDEFGH ）是由图 1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，
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设 1OA .则下述四个结论：①以直线OH 为终边的角的集合可以表示为
3 2 ,4 k k Z
；②以点O 为圆心、 OA 为半径的圆的弦 AB 所对的弧长为
4
；③ 2
2OA OD ；④ 2, 2BF
中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
58．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设 ABC 内
角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积
22 2 2
2 21
4 2
a b cS a b
．若 2c ，
sin 4sinb C A ，则 ABC 面积的最大值为（ ）
A． 1
3 B． 2
3 C． 6
3
D． 4
3
59．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故
宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长
方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成.
若棱台两底面面积分别是 2400cm ， 2900cm ，高为9cm ，长方体形凹槽的高为12cm ，
斗的密度是 30.50 /g cm .那么这个斗的质量是（ ）
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A．3990g B．3010g C． 6900g D． 6300g
60．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现
在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸
上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点 P 从 A 点出发每次向右或向下跳一个单
位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3 次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路
线到达点 B 的概率为（ ）
A． 1
16 B． 1
8 C． 1
4 D． 1
2
61．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴
长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点 1F ， 2F 均在 x 轴上，C 的面积为
2 3π ，且短轴长为 2 3 ，则C 的标准方程为（ ）
A．
2
2 112
x y B．
2 2
14 3
x y C．
2 2
13 4
x y D．
2 2
116 3
x y
62．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则
积不容异“．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几
何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开
图是半径为 3 的圆的三分之一，则该几何体的体积为（ ）
A． 2 2
3
π B． 4 2
3
π C．4 2 D． 8
3
63．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：
“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边
长分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在
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其内切圆内的概率是（ ）
A． 3
20
B． 3
10
C．
4
D． 2
5
64．写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数
学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例
如计算89 65 ，将被乘数 89 计入上行，乘数 65 计入右行．然后以乘数 65 的每位数字
乘被乘数 89 的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，
满十向上斜行进一，如图，即得 5785．类比此法画出 648 345 的表格，若从表内（表
周边数据不算在内）任取一数，则恰取到奇数的概率是（ ）
A． 5
18 B． 1
3 C． 13
18 D． 2
3
65．玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉
器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8cm ，孔径 4.9cm 、外径
17.6cm .琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮
的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神
人纹玉琮王的体积约为（单位： 3cm ）（ ）
A． 6250 B．3050 C． 2850 D． 2350
66．任取一个正整数 m ，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以
2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1→4→2→1.这就是数学
史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数 3m ，根据上述运算法则得出
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3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过 7 个步骤首次变成 1（简称为 7 步“雹程”）.则下
列叙述正确的是（ ）
A．当 12m 时，经过 9 步雹程变成 1
B．当 *2km k N 时，经过 k 步雹程变成 1
C．当 m 越大时，首次变成 1 需要的雹程数越大
D．若 m 需经过 5 步雹程首次变成 1，则 m 所有可能的取值集合为 5,32
67．函数概念最早是在 17 世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧
拉等人的改译．1821 年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的
关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫
自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严
谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设 A，B 是两个非空的数
集，如果按某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元
素 y 和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数”，则下列对应法则 f 满足函
数定义的有（ ）
A． 2f x x B． 2f x x C． (cos )f x x D． xf e x
68．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵
形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的
卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距
离之积为常数.已知：曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1，0)和 F2(1，0）的距离的积等于
常数 2 ( 1)a a 的点的轨迹，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线 C 过坐标原点
B．曲线 C 关于坐标原点对称
C．曲线 C 关于坐标轴对称
D．若点在曲线 C 上，则 1 2F PF 的面积不大于 21
2 a
69．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，
后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入
对不等式的发展影响深远.若实数 a b ，则下列不等式不一定．．．成立的是（ ）
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A． 1a
b
B．
2 2
2
a bab
C． b a
a b
≥2 D． 1 1
a b
70．中国清朝数学家李善兰在1859 年翻译《 代数学》中首次将“ function ”译做：“函数”，
沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函
数”.1930 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合
1,1,2,4M ， 1,2,4,16N ，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其
中能构成从 M 到 N 的函数的是（ ）
A． 2y x B． 2y x C． 2 xy D． 2y x=
71．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，
减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，
开平方得积可用公式
22 2 2
2 21
4 2
c a bS c a
（其中 a 、b 、 c 、S 为三角形
的三边和面积）表示.在 ABC 中，a 、b 、c 分别为角 A 、B 、C 所对的边，若 3a ，
且
22cos cos 3
cb C c B ，则 ABC 面积的最大值为___________.
72．我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖暅原理：夹在两个平行
平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的
面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图 1)．在 xOy 平面上，将双曲线的一
支
2
2 14
x y 及其渐近线 1
2y x 和直线 y=0，y= 2 围成的封闭图形记为 D，如图 2 中
阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何体为 ，利用祖暅原理试求 的体积为
________．
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73．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意
是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一
个，堆成一个棱台的形状（如图 1），那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算
酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放 a ，b 个坛子，一共堆了 n 层，
则酒坛的总数 ( 1)( 1) ( 2)( 2) ( 1)( 1)S ab a b a b a n b n 个.现在将长
方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少 1 个
酒坛（如图 2），若底层等边三角形的边上摆放 10 个酒坛，顶层摆放 1 个酒坛，那么酒
坛的总数为______.
74．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜
（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，
垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为 r ，球冠的高为 h ，则球的半
径 R ______________．
75．《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几
何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表
四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体
PQ ABCD ，下底面 ABCD 是矩形，假设屋脊没有歪斜，即 PQ 的中点 R 在底面
ABCD 上的投影为矩形 ABCD 的中心点O ， //PQ AB ， 4AB ， 3AD ， 2PQ ，
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1OR （长度单位：丈）.则楔体 PQ ABCD 的体积为___________（体积单位：立方
丈）.
76．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形
的田称为“邪田”，又称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广
分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪
田内随机种植一株茶树，则该株茶树恰好种在圭田内的概率为___________.
77．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前 476 年~前 222 年），其中沙
漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭
窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，
如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8cm ，细沙全
部在上部时，其高度为圆锥高度的 2
3
（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，
恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为___________cm .
78．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问
题，分为九类，每类九个问题《数书九章》中记录了秦九解的许多创造性成就，其中在
卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a，b，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公
式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂
乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，
即
22 2 2
2 21
4 2
c a bS c a
S 为三角形的面积，a，b，c 为三角形的三边长，
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现有 ABC 满足sin : sin : sin 3: 2 2 : 5A B C 且 12ABCS △ ，则 ABC 的外接
圆的半径为_________．
79．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图 1），扇面形状较为
美观．从半径为 20 cm 的圆面中剪下扇形OAB ，使扇形OAB 的面积与圆面中剩余部分
的面积比值为 5 1
2
（ 5 1
2
≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形OAB 中剪下扇
环形 ABDC 制作扇面，使扇环形 ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比值为 5 1
2
．则
一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图 2）的面积为________cm2．
80．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、
重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知 ABC 的顶点 2,0A 、
2,4B ，其欧拉线的方程为 0x y ，则 ABC 的外接圆方程为______.
81．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连
接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109 28 ，
这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有
《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱
柱 ABCDEF A B C D E ﹣ 的三个顶点 , ,A C E 处分别用平面 BFM ，平面 BDO ，平面
DFN 截掉三个相等的三棱锥 M ABF ，O BCD ， N DEF ，平面 BFM ，平面
BDO ，平面 DFN 交于点 P ，就形成了蜂巢的结构．
第 29 页 共 75 页
如图，设平面 PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为 ，则 cos ________.
（用含 tan54 44 的代数式表示）
82．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的
著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一
组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称
“十二等程律”，即一个八度 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音
是最初那个音的频率的 2 倍．设第三个音的频率为 1f ，第七个音的频率为 2f ，则
2
1
f
f
______．
83．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国
文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫
玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为 21米，底面边长为30 米，是华人建筑大
师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.
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84．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他
认为最满意的一个数学发现.如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个
球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的 2
3
，并且球的表面积
也是圆柱表面积的 2
3
，若圆柱的表面积是 6 ，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多
可以注入的水的体积为_______.
85．拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照非常喜欢“打马”游戏，在她的《打马
赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”.“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子
决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个 2 点和一个
3 点组成，叫做“夹七”，结果由两个 2 点和一个 4 点组成，叫做“夹八”.则在某一轮中，
能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是______.
86．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，
所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多
边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积和周长.如图①，若用圆的内接正六边形的
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面积 1S ，来近似估计半径为 1 的 O 的面积，再用如图②的圆的内接正十二边形的面
积 2S 来近似估计半径为 1 的 O 的面积，则 2 1S S ______.（结果保留根号）
87．黄金比例，用希腊字母Φ表示，借用古希腊数学家欧几里德的话:当整条线段的长度
与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割线段.
用 A，B 分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示
出来:Φ= A A B
B A
，从可以解出Φ的值.类似地，可以定义其他金属比例.假设把线段
分成 n+1 段，其中有 n 段长度相等，记这 n 段的每一段长为 A.面剩下的一段长为 B (长
度较短的).如果 A 与 B 之比等于整条线段的长与 A 之比，我们用 n 来表示这个比例，
即 n = A
B
对于 n(n N )的每个值对应一个 n ，则称 n 为金属比例.当 n=1 时，即为黄
金比例，此时Φ= 5 1
2
；当 n=2 时，即为白银比例，我们用希腊字母 表示该比例，
则 ____
88．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十
四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏
长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为 4，大圆内部的同心小
圆半径为 1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域
的概率为______.
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89．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多
年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道
长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去
锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 0.5 丈的
圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.
已知弦 1AB 尺，弓形高 1CD 寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方
寸.（注：一丈=10 尺=100 寸， 53.14,sin 22.5 13
，答案四舍五入，只取整数．．．．．．．．．．．）
90．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正
方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多
面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图
2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正
方体的棱长为 1.则该半正多面体的棱长为______
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91．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、
上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头
鹿，5 人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在
本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得______.
92．《九章算术》是我国古代的一部数学书记，通过“牟合方盖”解决了球体体积计算的
难题，其中一段记载：“今有方锥，下方八尺，高八尺，问：积几何？术曰：下方自乘，
以高乘之，三而一，若以立圆外接，问积几何？”意思是：“假设有一个正四棱锥（底面
是正方形，并且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥），下底边长是 8 尺，高 8 尺，
则它的体积是多少？方法是：下底边长自乘，以高乘之，再除以 3.若这个正四棱锥的所
有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积是__________立方尺.”
93．“赵爽弦图”是中国古代数学的文化瑰宝，由四个全等的直角三角形和一个小正方形
组成（如图所示），简洁对称、和谐优美.某数学文化研究会以弦图为蓝本设计会徽，其
图案是用红、黄 2 种颜色为弦图的 5 个区域着色（至少使用一种颜色），则一共可以绘
制备选的会徽图案数为__________.
94．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出
了很大贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：
数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零
则置空，如图所示.如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示
的三位数的个数为______.
95．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中
将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂
直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵
1 1 1ABC A B C 中， AC BC ， 1 3AA ， 1 1A BCC 外接球的表面积为 25 ，则阳马
1 1 1A BCC B 体积的最大值为_________.
96．在中国古代数学著作《九章算术》的“方田”篇中，有一篇关于环形田的面积计算问
题：今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？答：二亩五
十五步，其大致意思为：现有一个环形田（如图），中周长 92 步，外周长 122 步，径长
5 步，问田的面积是多少？答：2 亩 55 步 2 ，则根据该问题中的相关数据可知该题所取
的圆周率 的近似值是______；若已知某环形田的中周长 1l 步，外周长 2l 步，径长 c 步，
则该环形田的面积为______．（单位：步 2 ）．
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97．《数书九章》卷五中第二题，原文如下：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，
中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？答曰：田积三百一十五顷.
术曰：以少广求之，以小斜幂（ 2c ）并大斜幂（ 2a ），减中斜幂（ 2b ），并半之，自乘
于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，以四约之，为实：以为从偶，开平方，得积（S）.译
成现代式子是这个式子
22 2 2
2 21
4 2
a c bS c a
称为秦九韶三斜求积公式；已
知三角形的三边分别为 5，6，7 时，则面积为_________，最小角的余弦值为_________.
98．古代的商人在堆放物品时，为了节约空间，常把物品垒成许多层，俗称“垛”，每层
摆成三角形的就叫做“三角垛”．在一个“三角垛”中，自上而下的第一层摆放 1 个，第二
层摆放1 2 个，第三层摆放1 2 3 个，以此类推．13 世纪，我国数学家杨辉在《详解
九章算法》中介绍了计算“三角垛”物体总个数的方法：记“三角垛”的层数为 n ，“三角垛”
的物体总数为 nS ，则 1 1 26nS n n n ．由上述材料可知层数为 9 的“三角垛”的
第四层物体数为______，物体总数为______．
99．我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖
暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平
截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线C ： 2y x= ，直线l 为曲线C
在点 1,1 处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及 x 轴所围成的平面图形，
记该平面图形绕 y 轴旋转一周所得的几何体为 ．过 0, 0 1y y 作 的水平截面，
所得截面面积 S ______（用 y 表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出 体
积为______．
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100．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正 n
边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传
统科学文化之一﹣．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的
切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设 ln 1f x x ，则曲线 y f x 在
点 0 0， 处的切线方程为_____，用此结论计算 ln 2020 ln 2019 _____．
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高考数学必考点《数学文化》精选 100 题
参考答案
1．【答案】B
【解析】
设扇形所对的圆心角为 ， 所对的密位为 n ，则 21 722 6
，解得 7 π12
，
由题意可得
7
12
6000 2
n
，解得 7 6000 175024n ，
因此，该扇形圆心角用密位制表示为17 50 .
2．【答案】A
【解析】
由题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12 的等差数列，
且100 10 10 ，100 8 12 4 ，
因为 2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛酉年，
3．【答案】C
【解析】
数列 na 满足 1 1a ．且 1
1
2 1,
2 2,
n
n
n
a na a n
为偶数
为奇数，
所以， 2 12 1 1a a ， 3 22 2 4a a ， 4 32 1 7a a ， 5 42 2 16a a .
所以解下 5 个环所需的最少移动次数为16 ．
4．【答案】C
【解析】
圆心角为 2
3
，半径等于 20 米的弧田，该弧田的“弦”长为 2 20sin 20 33
米，
圆心到弦的距离为 20cos 103
米，所以，该弧田的“矢”长为 20 10 10 米，
因此，该弧田的面积为 1 20 3 10 10 2232
平方米.
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5．【答案】A
【解析】
解：第一次用“调日法”后得 e 的更为精确的过剩近似值是 41
15
，即 27 41
10 15e ，
第二次用“调日法”后得 e 的更为精确的过剩近似值是 27 41 68
10 15 25
，
6．【答案】B
【解析】
由题意可知，阴数为 2，4，6，8，阳数为 1，3，5，7，9.
若选则 3 个数的和为奇数，则 3 个数都为奇数，共有 3
5 10C 种方法，
或是两偶一奇，共有 2 1
4 5 30C C ，共有10 30 40 种方法.
7．【答案】C
【解析】
弓形所在的扇形如图所示，则 AB 的长度为 5
2 8 8
，
故扇形的圆心角为
5
8 =5 2
4
，故 5 52 1.414 1.7675 1.7684 4AB .
故选：C.
8．【答案】C
【解析】 2 182.6211 2 365.2422,400 365 96.88 970.01720279T T ，
所以应设定闰年的个数为97.
9．【答案】D
【解析】
由题意 na 被 15 除 1，{ }na 是等差数列，公差 15d ，首项为 1 1a ，
第 3 页 共 75 页
1 15( 1) 15 14na n n ，由15 14 2021n 得， 2135 3n ．因此 135n ，
135
135 134135 1 15 1358102S ．
10．【答案】B
【解析】
小华的爸爸今年 6 月 6 日是 56 周岁生日，小华爸爸出生于1964(2020 56 1964) 年．按
六十年一个甲子，今年（2020 年）是庚子年，60 年前（1960 年）是庚子年，由干支纪年法
知，1961，1962，1963，1964 年分别是辛丑，壬寅，癸卯，甲辰年．故选 B．
11．【答案】D
【解析】
设冬至的日影长为 1a ，雨水的日影长为 1 3 5 40.5a a a ，根据等差数列的性质可知
3 33 40.5 13.5a a ，芒种的日影长为 12 4.5a ，
1
1
2 13.5
11 4.5
a d
a d
，解得： 1 15.5a ， 1d ，
所以冬至的日影长为15.5尺.
12．【答案】B
【解析】
依题意得 3 1
( 1)! 1000n
，即 1 ! 3000n ，
5 1 ! 6 5 4 3 2 1 720 ， 6 1 ! 7 6 5 4 3 2 1 5040 3000 ，
所以 n 的最小值是 6.
13．【答案】A
【解析】
如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱 SA SB b ，
底面边长 AB a= ，底面内切圆半径 OC r ， 2ASB ,
第 4 页 共 75 页
则 OAB 是等边三角形， 3sin 60 2r a a ，侧面 SAB 中， 2 sina b ，
3 sinr b ，即 1 3
3sin3sin
b
r
.
14．【答案】B
据题意，芝麻落入阴影部分的概率为 400 2
1000 5P ，
设“瓦当”图案的面积为S ，则 2
2
10 5
S
， 40S ．
15．【答案】C
【解析】
由题意 所对直角边长为18，相邻直角边长为 72 ，则斜边长为18 17 ，
1sin
17
， 4cos
17
，
∴ 1 4 8sin 2 2sin cos 2 1717 17
．
16．【答案】C
【解析】
由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为 q，
由题意知 1q ，
首项为 1a ，前 n 项和为 nS ，
第 5 页 共 75 页
由题意可得 5
1
5
2
(1 ) 51
q
a qS q
，解得
1
2
5
31
q
a
，
所以第二天织的布为 2 1
10
31a a q .
17．【答案】A
【解析】
0 6xOP ，所以 0OP 对应的角是
6
，
由OP 在 t s 内转过的角为 2 2
60 15t t ，
可知以Ox 为始边，以 OP 为终边的角为
15 6t ，
则点 P 的纵坐标为 2sin 15 6t
，
所以点 P 距水面的高度 h m 表示为 t s 的函数是 2sin 115 6h t .
18．【答案】C
【解析】
由正弦定理边角互化可知 cos ( 2 )cos 0a B b c A 化简为
sin cos sin 2sin cos 0A B B C A ，
sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A
即 sin sin 2sin cosA B C C A
sin 0C ， 1cos 2A ,
2 2 2 1 4 1cos 2 2 2 2
b c aA bc bc
，解得： 4bc ，
根据面积公式可知
22 2 2
21 1 16 4 32 2 2
b c aS bc
.
第 6 页 共 75 页
19．【答案】C
【解析】
设最底层的灯数为 1a ，公比 1
2q ，
1 7
7
11 2 25411 2
a
S
，解得： 1 128a .
20．【答案】B
【解析】
设两只老鼠在第 n 天相遇，则大老鼠第 n 天打洞的厚度成以 2 为公比的等比数列，
小老鼠第 n 天打洞的厚度成以 1
2
为公比的等比列，
由等比数列的求和公式可得
111 2 2 1011 2 1 2
n n
，
整理得 2
2 9 2 2 0n n ，
可得 9 892 2
n （舍去）或 9 892 8,162
n ，
所以，两鼠穿透此墙至少在第 4 天.
21．【答案】D
【解析】
因为8 7 1 1 ，则8 C ，选项 A 错误；
127 3 42 1 ，则127 A ，选项 B 错误；
37 3 12 1 ，则 37 A ，选项 C 错误；
23 3 7 2 ，故 23 A ； 23 5 4 3 ，
故 x B ； 23 7 3 2 ，故 x C ，则 23 A B C ，选项 D 正确.
22．【答案】A
【解析】
第 7 页 共 75 页
圆的周角为360 ，360 606
，所以当等腰三角形的顶角为 6 时，共割了 60 个等腰三角形，
设圆的半径为 r ，则由题意可知 2 2160 sin 62 r r ，解得：sin 6 30
，
所以sin 6 的近似值是
30
.
23．【答案】D
【解析】
设少的1群狗有 n 条，多的 3 群狗每群有 m 条， m 、 n N ，且 m n .
根据题意， 3 300n m ，则 n 一定是3 的倍数，
可设 *3n t t N ，
由 m n ，得 0 75n ，
则 0 3 75t ，即 0 25t .
由 n 为奇数，则t 为奇数，即 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23t ，
于是分配方法有以下12 种： 3,99,99,99 、 9,97,97,97 、 15,95,95,95 、
21,93,93,93 、 27,91,91,91 、 33,89,89,89 、 39,87,87,87 、 45,85,85,85 、
51,83,83,83 、 57,81,81,81 、 63,79,79,79 、 69,77,77,77 .
24．【答案】A
【解析】
解：第一关后，剩余金为原来的一半，第二关后，剩余金为原来的三分之一，
第三关后，剩余金为原来的四分之一，第四关后，剩余金为原来的五分之一，
第五关后，剩余金为原来的六分之一，
故最初持有金子的六分之五是 1 斤，最初持有金子 1.2 斤，第三关使得整体持有金子从原来
的三分之一变到四分之一，减少了 0.1 斤，
25．【答案】A
【解析】
第 8 页 共 75 页
由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列 na ，设公差为 d，则 7 3 21d ，
记第一天共分发大米为 1 64 3 192a （升），
则前 5 天共分发大米
1 1
5 5 15 5 10 5 192 10 21 11702a d a d
（升）．
26．【答案】B
【解析】
记四层六边形从内到外每层的边长依次为 1a ， 2a ， 3a ， 4a ，则 1 2 3 46 156a a a a ，
即 1 2 3 4 26a a a a ①.
而 2 2
2 1
3 336 34 2a a ，则 2 2
2 1 11a a ②，
设等差数列 na 的公差为 d ， d Z ，
联立①②，可得
1
2 2
1 1
4 6 26
3 336 34 2
a d
a d a
，
解得 1 5a ， 1d ，则 4 8a ，
则最外层六边形的周长为 48，，
27．【答案】D
【解析】
在 ACB△ 中， 60AB ， 60BC ， 60ABC ，所以 60AC ，
在 CDA 中， 2 2 2 2 cos60AD AC CD AC CD
2 2 160 40 2 60 40 28002
，
所以 20 7 53AD （米）．
28．【答案】B
【解析】
第 9 页 共 75 页
由题意等级为男的诸侯只有 1 人，所得苹果数为 1，
等级为子的诸侯有 2 人，所得苹果数为 2，3；
等级为伯的诸侯有 3 人，所得苹果数为 4，5，7；
等级为侯的诸侯有 4 人，所得苹果数为 8，9，11，14；
等级为公的诸侯有 5 人，所得苹果数为 15，16，18，21，25.
所以苹果总数为1 2 3 4 5 7 8 9 11 14 15 16 18 21 25 159 ．
29．【答案】B
【解析】
根据题意，由椭圆的短轴长为 6，长轴长为 8 可知,
圆柱的高为 4h ，底面半径 3r ，
由圆柱和圆锥的体积公式，结合题中结论知，
2 21=2 - =2 3V V V r h r h 椭球体 圆柱 圆锥 ，
即 2 21=2 3 4 3 4 483V 椭球体 .
30．【答案】C
【解析】
由题意可知，几何体 ABCD 是棱长为 2 6cm 的正四面体，
所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，
设正四面体的棱长为 a ，
则正四面体的高为
2
2 2 3 6
3 2 3
aa a
，
设正四面体外接球半径为 R ，
则 2 2 26 2 3( ) ( )3 3 2
aR R a ，解得 R 6
4
a ，
所以3D 打印的体积为：
第 10 页 共 75 页
3
2 3 34 6 1 1 3 6 6 2
3 4 3 2 2 3 8 12V a a a a a
，
又 3 3(2 6) 48 6a ，所以 36 8 3 113.04 13.84 99.2V ，
31．【答案】A
【解析】
由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为 na ，其中 1 103a ，公差 1 13d .
驽马每日行的距离成等差数列，记为 nb ，其中 1 97b ，公差 2 0.5d .
设长安至齐为 x 里，则 1 2 9 1 2 9 2a a a b b b x ，
即 9 8 13 9 8 0.52 103 9 97 9 22502 2x ，解得 1125x .
32．【答案】D
【解析】
被 3 除余 2 且被 5 除余 3 的数构成首项为 8，公差为 15 的等差数列，记为 na ，则
8 15 1 15 7na n n ，令 15 7 2020na n ，解得： 213515n ，
所以该数列的项数共有 135 项.
33．【答案】A
【解析】
由已知条件得出 20V ， 12F ，由欧拉公式 2V E F 可得
2 20 12 2 30E V F .
34．【答案】A
【解析】
依题意，阳数为 1、3、5、7、9，阴数为 2、4、6、8，故所有的情况有 2 1
5 4 40C C 种，
其中满足条件的为 7,8,9 ， 7,6,9 ， 7,4,9 ， 7,2,9 ， 5,8,9 ， 5,6,9 ， 5,4,9 ，
第 11 页 共 75 页
3,8,9 ， 3,6,9 ， 1,8,9 ， 7,8,5 ， 7,6,5, ， 7,8,3 ，共 13 种，
故所求概率 13
40P .
35．【答案】C
【解析】盆深一尺八寸，盆中积水深九寸，
水刚好积在天池盆的中间处，则积水的水面直径为 28 12 202
寸，即半径为 10 寸，
则积水的体积 2 2 2 21 10 10 6 6 9 5883V ，
天池盆口的面积为 214 196 ，
平地降雨量为 588 3196
寸，即 103 103
厘米，即 100 毫米，
则该隧道的积水程度三级.
36．【答案】A
【解析】
正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为 R ，则底面正边形的边长为 R ，
因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，
所以侧棱长为 2
cos 2cos
R
R
，
所以侧棱与底面外接圆半径的比为 12cos
2cos
R
R
.
37．【答案】B
【解析】
由题意，甲按 A ，C ， B 的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，所需时间最短，
最短时间为9 15 14 8 46 h.
38．【答案】C
【解析】
第 12 页 共 75 页
因为 ABC 是顶角为 36o 的等腰三角形，所以， 72ACB ，
则
1
5 12cos72 cos 4
BC
ACB AC
， sin126 sin 90 36 cos36 ，
而 2cos72 2cos 36 1 ，所以，
1 cos72 3 5 6 2 5 5 1cos36 2 8 16 4
.
39．【答案】A
【解析】
设实半轴长为 a ，半焦距为 c ，月球半径为 r ，
则 100
15
a c r
a c r
，两式相减得 2 85c ．
40．【答案】B
【解析】
设圆锥的底面半径为 r ，则 42 r ，
解得 8r ，
故米堆的体积为
21 1 8 1634 3 3
，
∵1 斛米的体积约为 1.62 立方，
∴16 1.62 33
，
41．【答案】D
【解析】
对于 A，由组合数的互补性质可得 m n m
n nC C ，故 A 正确；
对于 B，由组合数的性质可得 1
1
r r r
n n nC C C
， 故 B 正确；
对于 C，由二项式系数和的性质可得 0 1 2 2n n
n n n nC C C C ，故 C 正确；
第 13 页 共 75 页
对于 D， 55 5 4 3 211 10 1 10 5 10 10 10 10 10 5 10 1 161051 ，
故 D 错误.
42．【答案】C
【解析】
以经过 ,A B 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，如图，
则 ( 2,0)A ， (2,0)B ，设 ( , )P x y ，
| |
| | 3PA
PB
，
2 2
2 2
( 2)
( 2)
3x y
x y
，
整理得 2 2 2 28 4 0 ( 4) 12, 0x y x x y y ，
点 P 到 AB（x 轴）的距离最大值为 2 3 ，
所以 PAB△ 面积的最大值为 1 4 2 3 4 32
.
43．【答案】C
【解析】
由黄金矩形的定义可知 0.618AD
AB
， 20.618 0.38BC CF CF
AB BC AB
，所以
18.7 30.260.618 0.618
ADAB m ，
12 31.580.38 0.38
CFAB m ，即 30.26,31.58AB ，
对照各选项，只有 C 符合．
第 14 页 共 75 页
44．【答案】D
【解析】
不妨设点 C 在半径OB 上运动.
由图形可知： 1
2 2
a bOF AB ，
2
a bOC ．
在 Rt OCF 中，由勾股定理可得
2 2 2 2
2 2 2
a b a b a bCF
,
FC OF ，
2 2
2 2
a b a b ， ( 0, 0)a b .
45．【答案】D
【解析】
由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为 12 2 的等比数列，
设频率为 220 2Hz 的音名为等比数列的首项，标准音 1a 为第 n 项，
则 1122 2 00 442 2
n
，解得 7n ，从标准音 1a 开始，往左数 7 个的音名是#d.
46．【答案】B
【解析】
设圆的半径为 r ，取 360n ，
则圆内接正 360 边形的每条边所对的圆心角为1 ，
以圆心为顶角的每个等腰三角形的面积为 21 sin12 r ，
第 15 页 共 75 页
根据 360 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积可得 2 21360 sin12 r r ，
即sin1 180
0.01745 .
47．【答案】C
【解析】
如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为10 2cm ，
所以半径为 5 2cmOB ．
因为母线与底面所成角的正切值为 tan 2B ，
所以圆锥的高为 10cmPO ．
设正方体的棱长为 a ， 2DE a ，则
2
102
105 2
a a ，解得 5a ．
所以该模型的体积为 2 3 31 500ππ 5 2 10 5 125 cm3 3V ．
所以制作该模型所需原料的质量为 500π 500π125 1 125 398.3 g3 3
．
48．【答案】D
【解析】
第 16 页 共 75 页
如图，由题意可得：AB=6，
弧田面积 S= 1
2
（弦×矢+矢 2）= 1
2
（6×矢+矢 2）= 7
2
平方米．
解得矢=1，或矢=-7（舍），
设半径为 r，圆心到弧田弦的距离为 d，
则 2 2
1
9
r d
r d
，解得 d=4，r=5，
∴cos∠AOD= 4
5
d
r
，
∴cos∠AOB=2cos2∠AOD-1= 32
25 -1= 7
25
．
49．【答案】D
【解析】
根据对称性可知：立春和立冬的晷长相同、立夏和立秋的晷长相同、春分和秋分的晷长相同；
与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长（冬至晷长最大，夏至晷长最小）.
所以说法错误的是 D.
50．【答案】A
【解析】
从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有 2
8 28C 种，
其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有 2
34 12C 种，故所求概率 12 3
28 7P .
51．【答案】D
【解析】
第 17 页 共 75 页
从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种
十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影
之和为七丈三尺五寸，
设十二节气第 Nn n 个节气的日影长为 na ，则数列 na 为等差数列，设其公差为 d ，
前 n 项和为 nS ，
则
5 6 7 8 1
7 1 1
4 22 32
7 67 7 21 73.52
a a a a a d
S a d a d
，解得 1
27
2
1
a
d
，
10 1
27 99 92 2a a d ，因此，立夏日影长为四尺五寸.
52．【答案】A
【解析】
将三棱锥 A BCD 补成长方体 AEBH GDHC ，使得三棱锥 A BCD 的各棱为长方体
AEBH GDHC 的面对角线，
设 EA x ， EB y ， ED z ，设该鞠的半径为 R ，则 2 2 22R x y z ，
由勾股定理可得 2 2 2 25AB x y ， 2 2 2 36AC y z ， 2 2 2 49AD x z ，
上述三个等式相加得 2 2 22 25 36 49 110x y z ，
则 2 2 22 55R x y z ，
因此，该鞠的表面积为 224 2 55S R R .
第 18 页 共 75 页
53．【答案】A
【解析】
由题意可知，算盘所表示的数可能有： 7 、16 、 25 、52、 61、 70 ，
其中是质数的有： 7 、 61，故所求事件的概率为 2 1
6 3P .
54．【答案】C
【解析】
由数能被 3 除余 2 且被 5 除余 2 的数就是能被 15 除余 2 的数，
故 2 1 15 15 13na n n ，
由 15 13 2020na n ，得 8135 15n ， *nN ，
故此数列的项数为：135．
55．【答案】B
【解析】
根据题意，因为相邻音阶的频率之比为 1： 12 2 ，
而键盘 f2 是 b1 后的第 6 个音阶，
故频率之比为 1： 612( 2) 1： 2 ，
56．【答案】B
【解析】
据题意圆锥的轴截面是边长为 2 的正三解形，正三角形内切圆半径为 1 3 323 2 3
，即
为圆锥内切球半径，球表面积为
2
3 44 3 3S
．
57．【答案】B
【解析】
第 19 页 共 75 页
对于命题①，以直线OH 为终边的角的集合可以表示为 3 ,4 k k Z
，命题①
错误；
对于命题②，
4AOB ，以点O 为圆心、 OA 为半径的圆的弦 AB 所对的弧长为
4
，命
题②正确；
对于命题③，由平面向量数量积的定义可得 3 2cos 4 2OA OD OA OD ，命题③
错误；
对于命题④，易知点 2 2,2 2B
， 2 2,2 2F
，
所以， 2, 2BF
，命题④正确.
58．【答案】D
【解析】
因为 2c ， sin 4sinb C A ，所以 4bc a 即 2b a ，
所以 ABC 的面积
2 22 2
4
2 2
2 21 1 5 444 2 4 2
a b c aS a b a
221 3 10
4 2
64
93
a
，
所以当
23 10
2 3
a 即 2 5
3a 时，面积取最大值 max
4
3S ，
此时 4 52 3b a ， ABC 存在，所以 ABC 面积的最大值为 4
3 .
59．【答案】C
【解析】
第 20 页 共 75 页
由题意可知，棱台的体积为 31 400 900 400 900 9 57003V cm 台 ，
设长方体的长为 xcm ，宽为 ycm ，则 900xy ，则原长方体的高为12cm ，
所以，长方体凹槽的体积为 3112 6 9 81002V xy x y xy cm ，
所以，“斗”的体积为 35700 8100 13800 cm ，
因此，“斗”的质量为 13800 0.5 6900 g .
60．【答案】B
【解析】
点 P 从 A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，
跳3 次的所有基本事件有：（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），
（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8 种不同的跳法（线路），
符合题意的只有（下，下，右）这1种，
所以 3 次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点 B 的概率为 1
8 .
61．【答案】B
【解析】
由题意可得
2 3π ,π
2 2 3,
ab
b
解得 2a ， 3b ，
因为椭圆C 的焦点在 x 轴上，所以C 的标准方程为
2 2
14 3
x y .
62．【答案】A
【解析】
由题意可知，该几何体的体积等于圆锥的体积，
∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为 3 的圆的三分之一，
∴圆锥的底面周长为 2 3 23
，
∴圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，
第 21 页 共 75 页
∴圆锥的高为 23 1 2 2 ，
∴圆锥的体积V 圆锥
21 2 21 2 23 3
．
从而所求几何体的体积为 2 2
3V ．
63．【答案】A
【解析】
由题意两直角边为 8, 15a b ，斜边 2 28 15 17c ，
所以内切圆半径 8 15 17 32 2
a b cr ，
所以落在其内切圆内的概率：
23 3
1 208 152
P
，
64．【答案】A
【解析】
根据题意，结合范例画出 648 345 的表格，从表格中可以看出，共有 18 个数，
其中奇数有 5 个，所以从表内任取一数，恰取到奇数的概率为 5
18P = ．
65．【答案】D
【解析】
第 22 页 共 75 页
由题可知，该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为17.6cm ，高为8.8cm 的正四棱柱中挖
去一个底面直径为 4.9cm ，高为8.8cm 的圆柱，此时求得体积记为 1V ，
2
2
1
4.917.6 8.8 8.8 25602V
cm3，
记该神人纹玉琮王的实际体积为V ，
则 1V V ，
且由题意可知，
2 217.6 4.98.8 8.8 19752 2V
cm3，
故1975 2560V ，
66．【答案】ABD
【解析】
当 12m 时，12 6 3 10 5 16 8 4 2 1 共 9 步雹程变成 1，则 A
正确；
当 *2km k N 时， 11 22 2 2 2 1k kk k k 经过 k 步雹程变成 1，则 B
正确；
当 12m 时有 9 步雹程变成 1，当 16m 时 16→8→4→2→1 有 4 步雹程变成 1，故 C 错；
若 m 需经过 5 步雹程首次变成 1 则1 2 4 8 16 5
或1 2 4 8 16 32 两种情况，故 D 正确
67．【答案】AD
【解析】
对于 A.令 2 ( 0),t tt tx f t ，符合函数定义；
对于 B,令 2 ( 0),t x f tt t ，设 2,4t f t ，一个自变量对应两个函数值，不
符合函数定义；
对于 C,设 cos ,t x 当
2 ,1t 则 x 可以取包括
3
等无数多的值，不符合函数定义；
对于 D.令 ) ln( 0 ,xt e t f t t ，符合函数定义．
第 23 页 共 75 页
68．【答案】BCD
【解析】
由题意设动点坐标为 ,x y ，
则 2 2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y a ，
即 2 2 2 2 4( 1) ( 1)x y x y a ，
若曲线 C 过坐标原点 0,0 ，将点 0,0 代入曲线 C 的方程中可得 2 1a 与已知 1a 矛盾，
故曲线 C 不过坐标原点，故 A 错误；
把方程中的 x 被 x 代换，y 被 y 代换，方程不变，
故曲线 C 关于坐标原点对称，故 B 正确；
因为把方程中的 x 被 x 代换，方程不变，故此曲线关于 y 轴对称，
把方程中的 y 被 y 代换，方程不变，故此曲线关于 x 轴对称，
故曲线 C 关于坐标轴对称，故 C 正确；
若点 P 在曲线 C 上，则 2
1 2PF PF a ，
1 2
2
1 2 1 2
1 1sin2 2F PFS PF PF F PF a ，当且仅当 1 2 90F PF 时等号成立，
故 1 2F PF△ 的面积不大于 21
2 a ，故 D 正确.
69．【答案】ACD
【解析】
当 1, 2a b 时，满足 a b ，此时 1 12
a
b
，故 A 正确；
因为 2 2 22 ( ) 0a b ab a b ，
所以 2 2 2a b ab ，所以
2 2
2
a b ab ，即
2 2
2
a bab ，
所以
2 2
2
a bab 一定成立，故 B 不正确；
当 1, 1a b 时，满足 a b ，此时 1 1 2b a
a b
2 ，故C 正确；
第 24 页 共 75 页
当 1, 1a b 时，满足 a b ，此时 1 11 1a b
，故 D 正确.
70．【答案】CD
【解析】
在 A 中，当 4x 时， 8y N ，故 A 错误；
在 B 中，当 1x 时， 3y N ，故 B 错误；
在 C 中，任取 x M ，总有 2 xy N ，故 C 正确；
在 D 中，任取 x M ，总有 2y x N ，故 D 正确．
71．【答案】 9 3
4
【解析】
22cos cos 3
cb C c B ，则
2 2 2 2 2 2
2 2 22 3 cos 3 cos cos cos 2 2
a b c a c bc b C c B ab C ac B ab ac b cab ac
可得 2 23b c ，
所以，
2 22 2 2 2
2 2 2 4 21 1 9 2 1 819 184 2 2 2 2 4
c a b cS c a c c c
221 243 1 9 3 9 392 4 2 2 4c .
当且仅当 3c 时，等号成立.
因此， ABC 面积的最大值为 9 3
4
.
72．【答案】8
【解析】
第 25 页 共 75 页
直线 0 2y a a 与渐近线 1
2y x 交于点 2 ,a a ，
与双曲线一支
2
2 14
x y 交于点 22 1 ,a a
∵ D 绕 y 轴旋转一周所得的几何体为 ，过 0, 0 4y y ，
作 的水平截面，则截面面积为 2
2 22 1 4 4S a a
，
利用祖暅原理得 的体积相当于底面面积为 4 ，高为 2 的圆柱，
4 2 8V .
73．【答案】220
【解析】
每一层酒坛按照正三角形排列，从上往下数，最上面一层的酒坛数为 1，
第二层的酒坛数为1 2 ，
第三层的酒坛数为1 2 3 ，
第四层的酒坛数为1 2 3 4 ，
…，由此规律，最下面一层的酒坛数为1 2 3 10 ，
所以酒坛的总数为1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 10) 1 3 6 55 220 ．
74．【答案】
2 2
2
h r
h
【解析】
如下图所示：
第 26 页 共 75 页
球心到截面圆的距离为 R h ，由勾股定理可得 2 2 2R h r R ，化简得 2 2 2r h Rh ，
解得
2 2
2
r hR h
.
75．【答案】 5
【解析】
延长 QP 至点 E ，使得 1PE ，延长 PQ 至点 F ，使得 1QF ，分别取 AD 、 BC 的中点
M 、 N ，
连接 AC 、 AN 、CM 、 AE 、 DE 、 BF 、 CF 、 EM 、 FN 、 MN ，如下图所示：
因为四边形 ABCD 为矩形，则 //AD BC 且 AD BC ，
又因为 M 、 N 分别为 AD 、 BC 的中点，则 //AM BN 且 AM BN ，
所以四边形 ABNM 为平行四边形， //MN AB 且 MN AB ，
O 为矩形 ABCD 的中心，则O 为 AC 的中点，
第 27 页 共 75 页
因为 M 、 N 分别为 AD 、 BC 的中点，则 //AM CN 且 AM CN ，
所以四边形 AMCN 为平行四边形，所以， AC 、 MN 互相平分，
因为 O 为 AC 的中点，则O 为 MN 的中点，
1PE QF ， 2PQ ， 4EF PQ PE QF AB ，
//PQ AB ，则 //EF AB ，又 //MN AB 且 MN AB ， //EF MN 且 EF MN ，
所以，四边形 EFNM 为平行四边形， //EM FN 且 EM FN ，
R 为 PQ 的中点，且 PE QF ，则 R 为 EF 的中点，
O 为 MN 的中点， //ER OM 且 ER OM ，
所以四边形 EROM 为平行四边形， //EM OR ，
点 R 在底面 ABCD 上的投影为矩形 ABCD 的中心点O ，
则 RO 平面 ABCD ，
EM 平面 ABCD ，
AB 平面 ABCD ， AB EM ，
因为四边形 ABCD 为矩形，则 AB AD ， EM AD M ，
AB 平面 ADE ，
因为 // //AB CD EF 且 AB CD EF ，
所以，几何体 ADE BCF- 为直三棱柱，
EM 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ， EM AD ，
因为四边形 EROM 为平行四边形，
则 1EM OR ， 1 3
2 2ADES AD EM △ ，
3 4 62ADE BCF ADEV S AB △ ， 1 1
3 2P ADE ADEV S PE △ ，
同理可得 1
2Q BCFV ，
因此，楔体 PQ ABCD 的体积为 5PQ ABCD ADE BCF P ADE Q BCFV V V V .
76．【答案】 2
15
【解析】
邪田的广分别为十步和二十步，正从为十步，
第 28 页 共 75 页
邪田的面积为 1 10 20 10 1502
.
又 圭田的广为八步，正从为五步，
圭田的面积为 1 8 5 202
，所求概率 20 2
150 15P .
77．【答案】 64
27
【解析】
设圆锥形容器的底面圆半径为 r ，高为 h ，则圆锥形容器的体积为 21
3V r h ，
当细沙在上部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径为 2
3 r ，高为 2
3 h ，
细沙的体积为
2
2
1
1 2 2 8 1 8
3 3 3 27 3 27V r h r h V
，
当细沙在下部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面半径为 r ，设此时沙堆的高为 1h ，
则 2 21 8 8 1
3 27 27 3r h V r h ，可得 8 8 64827 27 27h h cm .
78．【答案】 10 .
【解析】
由已知和正弦定理得： : : sin :sin :sin 3: 2 2 : 5a b c A B C ，
设 2 2 , 5, 0)3 (t c ta b tt ，
由
2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 21 1 5 9 85 9 124 2 4 2ABC
c a b t t tS c a t t
，
解得 2t ，所以 4 2 2, , 56a b c ，设 ABC 的外接圆的半径为 R ，
由 1 1sin 4 2 2 5sin 122 2ABCS bc A A V ，解得 3 10sin 10A ，
由正弦定理得
6 2sin 3 10
10
a RA
，所以 10R .
第 29 页 共 75 页
79．【答案】 400( 5 2)
【解析】
由条件可知 5 1= 2
S
S S
扇形
圆 扇形
，得 2 5 1
25 1
S S
S
圆 扇形
扇形
,
解得： 5 3 2 3 5= =2 25 3
SS
S S
圆 扇形
圆扇形
，
5 1
2
ABDCS
S
扇环
扇形
，
3 5 5 1= = 5 22 2
ABDC ABDCS S S
S S S
扇形 扇环 扇环
圆 圆扇形
， 2= 20 =400S 圆 ，
400 5 2ABDCS 扇环 .
80．【答案】 2 21 1 10x y
【解析】
直线 AB 的斜率为 4 0 12 2ABk
，线段 AB 的中点为 0,2M ，
所以，线段 AB 的垂直平分线的斜率为 1 1
AB
k k
，
则线段 AB 的垂直平分线方程为 2y x ，即 2 0x y ，
联立 2 0
0
x y
x y
，解得 1
1
x
y
，即 ABC 的外心为 1,1D ，
所以， ABC 的外接圆的半径为 2 22 1 0 1 10r AD ，
因此， ABC 的外接圆方程为 2 21 1 10x y .
81．【答案】 3
3tan54 44
【分析】
第 30 页 共 75 页
利用 DOB 的面积与 BCD△ 的面积比可求 cos 的值.
【解析】
先证明一个结论：如图， ABC 在平面 内的射影为 ABC△ ，C AB C 的平面角为
（ 0, 2
），则 cos ABC
ABC
S
S
.
证明：如图，在平面 内作CE AB ，垂足为 E ，连接 EC ，
因为 ABC 在平面 内的射影为 ABC△ ，故 CC ，
因为 AB ，故CC AB ，
因为 CE AB E ，故 AB 平面 ECC .
因为 EC 平面 ECC ，故C E AB ，
所以 CEC 为二面角的平面角，
所以 CEC .
在直角三角形 CEC中， cos cos ABC
ABC
SECCEC EC S
.
由题设中的第二图可得： cos DBO
DBC
S
S
V
V
.
设正六边形的边长为 a ，则 2 21 3 3
2 2 4DBCS a a V ，
如图，在 DBO 中，取 BD 的中点为W ，连接OW ，则OW BD ，
且 3BD a ， 109 28BOD ，故 3 1
2 tan54 44OW a
，
故 21 3 1 3 132 2 tan54 44 4 tan54 44DBOS a a a V ，
故 3cos 3tan54 44
.
第 31 页 共 75 页
故答案为： 3
3tan54 44
.
82．【答案】 1
32
【解析】
由题知：一个八度 13 个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
可以将每个音的频率看作等比数列{ }na ，一共 13 项，且
1
n
n
a qa
，
最后一个音是最初那个音的频率的 2 倍，
13 12a a ， 12 12
1 12 2a q a q ，
116
4 122 1 1 33
2
1 3 1
2f a a q q qf a a q
，
1
2 3
1
2f
f
．
83．【答案】 297
14
【解析】
如下图所示：
第 32 页 共 75 页
在正四棱锥 P ABCD 中，设 M 为底面正方形 ABCD 的对角线的交点，
则 PM 底面 ABCD ，由题意可得 21PM ， 30AB ， 2 30 2BD AB ，
则 15 2BM ，
设该球的半径为 R ，设球心为O ，则O PM ，
由勾股定理可得 2 2 2OB OM BM ，
即 222 21 15 2R R ，解得 297
14R .
84．【答案】 2
3
【解析】
设球的半径为 r ，则由题意可得球的表面积为 2 24 63r ，∴ 1r ，
∴圆柱的底面半径为1，高为 2 ，
∴最多可以注入的水的体积为 2 34 21 2 13 3
.
85．【答案】 1
36
【解析】
由题意知“打马”游戏每轮的走法共有 6 6 6 种，抛出“夹七”的走法有 1
3C 种，抛出“夹八”
的走法有 1
3C 种，所以能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率
1 1
3 3
3
C C 1
6 36P .
第 33 页 共 75 页
86．【答案】 3 33 2
【解析】
如图，过 O 点作OE AB ，
由题意知 ABO 是等边三角形，
∴ 1OA OB AB ， 1
2AE BE ， 3
2EO .
∴ 1
1 3 3 36 12 2 2S .
如图，过点 D 作 DF CO ，
由题意知 30COD ， 1CO OD ，则 1
2FD .
∴ 2
1 112 1 32 2S .
∴ 2 1
3 33 2S S .
故答案为： 3 33 2
87．【答案】 2 1
【解析】
第 34 页 共 75 页
由题意， 2A A B
B A
即 2A B
B A
，
设 1Am B
，则 12m m
即 2 2 1 0m m ，
解得 2 1m = 或 1 2m （舍去），
所以 2 1 .
88．【答案】 15
32
【解析】
设大圆面积为 1S ，小圆面积 2S ，则 2
1 4 16S ， 2
2 1S ，
可得黑色区域的面积为 1 2
1 15
2 2S S ，
所以落在黑色区域的概率为 1 2
1
1
152
32
S S
P S
.
89．【答案】317
【解析】
如图，设圆半径为 r 寸（下面长度单位都是寸），连接 ,OA OD ，已知 1 52AD AB ，
1OD OC CD r ，
在 Rt ADO 中， 2 2 2AD OD OA+ = ，即 2 2 25 ( 1)r r ，解得 13r ，
由 5sin 13
ADAOD AO
得 22.5AOD ，所以 45AOB ，
图中阴影部分面积为 S S 扇形 2 14 13 10 12 6.33252 2AOBS
△
（平方寸），
镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体，
所以其体积为 6.3325 50 317V Sh （立方寸）
故答案为：317．
第 35 页 共 75 页
90．【答案】 2 1
【解析】
作出该图形的一个最大的水平截面正八边形 ABCDEFGH ，如图，其八个顶点都在边长为
1 的正方形上，设“半正多面体”棱长为 a ，则 2 2 12 a a ，解得 2 1a ，
故答案为： 2 1 ．
91．【答案】三分鹿之一
【解析】
显然 5 人所得依次成等差数列，
设公士所得为 x ，则
55( )3 52
x
，
解得 1
3x ．
故答案为：三分鹿之一.
92． 288
第 36 页 共 75 页
【分析】
设这个正四棱锥为 P ABCD ，球O 的半径为 R ，则 8AB ， 1 8PO ，在直角三角形
1OO C 中，根据勾股定理可求得 12R ，再根据球的体积公式可得结果.
【解析】
设这个正四棱锥为 P ABCD ，如图：
则 8AB ， 1 8PO ，设球O 的半径为 R ，则OC OP R ，
在直角三角形 1OO C 中， 1 4 2O C ，所以 2 2 2
1 1OO O C OC ，
所以 2 2 2(8 ) (4 2)R R ，解得 6R ，
所以球O 的体积是 3 34 4 6 2883 3R 立方尺.
93．【答案】12
【解析】
根据使用的色彩分类：
（1）只用一种颜色，共有 1
2 2C 种情况；
（2）使用两种颜色，可分 2 步：选一种颜色涂小正方形，有 1
2 2C 种选法，由于对称性，
剩下四个直角三角形的涂法有 5 种情形（四个直角三角形与小正方形不同色，有 1 种；四个
直角三角形有一个与小正方形同色，有 1 种；四个直角三角形有 2 个与小正方形同色，有相
邻和相对位置之分，共 2 种；四个直角三角形有 3 个与小正方形同色，有 1 种），所以用两
种颜色共有 1
2 5 10C 种情况，
所以，一共可以绘制备选的会徽图案数为 12 种.
第 37 页 共 75 页
94．【答案】 44
【解析】
按每一位算筹的根数分类一共有15 种情况，分别为 5,0,0 、 4,1,0 、 4,0,1 、 3,2,0 、
3,1,1 、 3,0,2 、 2,3,0 、 2,2,1 、 2,1,2 、 2,0,3 、 1,4,0 、 1,3,1 、 1,2,2 、
1,1,3 、 1,0,4 ，
2 根或 2 根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，得上面情况能表示的三
位数字个数分别为： 2 、 2 、 2 、 4 、 2 、 4 、 4 、 4 、 4 、 4 、 2 、 2 、 4 、 2 、 2 ，
根据分类加法计数原理，得 5 根算筹能表示的三位数字个数为：
2 2 2 4 2 4 4 4 4 4 2 2 4 2 2 44 .
95．【答案】8
【解析】
因为鳖臑 1 1A BCC 外接球的直径为 1 5A B ，
又因为 1 3AA ，所以 2 24AB AC BC ，
即 2 216 2AC BC AC BC ，
所以 8AC BC ，
所以阳马 1 1 1A BCC B 的体积为 1 1 1 1
1 1 83 3V BC BB AC AC BC AA .
所以阳马 1 1 1A BCC B 体积的最大值为8 .
96．【答案】3 1 2
2
c l l
【解析】
（1）设内圆的半径为 1r ，外圆的半径为 2r ．
由题意知 2 1 5r r ， 12 92r ， 22 122r ，
则 2 12 30r r ，解得 3 ．
（2）由题意知 1 12 r l ，则 1
1 2
lr ，
第 38 页 共 75 页
内圆的面积为
2
2 1
1 4
lr ，同理外圆的面积为
2
2
4
l
．
又 2 1 2 12 2r r c l l ，
所以该环形田的面积为 2 2
1 2 1 22 1 2
4 4 4 2
c l l c l ll l
．
97．【答案】 6 6 5
7
【解析】
由题意 2 25 25c ， 2 2 497a ， 2 2 366b ，
所以
21 49 25 3625 49 6 64 2S
；
设最小角为 0, 2
，则 1 6 7sin 6 62S ，
解得 2 6sin 7
，
所以 2 5cos 1 sin 7
.
98．【答案】10 165
【解析】
由题意该“三角垛”的第四层物体数为1 2 3 4 10 ，
物体总数为 9
1 9 10 11 1656S .
99．【答案】 214 y (0 1)y
12
【解析】
由 2y x= ，得 2y x ，所以直线 l 的斜率 2 1 2k ，
所以直线 l 的方程为 1 2( 1)y x ，即 2 1y x ，
第 39 页 共 75 页
所以 2 21
2
yS y
214 y (0 1)y .
将一个底面半径为 1
2
，高为1的圆锥的底面与几何体为 的底面放在同一水平面上，则过
0, 0 1y y 的水平截面截圆锥所得截面的半径为 1
2
y (0 1)y ，截面面积为
214 y (0 1)y ,根据祖暅原理可知，该圆锥与几何体 的体积相等，
所以几何体 的体积为
21 113 2 12
.
100．【答案】 y x ； 1
2019
【解析】函数 ln 1f x x
则 1' 1f x x
，∴ 0 1f ，故切线为 y x ．
∴ 1 1ln 2020 ln 2019 ln 1 2019 2019f
，
根据以直代曲， 1
2019x 也非常接近切点 0x ．
所以可以将 1
2019x 代入切线近似代替 1
2019f
，即 1 1
2019 2019f
．
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