26.2 二次函数的图象与性质
2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质
第 2 课时 二次函数 y=a(x-h)2 的图象与性质
学习目标：
1.会画二次函数 y=a(x-h)2 的图象.（重点）
2.掌握二次函数 y=a(x-h) 2 的性质.(难点）
3.比较函数 y=ax2 与 y=a(x-h) 2 的联系.
自主学习
一、知识链接
1.将直线 y=2x 向右平移 1 个单位，新直线的表达式为____________________.
2.抛物线 y=ax2+k(a＜0，k＞0)的开口向______,对称轴为____________,顶点坐标为___________.将抛物线
y=ax2 向_____平移______个单位，可得到抛物线 y=ax2+k.
思考：二次函数 y=a(x-h)2 的图象能否由 y=ax2 的图象通过平移得到?
二、新知预习
在如图①所示的直角坐标系中，画出函数 y=2x2 和 y=2(x-1)2 的图象．
（1）列表:
x ··· -2 -1 0 1 2 ···
y=2x2 ··· ···
y=2(x-1)2 ··· ···
（2）描点、连线，画出这两个函数的图象．
观 察 根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．
x 开口方向 对称轴 顶点坐标 图①
y=2x2
y=2(x-1)2
思 考 这两个函数的图象之间有什么关系？
概 括 （1）通过观察、分析，可以发现：函数 y＝2（x－1）2 与 y＝2x2 的图象，开口方向相同，但对称
轴和顶点坐标不同．
函数 y＝2（x－1）2 的图象可以看作是将函数 y＝2x2 的图象向_____平移_____个单位得到的．它的
对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
（2）可以由函数 y＝2x2 的性质，得到函数 y＝2（x－1）2 的性质：
当______时，函数值随 x 的增大而减小；当_____时，函数值随 x 的增大而增大；当_____时，函数取
得最______值，最______值 y＝______．
合作探究
一、要点探究
探究点 1：二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
问题 在图②所示的坐标系中画出二次函数 2( 1)y x ， 2( 1)y x 的图象，并分别指出它们的开口
方向、对称轴和顶点坐标.
想一想 通过上述例子，函数y=a(x-h)2 的性质是什么？
【要点归纳】二次函数y=a(x-h)2(≠0)的性质
当a＞0 时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，有最小值为 0.当x＜h
图②
时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当a＜0 时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，有最大值为 0.当x＜h
时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.
【典例精析】
例 1 已知二次函数 y＝ 1
2
（x﹣1）2.
（1）完成下表；
x … -1 0 1 2 3 …
y＝ 1
2
（x﹣1）2 … …
（2）在图③所示的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（4）当x取何值时，y随x的增大而增大？
（5）若 3≤x≤5，求y的取值范围；
想一想：若-1≤x≤5，求x的取值范围；
（6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜1，试比较y1 与y2 的大小．
图③
探究点 2：二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2 的关系
问题 在图②中画出y=-x2 的图象，比较二次函数 2( 1)y x ，y=-x2， 2( 1)y x 的图象，说一说他们
之间有什么关系.
【要点归纳】二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2 的关系
y=ax2 向右平移 h（h>0）个单位得到y=a(x-h)2；
y=ax2 向左平移 h（h>0）个单位得到y=a(x+h)2.
左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.
【典例精析】
例 2 将抛物线 y=
2
1 x2 向左平移 2 个单位后，得到的新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝
2
1 (x+2)2 B．y=
2
1 x2+2 C．y=
2
1 (x−2)2 D．y=
2
1 x2−2
【针对训练】由抛物线 y=x2 平移得到抛物线 y=（x-3）2，则下列平移方式可行的是（ ）
A．向上平移 3 个单位 B．向下平移 3 个单位
B．向左平移 3 个单位 D．向右平移 3 个单位
例 3 已知二次函数 y= 1
3
x2，将其图象向右平移，使图象过点（1，3），求平移后的抛物线的表达式.
【针对训练】将抛物线 2axy 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点
（1，-6），求 a 的值．
二、课堂小结
当堂检测
1. 抛物线 y=（x+1）2 的对称轴是（ ）
A．直线 y=-1 B．直线 y=1 C．直线 x=-1 D．直线 x=1
2.已知二次函数 y= -（x-3）2，那么这个二次函数的图象有（ ）
A．最高点（3，0） B．最高点（-3，0）
C．最低点（3，0） D．最低点（-3，0）
3.把函数 y=-3x2 的图象向右平移 2 个单位，所得到的新函数的表达式是（ ）
A．y=-3x2-2 B．y=-3（x-2）2 C．y=-3x2+2 D．y=-3（x+2）2
4.已知函数 y=-（x-2）2 的图象上两点 A（a，y1），B（1，y2），其中 a＜1，则 y1 与 y2 的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法判断
5.抛物线 y=a（x+h）2 的顶点为（2，0），它的形状与 y=3x2 相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的表达式；
（2）求抛物线与 y 轴的交点坐标．
二次函数 y=a(x－
h)2(a≠0)的图象和
性质
图象的特
点
a>0
开口向_____，
对称轴是_________，
顶点坐标是_________.
当 x______时，y 随 x 的增大而增大，
当 x______时，y 随 x 的增大而减小
a
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