26.1 二次函数
学习目标：
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）
2.会利用二次函数的概念解决相关问题.
3.能从实际问题中抽象出二次函数模型.（难点）
自主学习
一、知识链接
1.（1）若在一个变化过程中有两个变量x 和y，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么
就说y 是x 的_________，x 叫做______________.
（2）形如y=_____________(______≠0)的函数是一次函数，当b= 0 时，它是_______________函数；形如
y=_____________(______≠0)的函数是反比例函数.
2.用含 a 的代数式填空：
（1）矩形 ABCD 的宽为 a cm,长比宽的 2 倍多 1 cm,则矩形的长为______________cm,矩形的面积
S=_____________cm2；
（2）某商店销售一种水果，进价为 3 元/kg，售价为 a 元/kg,每天可销售 20 kg,则一天的销售额为
___________元，利润为____________元.
二、新知预习
（预习课本 P2-4）填空并完成练习：
形如 y=___________________(a,b,c 是常数，____≠0）的函数叫做二次函数.
练习：下列函数中，是二次函数的有______________(填序号）：
①S=2x2-x+3;②y-x2=0；③y=x2+ 1
x ;④y=ax2+bx+c;⑤y=(x+2)(x-2)-x2.
合作探究
一、要点探究
探究点 1：二次函数的定义
问题 1：如图，总长为 20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样
围才能使花圃的面积最大？
（1）填表：
AB 的长 x(m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC 的长(m） 12
面积 y(m2) 48
（2）设矩形花圃的垂直于墙的一边 AB 的长为 x m，则 BC 的长为___________m（用含 x 的代数式表示）;
（3）x 的取值范围为_______________________;
（4）我们发现，当 AB 的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，即 y 是 x 的函数，试写出这个
函数的关系式:_____________________.
问题 2 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出约 100 件．该店想通过降低售
价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加约
10 件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
(1)设每件商品降价 x 元，则一天的销量增加______件，一天的销量为___________件（用含 x 的代数式表
示）此时每件商品的售价为________元，每件商品的利润为_________元；
(2)写出 x 的取值范围：_______________________;
(3)设每天的利润为 y 元，易知 y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式:_____________________.
思考：观察所得的两个函数关系式，他们有什么共同点？
它们都是用自变量的 来表示的．
【要点归纳】二次函数的概念：
形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．ax2 叫做二次项，a 为二次项系数；bx 叫
做一次项， b 为一次项系数；c 为常数项 ,
注意：（1）关系式都是整式；（2）自变量的最高次数是二次；（3）二次项系数不等于零.
【典例精析】
例 1 当函数 y=（a-1）x 2+bx+c 是二次函数时，a 的取值为（ ）
A．a=1 B．a=-1 C．a≠-1 D．a≠1
【针对训练】当 m 取哪些值时，函数 y=(m2-m)x2+mx+m+1 是以 x 为自变量的二次函数？
易错提醒：解决此类问题需要注意二次项系数 a≠0 这一限制条件.
探究点 2：从实际问题中抽象出二次函数模型
例 2 如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，
设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米．
（1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为 9 米，求此时自变量 x 的取值范围．
分析 ：根据题意和图形，可得两个等量关系：
①S=AB× ;②BC+ AB=24.
则当 AB=x 时，BC= ；
由 AB＞0 可知 x ;由_______＞0 可知 x＜ .
易错提醒：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围
【针对训练】写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出圆的面积 y（cm2）与它的直径 x（cm）之间的函数关系式；
（2）菱形的两条对角线的和为 26 cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长 x（cm）之间的函数关系式．
二、课堂小结
二次函数的定义
形式 相关概念 判别方式
y=__________(a≠0，
a，b，c 是常数)
ax2 叫做 ， 为二次项系
数；bx 叫做 ，___为一次
右边是整式；
自变量的最高次数是 2；
项系数；c 为 . 二次项系数不等于 0.
从实际问题中抽
象二次函数模型
①找：找等量关系；
②列：用含自变量的代数式表示相关量，再根据等量关系列出函数关系式；
③定：确定自变量的取值范围
当堂检测
1. 下列函数中是二次函数的是（ ）
A.y= 2
1
x B.y=（x+3）2-x2 C．y= 2 2 1x x D.y=x（x-1）
2.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放 a 个垃圾桶，计划第三个月投放垃
圾桶 y 个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为 x，那么 y 与 x 的函数
关系式是（ ）
A．y=a（1+x）2 B．y=a（1-x）2 C．y=（1-x）2+a D．y=x2+a
3.某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价
为 x 元，则可卖出（350-10x）件，销售这批商品所得利润 y（元）与售价 x（元/件）的函数
关系式为 .
4.已知 y=（m-2） 2m mx +3x+6 是二次函数，求出它的表达式，并写出其二次项系数、一次项系数及常
数项．
5. 某批发市场批发某种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润
y（万元）与进货量 x（吨）近似满足函数关系 y=ax2+bx（其中 a≠0，a，b 为常数，x≥0），且进货量 x 为
1 吨时，销售利润 y 为 1.4 万元；进货量 x 为 2 吨时，销售利润 y 为 2.6 万元．求 y（万元）与 x（吨）之
间的函数关系式．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.（1）函数 自变量 （2）kx+b k 正比例 k
x
k
2.(1)(2a+1) a(2a+1) (2)20a 20（a-3）
二、新知预习
ax2+bx+c a
练习：①②
合作探究
一、要点探究
探究点 1：二次函数的定义
问题 1 （1）填表如下：
AB 的长 x(m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC 的长(m） 18 16 14 12 10 8 6 4 2
面积 y(m2) 18 32 42 48 50 48 42 32 18
（2）（20-2x）
（3） 0＜x＜10
（4）y=x（20-2x）=-2x2+20x(0＜x＜10)
问题 2 （1）100x （100+100x） (10-x) (10-x-8)
(2)0≤x≤2
（3）y= (10-x-8)（100+100x）=-100x2+100x+200(0≤x≤2)
思考 二次整式
【典例精析】例 1 D
【针对训练】解：由题意得 m2-m≠0，则 m≠0 且 m≠1.
探究点 2：从实际问题中抽象出二次函数模型
【典例精析】例 2 分析：BC（或 AD） 3 24-3x ＞0 BC 8
解：（1）S=BC×AB=（24-3x）x=-3x 2+24x.由题意得 24-3x＞0，解得 x＜8，则自变量 x 的取
值范围为 0＜x＜8.
（2）由题意得 24-3x≤9，解得 x≥5.由（1）知 0＜x＜8，则 5≤x＜8．
【针对训练】 解：（1）y= 2π
4 x ,二次函数.
（2）S= 1 (26 )2 x x ，二次函数.
二、课堂小结
ax2+bx+c 二次项 a 一次项 b 常数项
当堂检测
1.D 2.A 3.y=-10x2+560x-7350
4.解：由题意可知
2 2,
2 0,
m m
m
解得 m=-1.当 m=-1 时，二次函数为 y=-3x2+3x+6，其二次项系数为-3，
一次项系数为 3，常数项为 6.
5.解：由题意得 1.4,
4 2 2.6,
a b
a b
解得 0.1,
1.5.
a
b
∴y（万元）与 x（吨）之间的函数关系式为
y=-0.1x2+1.5x．
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