华东师大版八年级数学下册导学案：19.1.1矩形的性质

第 19 章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩 形 1.矩形的性质 学习目标：1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系； 2.探索并证明矩形的特殊性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 自主学习 一、知识链接 1.平行四边形的定义是什么？它有哪些性质？ 2．用四根木条做的平行四边形有稳定性吗？ 二、新知预习 1.如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在桌面上轻轻地拉动点 D，你会发现什么? 问题 1：无论∠D 如何变化，四边形 ABCD 还是平行四边形吗？ 问题 2：当∠D 为直角时，四边形 ABCD 变成了一个怎样的四边形？ 于是有矩形定义：有一个角是 的平行四边形是矩形，矩形是特殊的 . 问题 3.矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有什么特殊的性质？ 【对称性】：矩形既中心对称图形，又是 图形； 【 边 】：矩形的对边平行且相等； 【 角 】：矩形的对角相等，且四个角都是 ； 【对角线】：矩形的对角线 且相互平分. 合作探究 一、探究过程 探究点 1：矩形的性质定理 1,2 问题 1：如图,四边形 ABCD 是矩形,∠B=90°. 求证： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC. ∴∠B+∠C=_____°. 又∵∠B = 90°,∴∠C =____°. ∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°. 问题 2：如图,四边形 ABCD 是矩形,∠ABC=90°,对角线 AC 与 DB 相交于点 O.求证：AC=DB. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°, 在△ABC 和△DCB 中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,∴△ABC____△DCB. ∴AC____DB. 【要点归纳】矩形的性质定理：1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________. 几何语言描述：在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，则 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB（延伸：OA=OB =OC=OD= 2 1 AC= 2 1 BD）. 例 1 如图，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是 86 cm，矩形的对 角线长是 13 cm，那么该矩形的周长是多少？ 【针对训练】1.已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求矩形对角 线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这 个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求． 探究点 2：矩形的性质与其他知识的综合运用 例 2 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC，垂足为点 E.试求 BE 的长． 例 3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直平分线段 BO，垂足为点 E，BD＝15 cm.求 AC、AB 的长． 二、课堂小结 矩行的性质定理 1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________. 解题策略 结合等腰（边）三角形、勾股定理等知识解题 当堂检测 1.矩形具有，而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.如图，在矩形 ABCD 中，对角线交于点 O，若 AB=6，AD=8，则 AC＝_____ ，OB=_____. A B C D O 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40°，则两对角线所夹锐角度数为 . 4.如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的_________. 5．已知：如图，E 为矩形 ABCD 内一点，且 EB=EC.求证：EA=ED. A B C D E 6. 已知：如图，O 是矩形 ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.解：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 性质：(1)平行四边形的对边相等；(2) 平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分. 2. 没有稳定性. 二、新知预习 1.解：问题 1：四边形 ABCD 还是平行四边形. 问题 2：四边形 ABCD 变成了一个长方形，即矩形. 直角 平行四边形 问题 3：轴对称 90° 相等 合作探究 一、探究过程 探究点 1： 问题 1：= = ∥ 180 90 90 问题 2：= 90 ≌ = 【要点归纳】直角 相等 【典例精析】 例 1 解：∵△AOB、△BOC、△COD 和△AOD 四个小三角形周长的和为 86 cm， ∴AB＋BC＋CD＋DA＋2(OA＋OB＋OC＋OD)＝AB＋BC＋CD＋DA＋2(AC＋BD)＝86， 又∵AC＝BD＝13，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)， 即矩形 ABCD 的周长等于 34 cm. 【针对训练】1.解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC 与 BD 相等且互相平分，∴OA＝OB， 又∠AOB＝60°，∴△OAB 是等边三角形.∴矩形的对角线长 AC＝BD＝2OA＝2AB=2×4＝8(cm)． 例 2 解：在矩形 ABCD 中，∠ABC＝90°，∴AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋42＝ 25＝5. 又∵S△ABC＝1 2AB·BC＝1 2AC·BE，∴BE＝AB·BC AC ＝3×4 5 ＝2.4. 例 3 解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC＝BD＝15.∴AO＝1 2AC＝7.5.∵AE 垂直平分 BO，∴AB＝AO＝7.5. 即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm. 二、课堂小结 1.直角 2.相等 当堂检测 1. A 2. 10 5 3. 80° 4. 1 4 5. 证明：在矩形 ABCD 中，AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.∴∠ABE=∠DCE. ∴△ABE≌△DCE(SAS). ∴EA=ED. 6. 解 ： ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， ∴∠BAD=∠ABC=90° ， AC=BD,AO=BO.∵∠AOD=120° ， ∴∠AOB=60°.∴△AOB 为等边三角形，∠BAO=∠ABO=60°，AB=AO=BO.∵AE 平分∠BAD，∴∠BAE=45°， 即△ABE 为等腰直角三角形，∠BEA=45°，AB=BE.∴BO=BE.∴∠BOE=∠BEO.在△BOE 中， ∠OBE=90°-60°=30°，∴∠BEO=∠BOE=75°.∴∠AEO=∠BEO-∠BEA=75°-45°=30°.