华东师大版八年级数学下册导学案：17.4.2反比例函数的图象和性质

2.反比例函数的图象与性质 学习目标：1.会利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线. 2.通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质. 3.会用待定系数法求反比例函数的表达式. 自主学习 一、知识链接 1.正比例函数 xyxy 6,6  图象是什么形状？分别写出各自有怎样的性质？ 2.在直角坐标系中，由函数表达式画函数图象主要的步骤有哪些？ 合作探究 一、探究过程 探究点 1：反比例函数的图象 活动 1:画出反比例函数 6y x  的图象. （1）列表： x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 … 6y x  … … (2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在如图所示的直角坐标系中描出对应的点. （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点，就得到反比例函数 6y x  的图象. 问题 1： （1）反比例函数 6y x  的图象与坐标轴有交点吗？为什么？ （2）仅凭两个点的坐标，能画出反比例函数 6y x  的图象吗？ 活动 2：画出反比例函数 xy 6 的图象． 问题 2：（1）这个函数的图象在哪两个象限？和函数 6y x  的图象有什么不同？ （2）反比例函数 x ky  (k≠0)的图象在哪两个象限内？ 【要点归纳】反比例函数 x ky  （k 为常数，且 k≠0）的图象由分别位于______个象限内的_____条曲线组 成，这样的曲线叫做双曲线.当 k＞0 时，函数的图象在第______象限；当 k＜0 时，函数的图象在第______ 象限. 例 1 若反比例函数 22( 1) my m x -= + 的图象在第二、四象限，求 m 的值． 【针对训练】若双曲线 y＝2k－1 x 的两个分支分别在第一、三象限，则 k 的取值范围是（ ） A.k＞1 2 B.k＜1 2 C.k＝1 2 D.不存在 探究点 2：反比例函数的性质 思考：联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量 x 的增加，函数 y 将怎样变化？有什 么规律？ 【要点归纳】反比例函数 x ky  有下列性质：(1)当 k＞0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内， 曲线从左向右下降，也就是在每个象限内 y 随 x 的增大而减少； (2)当 k＜0 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内 y 随 x 的增大而增大． 例 2 已知函数 23)2( mxmy  为反比例函数． (1)求 m 的值； (2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随 x 的增大如何变化？ (3)当－3≤x≤ 2 1 时，求此函数的最大值和最小值． 例 3 在反比例函数 y＝1 x 的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若 x1＞x2＞0＞x3，则下列各 式正确的是（ ） A.y3＞y1＞y2 B.y3＞y2＞y1 C.y2＞y1＞y3 D.y1＞y3＞y2 【方法总结】此题有多种解法，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多 选择题都很有效，要注意学会使用. 【针对训练】若点 A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数 ky x  （k＜0）图象上，则 a、b、 c 从大到小排列是 . 探究点 3：求反比例函数的表达式 例 4 已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的表达式； (2)若点 A(－5,m)在图象上，则点 A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 【针对训练】已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＝－4 时，y＝3. (1)写出 y 与 x 的函数表达式； (2)当 x＝－2 时，求 y 的值； (3)当 y＝12 时，求 x 的值． 【方法总结】(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为 y＝k x(k≠0)，然后再求出 k 值；(2) 当反比例函数的表达式 y＝k x(k≠0)确定以后，已知 x(或 y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的 y(或 x) 的值． 探究点 4：反比例函数表达式中 k 的几何意义 操作：1. 在反比例函数 xy 4 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的 矩形. 填写下列 表格： S1 的值 S2 的值 S1 与 S2 的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 P (2，2) ，Q (4，1) 2. 若在反比例函数 xy 4 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： S1 的值 S2 的值 S1 与 S2 的关系 猜想与 k 的关系 P (－1，4)，Q (－2，2) 猜想：证明：若点 P 是反比例函数 x ky  图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴， 矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOBP=|k|. 【方法总结】对于反比例函数 x ky  ，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直 于 x 轴，矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOBQ= |k|. 推理：如图，△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= 2 k . 例 5 如图，点 A 在反比例函数 x ky  的图象上，AC 垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，则该反比 例函数的表达式为 ． 二、课堂小结 反比例函数的图象和性质 图象和 性质 k>0 时，图象位于第_______象限，在每个象限 内，y 随 x 的增大而_____. k 时， y 随 x 的增大而增大 D．当 0x < 时， y 随 x 的增大而减小 3 . 已 知 点 A （ 1 1x y， ） 、 B （ 2 2x y， ） 是 反 比 例 函 数 x ky  （ 0k ） 图 象 上 的 两 点 ， 若 21 0 xx  ，则( ) A． 21 0 yy  B． 12 0 yy  C． 021  yy D． 012  yy 4.在反比例函数 3ky x  图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 . 5.若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 6.反比例函数 y ＝k x(k≠0)，当 x 的值由 4 增加到 6 时，y 的值减少 3，求这个反比例函数的表达式． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.解：正比例函数 y=6x，y=-6x 的图象都是一条过原点的直线. y=6x，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；y=-6x，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小. 2.解：列表，描点，连线. 二、新知预习 合作探究 一、探究过程 探究点 1：反比例函数的图象 活动 1:解：(1)从左到右依次填：-1，-2，-3，-6,6,3,2,1. （2）略 （3）图略 问题 1：解：（1）没有.因为 x 和 y 均不能为 0. （2）不能，因为反比例函数的图象不是一条直线. 活动 2: 图略 问题 2：解：（1）这个函数的图象在第二、四象限. 和函数 6y x  的图象形状相同，位置不同. (2)当 k>0 时，图象在第一、三象限；当 kc 探究点 3：求反比例函数的表达式 例 4 解：(1) ky x = ，将(1,－2)代入，得-2=k，则函数表达式为 2y x = - . (2) 当 x=-5 时，y= 2 5 ，即 A(-5， 2 5 ).点 A 关于 x 轴和 y 轴对称的点不在图象上，关于原点对称的点在图象 上，坐标为(5，- 2 5 ). 【针对训练】 解：(1) 12.y x = - (2) y=6. (3) x=-1. 探究点 4：反比例函数表达式中 k 的几何意义 操作：1. 从左到右依次填：4 4 S1=S2 S1=S2=k 2. 从左到右依次填：4 4 S1=S2 S1=S2=-k 猜想：证明 ：我们就 k < 0 的情况给出证明： 解：设点 P 的坐标为 (a，b)，∵点 P (a，b) 在函数 x ky  的图象上，∴ a kb  ，即 ab=k. 若点 P 在第二象限，则 a0，∴ S 矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点 P 在第四象限，则 a>0， b3 5. 3 3y yx x   或 6. 当 x＝4 时，y＝k 4 ；当 x＝6 时，y＝k 6 ；∵当 x 的值由 4 增加到 6 时，y 的值减少 3，∴k 4 －k 6 ＝3，解得 k ＝36.∴这个反比例函数的表达式为 y＝36 x .