华东师大版八年级数学下册导学案：18.1第3课时平行四边形的性质定理3

第 3 课时 平行四边形的性质定理 3 学习目标：1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．（重点） 2.能综合运用平行四边形的性质，解决与平行四边形有关的计算问题和简单的证明题． 自主学习 一、知识链接 1.你能说出平行四边形边、角的特征吗？ 平行四边形的对边互相_________且_______; 平行四边形的对角________，邻角________. 二、新知预习 1. 按课本 73 页的“探索”方法进行操作，画出这两个平行四边形的对角线.思考： （1）从这个实验中得出的结论与前面的结论一致吗？ （2）线段 OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系（如下图）？由此你能发现平行四边形的对角线有什么性质？ 2.已知：如图,ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD___BC，AD___BC, ∴ ∠1___∠2，∠3___∠4, ∴ △AOD___△COB（______）, ∴ OA____OC，OB____OD. 【要点归纳】平行四边形的性质定理 3:平行四边形的对角线互相_________. 合作探究 一、探究过程 探究点 1：平行四边形的对角线互相平分 例 1 如图，□ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB＝6，那么对角线 AC 与 BD 的和是多少？ 【针对训练】如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，若 AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC 的周长为 （ ） A.26 B.34 C.40 D.52 例 2 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 与 AB、CD 分别相交于点 E、F. 求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF. 分析：要证明 OE＝OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可．注意观察 OE，OF 分别属于哪两 个三角形. 【变式】若例 2 中的条件都不变，将 EF 转动到图 b 的位置，那么例 2 的结论是否成立？说明理由. 若将 EF 向两方延长，与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图 c 和图 d)，例 2 的结论是否成立， 说明你的理由．(课后完成) 【方法总结】过平行四边形对角线的交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的对 应线段总相等. 二、课堂小结 平行四边形的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 解题策略 1.方程思想；2.整体思想 当堂检测 1.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB⊥AC，若 AB=8，BD=20，则 AC 的长是（ ） A．6 B．10 C．12 D．18 2. □ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，若 AC=8，AB=6，BD=m，那么 m 的取值范围是____________. 3.如图，□ABCD 的对角线相交于点 O，且两条对角线的和为 36 cm，AB 的长为 5 cm，则△OCD 的周长是 _______. 4.如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，E、F 分别是 OA、OC 的中点.求证：△OBE≌△ODF. F E O D C A B 5.你能画一条直线将一个平行四边形分成形状和大小完全相同的两部分吗？试一试，这样的直线你能画几 条？ 参考答案 自主学习 一、知识链接 1. 平行 相等 相等 互补 二、新知预习 1. 解：（1）与前面结论一致. (2)OA=OC，OB=OD；平行四边形的对角线互相平分. 2. ∥ = = = ≌ ASA = = 【要点归纳】 平分 合作探究 一、探究过程 例 1 解：在ABCD 中，∵AB＝6，AO＋BO＋AB＝15，∴AO＋BO＝15－6＝9. 又∵AO＝OC，BO＝OD，∴AC＋BD＝2AO＋2BO＝2(AO＋BO)＝2×9＝18. 【针对训练】B 例 2 证明：在ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.又 OA＝OC， ∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF，AE＝CF.∴AB－AE＝CD－CF，即 BE＝DF. 【变式】结论成立. 在图 b、图 c 和图 d 中，仍有△AOE≌△COF(AAS)，则对应边分别相等. 当堂检测 1. C 2. 4