华东师大版八年级数学下册导学案：18.1第2课时平行四边形与邻边有关的计算与证明

第 2 课时 平行四边形与邻边有关的计算与证明 学习目标：1.进一步熟悉平行四边形的性质； 2.能利用平行四边形的性质进行计算和证明. 自主学习 一、知识链接 1．平行四边形的性质定理 1 及性质定理 2 的内容是什么？ 2．平行四边形相邻的两个内角是什么关系？ 合作探究 一、探究过程 探究点 1：利用平行四边形的性质进行计算和证明 【典例精析】 例 1 已知平行四边形的周长是 24，相邻两边的长度相差 4，求该平行四边形相邻两边的长． 分析：由于只知道平行四边形的周长和两边的差，所以可以将其中一边设一个未知数，建立方程来求 解． 【针对训练】1.若平行四边形 ABCD 的周长为 28 cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 【方法总结】已知平行四边形的边角的和差、比例关系，求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四 边形的性质列方程. 例 2 已知：如图，在ABCD 中，∠ADC 的平分线与 AB 相交于点 E.求证：BE＋BC＝CD. 分析：由 CD＝AB＝AE＋BE，而结论为 CD＝BE＋BC，故只需证明 AE＝BC.又 AD＝BC，所以只需证 明 AD＝AE. 所以证明∠ADE＝∠AED 即可． 【针对训练】2.已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC,BF 平分∠ABC.求证:AE=CF. 3.如图，在ABCD 中，点 P 是 CD 边上一点，且 AP 和 BP 平分∠DAB 和∠ABC，若 AD＝5，AP＝8，则 △APB 的周长是__________． 分析：由平行四边形的性质得出 AD∥CB，AB∥CD，得出∠DAB＋∠CBA＝180°，于是可得到∠PAB ＋∠PBA＝90°，所以∠APB＝90°．由勾股定理可以求出 BP 的长，问题得以解决． 二、课堂小结 利用平行四边形的性 质进行计算和证明 解题策略：1.方程思想； 2.等腰三角形的判定和性质，勾股定理等． 当堂检测 1.在平行四边形 ABCD 中，AB=3，AD=1，则平行四边形 ABCD 的周长是（ ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．如图，将ABCD 沿 AE 翻折，使点 B 恰好落在 AD 上的点 F 处，则下列结论不一定成立．．．．．的是( )． A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3. 如图，在ABCD 中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD 于点 E，则∠BCE＝______． 4．如图，在ABCD 中，AE、AF 分别垂直于 BC、CD，垂足为 E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10， 则 CD＝______；AB 与 CD 的距离为______；AD 与 BC 的距离为______；∠D＝______． 5.如图，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,点 M、E、F 分别是 AB、AD、AC 上的点,四边形 BEFM 是平行四边形. 求证：AF=BM. 【拓展提升】 ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成 cm5 ， cm7 的两条线段，则 ABCD 的 周长是__ ___cm． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.解：平行四边形性质定理 1：平行四边形的对边相等；性质定理 2：平行四边形的对角相等． 2.解：互补. 合作探究 一、探究过程 探究点 1： 【典例精析】 例 1 解：如图，设 AB 的长为 x，则 BC 的长为 x＋4.根据题意，得 2(AB＋BC)＝24，即 2(x＋x＋4)＝24， 解得 x＝4. 所以该平行四边形相邻两边的长分别为 4 和 8. 【针对训练】1.解：设 AB 的长为 3x cm，则 BC 的长为 4x cm.根据题意，得 2(AB＋BC)＝28，即 2(3x＋4x) ＝28，解得 x＝2. 则 3x=6，4x=8. 所以该平行四边形相邻两边的长分别为 6 cm 和 8 cm. 例 2 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC.∴∠CDE＝∠AED. 又∵DE 平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE.又∵AD＝BC，∴AE＝BC， ∴BE＋BC＝BE＋AE＝AB＝CD. 【针对训练】2.证明：在平行四边形 ABCD 中，AB=CD，AB∥CD，∠ADC=∠ABC.∵DE 平分∠ADC,BF 平分∠ABC，∴∠AED=∠CDE= 1 2 ∠ADC，∠ABF= 1 2 ∠ABC.∴∠AED=∠ABF.∴DE∥BF.又 DF∥BE，∴ 四边形 DEBF 为平行四边形.∴BE=DF.∴AE=AB-BE=CD-DF=CF. 3. 24 当堂检测 1. D 2. C 3. 25° 4. 6 5 3 30° 5. 证明：设 AE、MF 相交于点 G.在平行四边形 BEFM 中，BM∥EF，BM=EF.∵点 M 在 AB 上，∴AB∥EF， ∠AMG=∠GFE.在△AMG 和△EFG 中，∠AGM=∠EGF，∴∠MAG=∠FEG. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠MAG=∠FAG.∴∠FEG=∠FAG.∴AF=EF. ∴AF=BM. 【拓展提升】 34 或 38