华东师大版八年级数学下册导学案：19.2.1第1课时菱形的性质

19.2 菱形 1.菱形的性质 第 1 课时 菱形的性质 学习目标：1.理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 自主学习 一、知识链接 1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2．平行四边形和矩形之间的关系是什么？ 二、新知预习 自学课本 110-111 例题以上的内容，完成下列问题： 1.我们知道矩形是由平行四边形角的变化得到，如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅 改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 2.菱形的定义：有一组邻边_________的平行四边形叫做菱形. 3.按探究步骤剪下一个四边形: ①所得四边形为什么一定是菱形？ 平行四边形 （ ） ？ ②菱形为什么是轴对称图形？ 有 对称轴. 图中相等的线段有： 图中相等的角有： ③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？ 合作探究 一、探究过程 探究点 1：菱形的性质定理 1,2 问题 1：已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD. 证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB___CD，AD___BC. 又∵AB=AD,∴AB___BC___CD___AD. （2）∵AB = AD, ∴△ABD 是______三角形. 又∵四边形 ABCD 是菱形,∴OB___OD.∴AO___BD，即 AC⊥BD. 【要点归纳】菱形的性质定理 1 菱形的四条边相等． 菱形的性质定理 2 菱形的对角线互相垂直． 例 1 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝2∠B.试求出∠B 的大小，并说明△ABC 是等边三角形． 【针对训练】1.如图，在菱形 ABCD 中,已知∠A＝60°,AB＝5,则△ABD 的周长是 （ ） A.10 B.12 C.15 D.20 例 2 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB＝12 cm，AO＝6 cm，求菱形的周长和两条 对角线长度． 探究点 2：菱形的面积 问题 2：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O,试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S 菱形 ABCD=S△ABC +S△ADC =________+________ =____AC(_____+_____) =_____________. 【要点归纳】菱形的面积 = 底×高 = ___________乘积的一半. 例 3 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12.则菱形 ABCD 的面积为________ . 【针对训练】2. 已知菱形的两条对角线分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高为（ ） A.2.4 cm B.4.8 cm C.5 cm D.9.6 cm 【方法总结】菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与该边到对边的距离的积(即底×高)；(2)四个小直角 三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半． 二、课堂小结 菱形的性质 菱形的性质 边：四条边都相等（对边平行） 角：两组对角分别相等，邻角互补 对角线：两条对角线互相垂直平分； 有关计算 1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半 当堂检测 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC=8，BD=6，则△ABD 的周长等于（ ） A.18 B.16 C.15 D.14 3.根据上图填一填： （1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，那么它的边长是 ______. （2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______. （3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则菱形的边长是_______. （4）菱形的面积为 64cm2，两条对角线的比为 1∶2,则菱形最短的那条对角线长为______. 4.如图,四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形,其中对角线 BD 长 10 cm. 求:(1)对角线 AC 的长度;(2)菱形 ABCD 的面积. 第 2 题图 第 3 题图 参考答案 自主学习 一、知识链接 1. 解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2. 解：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形． 二、新知预习 解：1.菱形 2.相等 3.① 因为所得四边形的四条边都相等. ②因为菱形的四条边都相等，对角线互相垂直. 2 AB=BC=CD=AD ∠A=∠C、∠B=∠D ③性质：四条边都相等；对角线互相垂直. 合作探究 一、探究过程 探究点 1： 问题 1：(1) = = = = = (2) 等腰 = ⊥ 例 1 解：在菱形 ABCD 中，∵∠B＋∠BAD＝180°，∠BAD＝2∠B，∴3∠B＝180°，∴∠B＝60°. 在菱形 ABCD 中，∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC 是等边三角形． 【针对训练】1.C 例 2 解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB=BC，AO=CO.菱形的周长=4AB=48 cm.∵AB＝12 cm，AO＝6 cm， ∴AC=2AO=AB=12 cm.∴△ABC 是等边三角形.∵BD⊥AC，∴BO= 3 OA=6 3 cm，BD=2BO=12 3 cm. 探究点 2： 问题 2： 1 2 AC OB´ 1 2 AC OD´ 1 2 OB+OD 1 2 AC BD´ 【要点归纳】对角线 例 3 120 【针对训练】2.B 当堂检测 1. C 2. B 3. (1) 3 cm (2) 30° (3) 5 cm (4)8 cm 4. 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，∴BD⊥AE，BE= 1 2 BD=5 cm.∴AE= 2 2 12AB BE- = cm. ∴AC=2AE=24 cm. (2)S 菱形 ABCD= 1 2 BD×AC= 1 2 ×10×24=120 (cm2).