湘教版（2012）初中数学八年级下册2.6.1菱形的性质教案

第 2 章《四边形》 2.6.1《菱形的性质》教学设计 【学习目标】 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点） 【学习重点】 探索并证明菱形的性质定理. 【学习难点】 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题. 知识回顾： 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平 行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形. 提问： 同学们知道的特殊的平行四边形还有什么？ 【自主探究】 阅读教材 P65 观察，完成下列内容： 1．菱形与平行四边形的关系是：菱形是特殊的平行四边形． 2．菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 情景导入 生成问题： 活动 1 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 共同点： 它们的邻边也相等． 思考：如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有 一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 呈现定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 标注重点：菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 探究：我们模仿平行四边形性质的探索方法来探究菱形有什么性质吧！ 活动 2 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 平 行 四 边形 矩形有一个角是直角 特殊的平行四边形 填一填 把图 2-50 中的菱形 ABCD 沿直线 DB 对折（即作关于直线 DB 的轴 反射），点 A 的像是 ，点 C 的像是 ，点 D 的像是 ，点 B 的像 是 ，边 AD 的像是 ，边 CD 的像是 ，边 AB 的像是 ， 边 CB 的像是 . 从上述结果看出，在关于直线 DB 的轴反射下，菱形 ABCD 的像与它自身重合.同理，在关 于直线 AC 的轴反射下，菱形 ABCD 的像与它自身重合. 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 【合作探究】 求证：菱形的四条边相等。 菱形的两条对角线互相垂直。 并且每一条对角线平分一组对角。 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； AC 平分∠DAB 和∠DCB 即∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， BD 平分∠ADC 和∠ABC 即∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD（菱形的定义）. 又∵AB = CD，AD = CB , ∴AB = BC = CD =AD. （2）在等腰△DAC 中，又∵AO = CO, ∴BD ⊥ AC BD 平分∠ADC(三线合一)， 同理可证 BD 平分∠ABC AC 平分∠DAB 和∠DCB 知识梳理：菱形的性质 性质 1. 菱形的四条边都相等。 数学语言 ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB=BC=CD=DA 性质 2. 菱形的对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。 数学语言 ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ AC⊥BD OA=OC OB=OD ∴∠1=∠2 =∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 归纳总结 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有 的特殊性质. A B CO D A D C B O 2 7 8 1 34 5 6 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 对称性： 是轴对称图形. 角： 对角相等. 边： 四条边都相等. 边： 对边平行且相等. 对角线： 互相垂直，且每条对角线平分 一组对角. 对角线： 相互平分. 活动 3 思考菱形面积的计算方法 问题 1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形 ABCD 的 面积? 能.过点 A 作 AE⊥BC 于点 E, 则 S 菱形 ABCD=底×高 =BC·AE. 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢? 问题 2 如上图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O,试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S 菱形 ABCD=S△ABC +S△ADC = 2 1 AC·BO+ 2 1 AC·DO = 2 1 AC(BO+DO) = 2 1 AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 归纳： 菱形的面积计算有如下方法： (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； (3)两条对角线长度乘积的一半． 【合作探究】 例 1 如图 2-51，菱形 ABCD 的两条对角线 AC， BD 的长度分别为 4cm，3cm，求菱形 ABCD 的面积和周长. A B C D E O 解 菱形 ABCD 的面积为 S= 2 1 •AC•BD 21 = 4 3 = 6 cm .2S × × ( ) 在直角三角形 ABO 中， 1 1 = = 4 = 2(cm) 2 2 1 1 = = 3 = 1.5(cm) 2 2 OA AC OB BD × , × , 从而 AB = 2.5(cm). 【知识再现】 1 个定义 一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 个公式 高底菱形 S 对角线乘积的一半菱形 S 3 个特性 特在边、角、对角线 【课后反思 查漏补缺】 1．收获： ________________________________________________________________________ 2．存在困惑： _________________________________________________________________ __ 所以 AB2=OA2+OB2=22+1.52=6.25.