人教版数学九年级上册学案21.3《实际问题与一元二次方程》(含答案)

21.3 实际问题与一元二次方程（第 1 课时） 导学探究 阅读教材，回答下列问题: 1.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染 3 个人. (1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一 轮传染后，共有_______人患了流感. (2)在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传 染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感. 2.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染 x 个人. (1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一 轮传染后，共有_______人患了流感. (2)在第二轮传染中，传染源是______人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新 传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感. 3.回忆、类比:用一元一次方程解决问题有哪些步骤?关键是什么? 你能类比出用一元 二次方程解决问题的步骤吗? 归纳梳理 1.列一元二次方程解应用题的步骤: 审、设 、找、列、解、检、答. 2.循环比赛问题: (1)若 n(n≥2)支球队进行单循环比赛(每两支球队之间只比赛一场)，一共需要进行 _______场比赛; (2)若 n(n≥2)支球队进行双循环比赛(每两支球队之间主客场比赛两场)，一共需要进 行________场比赛. 典例探究 【例 1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒， 传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共 有 121 人受到感染， （1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？ 总结： 传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播. 解决此类问题的关键是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数． 练 1．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的 传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡 议书之后，又邀请 n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共 有 111 人参与了传播活动，则 n 的值是多少？ 21.3 实际问题与一元二次方程（第二课时） 导学探究 阅读教材，回答下列问题: 1.请根据你对“变化额”“变化率”的理解，填空: (1)某工厂一月份生产零件 1000 个，二月份生产零件 1200 个，那么二月份比一月份增 产______个，增长率是______;若三月份生产零件 1140 个，那么三月份比二月份减产____ 个，下降率是________. (2)某厂今年一月份的总产量为 100 吨，设平均每月增长率是 x，则二月份总产量为 _____吨;三月份总产量为_________吨.(用含 x 的代数式表示). (3)某种商品原价是 100 元，平均每次降价的百分率为 x，则第一次降价后的价格是 _____元;第二次降价后的价格是______元.(用含 x 的代数式) 2.我市前年有汽车 3 万辆，据统计平均每年的增长率为 x. (1)去年我市汽车有万_______辆; (用含 x 的代数式表示) (2)今年我市汽车有万_______辆; (用含 x 的代数式表示) (3)若我市今年有汽车 12 万辆，根据题意，可列出方程___________________________. 3.请你总结: (1) 增长率问题: 若原来的量为 a，平均增长率是 x，则第一次增长后的量为________; 第二次增长后的量为__________;若两次增长后的量为 A，则可列方程__________________. (2)下降率问题:若原来的量为 a，平均下降率是 x，则第一次下降后的量为__________; 第二次下降后的量为___________;若两次下降后的量为 A，则可列方程_________________. 归纳梳理 1.本节课我们将讨论平均变化率问题，变化率有增长率和________率. 2.有关变化率的公式: (1)增长后的量 = 原来的量+_________= 原来的量× (1+________); 下降后的量 = 原来的量－________ = 原来的量× (1－_______). (2)单位时间增长量＝增长后的量一_______=原来的量×__________; 单位时间下降量=原来的量一__________=原来的量×__________ (3)如果某个量原来的值是 a，每次增长的百分率是 x, 则增长 1 次后的值是________， 增长 2 次后的值是_________，…，增长 n 次后的值是______________. 如果某个量原来的值是 a，每次下降的百分率是 x，则下降 1 次后的值是__________， 下降 2 次后的值是_________，…，下降 n 次后的值是____________. 3.如果设平均每次增长(或下降)的百分数为 x，则原来的量 a, 经过两次增长(或下降) 到 A，可列方程为______________(或)_______________. 典例探究 【例 1】随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014 年约为 20 万人 次，2016 年约为 28.8 万人次，设观赏人数年均增长率为 x，则下列方程中正确的是（ ） A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20 C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8 总结： 增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率或平均降低率. 若平均增长（或降低）百分率为 x，增长（或降低）前基数为 a，增长（或降低）n 次后的 最后产量是 b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n=b，其中增长取“+”，降低取“-”，注 意 1 与 x 的位置不能调换. 增长率问题中，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题． 21.3 实际问题与一元二次方程（第 3 课时） 导学探究: 阅读教材，回答下列问题： 1、探究 3 中有哪些数量关系？ 2、中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，这个比是多少？ 上、下边衬与左、右 边衬宽度之比是多少？ 3.教科书是根据什么选取未知数的?又是利用怎样的数量关系列出方程的? 4.如果根据正中央的长方形的长、宽比为 9，7，设正中央长方形的长、宽，并利用“中央 长方形面积=封面面积的四分之三”列方程，间接求上、下边衬与左、右边衬宽可以吗?若 可以，你试一试. 归纳梳理 1.列方程解应用题，一般直接设元，即问什么就设什么; 有时为了好理解，也采用间接设 未知数的方法，列方程求解. 2.利用一元二次方程分析解决几何图形问题，要抓住图形的特征(如面积关系、图形性质 等)，在分析题意的基础上建立方程，通过解方程来解决实际问题. 3 一元二次方程解决实际问题，要回到实际问题中进行解释和________，看求出的解是否符 合__________. 典例探究 【例 1】在直角墙角 AOB（OA⊥OB，且 OA、OB 长度不限）中，要砌 20m 长的墙，与直角墙 角 AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形 AOBC 的面积为 96m2． （1）求这地面矩形的长； （2）有规格为 0.80×0.80 和 1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为 55 元/块和 80 元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格 的地板砖费用较少？ 总结： 解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式，并能熟练计算由基 本图形构成的组合图形的面积. 对于不规则图形的面积问题，往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图 形，运用规则图形的面积公式列出方程． 21.3 实际问题与一元二次方程 (第 4 课时) 导学探究： 1. 用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤： （1）审题找等量关系； （2）设元列方程； （3）求解并检验； （4）写出答案． 2. 数字问题中常用的数量关系有： 两位数表示为：十位数字×10+个位数字； 三位数表示为：百位数字×100+十位数字×10+个位数字； 三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1; 三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3; 三个连续偶数可表示为：2x-2,2x,2x+2. 典例探究： 一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题） 每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减 少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后 根据等量关系列出方程求解． 1．一元二次方程的应用——数字问题 【例 1】一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大 3，求这个两位数． 总结： 对于数字问题，首先要明确数的表示方法： （1）如果是两位数，个位数字设为 a，十位数字设为 b，那么这个两位数可表示为 10b+a； （2）如果是三位数，个位数字设为 a，十位数字设为 b，百位数字设为 c，那么这个三位数 可表示为 100c+10b+a； （ 3 ） 设 x 为 整 数 ， 三 个 连 续 整 数 可 表 示 为 x-1,x,x+1 ， 三 个 连 续 奇 数 可 表 示 为 2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为 2x-2,2x,2x+2． 练 1.有一个两位数等于其数字之积的 3 倍，其十位数字比个位数字小 2，求这个两位数. 练 2.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a， b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到 32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数 2，则 m 的值是（ ） A．3 B．﹣1 C．﹣3 或 1 D．3 或﹣1 2．一元二次方程的应用——营销问题 总结： 用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售 量=总利润. 用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或 “每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”. 每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润， 等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润. 每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行 答案取舍的重要信息. 3．一元二次方程的应用——动态几何问题 【例 3】如图△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8．点 P 从 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度 移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动．如果 P、Q 分别从 A、 B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动，问： （1）经过几秒，△PBQ 的面积等于 8cm2？ （2）△PBQ 的面积会等于 10cm2 吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 总结： 动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题. 解决这类题，要搞清楚图形 的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动. 动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解. 课堂小练 一、选择题 1.目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用 10000 元本金 购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息 10926 元设此款理财 产品每期的平均收益率为 x，则根据题意可得方程( ) A.10000(1+2x)=10926 B.10000(1+x)2=10926 C.10000(1+2x)2=10926 D.10000(1+x)(1+2x)=10926 2.我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)， 只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少 12 步)，问阔及长各几步."如果设矩形田地的长 为 x 步，那么同学们列出的下列方程中正确的是( ) A.x(x+12)=864 B.x(x-12)=864 C.x2+12x=864 D.x2+12x-864=0 3.某公司今年 4 月的营业额为 2500 万元，按计划第二季度的总营业额要达到 9100 万元， 设该公司 5、6 两月的营业额的月平均增长率为 x．根据题意列方程，则下列方程正确 的是( ) A．2500(1+x)2=9100 B．2500(1+x%)2=9100 C．2500(1+x)+2500(1+x)2=9100 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100 4.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次.设有 x 人参加这次聚会，则 列出方程正确的是( ) A.x(x-1)=10 B.x(x-1)=2×10 C.x(x+1)=10 D. x(x+1)=2× 10 5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，列出的方程是( ) A.x(x+1)=64 B.x(x﹣1)=64 C.(1+x)2=64 D.(1+2x)=64 6.有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合 题意的是( ) A.x(x-1)=2×45 B.x(x＋1)=2×45 C.x(x-1)=45 D.x(x＋1)=45 7.九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班 共送了 1190 张卡片，设全班有 x 名学生，根据题意列出方程为( ) A.x(x-1)=2×1190 B.x(x+1)=2×1190 C.x(x+1)=1190 D.x(x-1)=1190 8.市工会组织篮球比赛庆五一，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了 36 场 比赛，则这次参加比赛的球队个数为( ) A.11 个 B.10 个 C.8 个 D.9 个 9.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同 学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品 30 件，则该兴趣小组的人数为( ) A.5 人 B.6 人 C.7 人 D.8 人 10.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百分 率相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是 ( ) A.560(1+x)2=315 B.560(1﹣x)2=315 C.560(1﹣2x)2=315 D.560(1﹣x2)=315 二、填空题 11.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支.若主干、支 干 和 小 分 支 的 总 数 是 57 ， 设 每 个 支 干 长 出 x 个 小 分 支 ， 则 可 列 方 程 为 . 12.某班 x 名学生，同学们两两互相赠送贺卡，共送贺卡 1560 张，则可列方 程： ； 13.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排 28 场比赛， 若设参赛球队的个数是 x，则列出方程为 . 14.某抗菌药原价 30 元，经过两次降价，现价格为 10.8 元，若平均每次降价率相同，且均 为 x，则可列出方程 ． 15.由于甲型 H1N1 流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由 原来每斤 16 元下调到每斤 9 元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的 百分率为 x，则根据题意可列方程为 ． 三、解答题 16.如图所示，在一块长为 32 米，宽为 15 米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽 的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应 是多少米？ 参考答案 17.答案为：B 18.答案为：B 19.答案为：D. 20.B. 21.C. 22.A. 23.D. 24.D. 25.B. 26.B 27.答案为：x2+x+1=57. 28.答案为：x(x-1)=1560. 29.答案为：x(x-1)=2×28. 30.答案为：30（1－x）2＝10.8； 31.答案为： 32.解：设小路的宽应是 x 米，则剩下草总长为(32﹣2x)米，总宽为(15﹣x)米， 由题意得(32﹣2x)(15﹣x)=32×15×(1﹣ ) 即 x2﹣31x+30=0,解得 x1=30 x2=1 ∵路宽不超过 15 米 ∴x=30 不合题意舍去 答：小路的宽应是 1 米.