人教版数学八年级下册第十七章《勾股定理》全章综合训练题（五）

八年级下册 第十七章《勾股定理》 全章综合训练题（五） 1．问题背景：在△ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为 、 、 ，求此三角形的面 积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再 在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这 样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上： ． 思维拓展： （2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．如果△ABC 三边的长分别 a、 a、 a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为 a）画出相应的△ABC， 并求出它的面积． 2．一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 3．如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是 由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果 大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为 a，较长的直角 边为 b，试求（a+b）2 的值． 4．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的 网格中按要求画图： （1）从点 A 出发在图中画一条线段 AB，使得 AB＝ ； （2）画出一个以（1）中的 AB 为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点 上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长． 5．如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13 米， 此人以 0.5 米每秒的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动了多少米？ （假设绳子是直的，结果保留根号） 6．一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风 区域，当轮船到 A 处时测得台风中心移到位于点 A 正南方的 B 处，且 AB＝100 海里．若 这艘轮船自 A 处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇 到台风的时间；若不会，请说明理由． 7．已知△ABC 中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2 ，AB＝m+n． （1）求证：△ABC 是直角三角形； （2）当∠A＝30°时，求 m，n 满足的关系式． 4 8．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点 E 为 AD 边上一点，连接 CE， BD．CE 与 BD 交于点 F，且 CE∥AB． （1）求证：∠CED＝∠ADB； （2）若 AB＝8，CE＝6．求 BC 的长． 9．如图是一副秋千架，图 1 是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面 0.5m（踏板 厚度忽略不计），图 2 是从侧面看，当秋千踏板荡起至点 B 位置时，点 B 离地面垂直高 度 BC 为 1m，离秋千支柱 AD 的水平距离 BE 为 1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱 AD 的高． 10．在寻找马航 MH370 的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A、B．于 是，一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口 O（如图）沿北偏东 40°的方向向目标 A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口 O 出发，以 12 海里/时的速度向着目标 B 出发， 1.5 小时后，他们同时分别到达目标 A、B．此时，他们相距 30 海里，请问第二艘搜救艇 的航行方向是北偏西多少度？ 参考答案 1．解：（1）△ABC 的面积＝3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×3 ＝9﹣1﹣ ﹣3 ＝9﹣5.5 ＝3.5； 故答案为：3.5； （2）△ABC 如图所示， △ABC 的面积＝2a•4a﹣ ×2a•a﹣ ×2a•2a﹣ ×4a•a ＝8a2﹣a2﹣2a2﹣2a2 ＝3a2． 2．解：（1）根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为： ＝24 米； （2）梯子下滑了 4 米， 即梯子距离地面的高度为 A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20， 根据勾股定理得：25＝ ， 解得 CC′＝8． 即梯子的底端在水平方向滑动了 8 米． 3．解：∵大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1， ∴直角三角形的斜边的平方为 13， ∵直角三角形较短的直角边为 a，较长的直角边为 b， ∴a2+b2＝13， ∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积， ∴4× ab＝13﹣1，即 2ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25． 4．解：（1）图示线段 AB 长为 ＝ ； （2）图中 A、B、C 均在方格的顶点上， 且 AC2＝BC2＝12+32， AB2＝22+42 ∴AC2+BC2＝AB2， ∴图中等腰直角△满足题意， 等腰直角三角形的腰长为 × ＝ ． 5．解：在 Rt△ABC 中： ∵∠CAB＝90°，BC＝13 米，AC＝5 米， ∴AB＝ ＝12（米）， ∵此人以 0.5 米每秒的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置， ∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米）， ∴AD＝ ＝ ＝ （米）， ∴BD＝AB﹣AD＝12﹣ （米）， 答：船向岸边移动了（12﹣ ）米． 6．解：不会受影响， 假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为 th，此时轮船位于 C 处，台风中心移到 E 处， 连接 CE， 则 AC＝20t， AE＝AB﹣BE＝100﹣40t， AC2+AE2＝EC2． （20t）2+（100﹣40t）2＝202， 整理得：5t2﹣20t+24＝0 ∵△＝（﹣20）2﹣4×5×24＜0 ∴方程无实数根， ∴不会受影响． 7．解：（1）∵BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2 ，AB＝m+n， ∴AC2+CB2＝（m﹣n）2+4mn＝m2+n2﹣2mn+4mn＝m2+n2+2mn＝（m+n）2＝AB2． ∴∠C＝90°． ∴△ABC 是为直角三角形； （2）∵∠A＝30°， ∴ ＝ ＝ ， ∴m＝3n． 8．（1）证明：∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD 是等边三角形． ∴∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°， ∴∠CED＝∠ADB． （2）解：连接 AC 交 BD 于点 O， ∵AB＝AD，BC＝DC， ∴AC 垂直平分 BD． ∴∠BAO＝∠DAO＝30°． ∵△ABD 是等边三角形，AB＝8， ∴AD＝BD＝AB＝8， ∴BO＝OD＝4， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAO． ∴AE＝CE＝6，DE＝AD﹣AE＝2． ∵∠CED＝∠ADB＝60°． ∴∠EFD＝60°． ∴△EDF 是等边三角形． ∴EF＝DF＝DE＝2， ∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2． 在 Rt△COF 中， ∴ ， 在 Rt△BOC 中， ∴ ． 9．解：设 AD＝xm，则由题意可得 AB＝（x﹣0.5）m，AE＝（x﹣1）m， 在 Rt△ABE 中，AE2+BE2＝AB2， 即（x﹣1）2+1.52＝（x﹣0.5）2， 解得 x＝3． 即秋千支柱 AD 的高为 3m． 10．解：根据题意得：OA＝16 海里/时×1.5 小时＝24 海里；OB＝12 海里/时×1.5 小时＝ 18 海里， ∵OB2+OA2＝242+182＝900，AB2＝302＝900， ∴OB2+OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口 O（如图）沿北偏东 40°的方向向目标 A 的前 进， ∴∠BOD＝50°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西 50 度．