人教版数学八年级上册学案11.2《与三角形有关的角》（含答案）

11．2 与三角形有关的角 11．2.1 三角形的内角 第 1 课时 三角形的内角和 学习目标： 1．会阐述三角形内角和定理． 2．会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)． 预习： 阅读教材，完成预习内容． 问题 1 揭示三角形的内角和 1．幻灯片出示：解释“什么是三角形的内角”，并通过“内角三兄弟之争”的数学故事引 出本节内容． 数学故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天， 老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！” “不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了…….”“为什 么？”老二很纳闷．同学们，你们知道其中的道理吗？ 2．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和． 30°＋60°＋90°=180° 45°＋45°＋90°=180° 想一想：任意三角形的三个内角之和也为 180 度吗？ 问题 2 探索并证明三角形的内角和定理 做一做 1．在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码． 2．让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的 度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB=180°. 图 1 3．剪下∠A，按图 2 拼在一起，从而还可得到∠A＋∠B＋∠ACB=180°. 图 2 图 3 4．把∠B 和∠C 剪下按图 3 拼在一起，用量角器量一量∠MAN 的度数，会得到什么结果． 想一想 如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面结论的正确性呢？ 已知△ABC，说明∠A＋∠B＋∠C=180°，你有几种方法？结合图 1、图 2、图 3 说明这个结 论成立． 知识探究 三角形三个内角的和等于________． 自学反馈 1．在△ABC 中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=________. 2．在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4 则∠A=________，∠B=________，∠C=________. 3．①一个三角形中最多有______个直角？为什么？ ②一个三角形中最多有______个钝角？为什么？ ③一个三角形中至少有______个锐角？为什么？ ④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为______． 活动 1 小组讨论 例 1.如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80°方向，C 岛在 B 岛的 北偏西 40°方向，从 C 岛看 A、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？ 例 2.甲楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 点，太阳光线与水平 面夹角为 45°，如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应是多少？ 解：由题意知 ∠ABC=90°，∠ACB=45°. ∴∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=180°－90°－45°=45°. ∴BC=AB=16. 答：两楼的距离是 16 米． 课堂小结 会运用三角形内角和定理求三角形中内角的度数． 第 2 课时 直角三角形的两个锐角互余 学习目标： 1．通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余． 2．理解并会运用直角三角形的两锐角互余及其逆定理． 预习： 阅读教材，完成预习内容． 如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C=________， 即∠A＋∠B＋________=________． 所以∠A＋∠B=________． 知识探究 1．直角三角形的两个锐角________． 2．直角三角形可以用符号“________”表示，直角三角形 ABC 可以写成________． 3．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是________三角形． 自学反馈 1．若直角三角形的一个锐角为 20°，则另一个锐角等于________． 2．在△ABC 中，∠A=60°，∠B=1 2 ∠A，则△ABC 是________三角形． 点拨：判断三角形的类型，可根据已知条件推算出三个内角的度数，再进行判断，当已知 两角互余时，则是直角三角形． 活动 1 小组讨论 例 1 如图，DF⊥AB，∠A=40°，∠D=43°，则∠ACD 的度数是 87°． 例 2 在△ABC 中，如果∠A=1 2 ∠B=1 3 ∠C，那么△ABC 是什么三角形？ 解：设∠A=x，那么∠B=2x，∠C=3x. 根据题意，得 x＋2x＋3x=180°. 解得 x=30°. ∴∠A=30°，∠B=60°. ∴△ABC 是直角三角形． 课堂小结 运用直角三角形的两锐角互余及三角形内角和定理求三角形中角度． 11．2.2 三角形的外角 学习目标： 1．探索并了解三角形的外角的两条性质． 2．利用学过的定理论证这些性质． 3．利用三角形的外角性质解决与其有关的实际问题． 预习： 阅读教材，完成预习内容． 1．如图 1，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线 组成的角，叫做____________． 图 1 如图 2，一个三角形有________个外角．每个顶点处有________个外角． 图 2 2．如图 1，△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，则∠ACD=________. 试猜想∠ACD 与∠A，∠B 的关系是____________． 3．试结合图形写出证明过程： 证明：过点 C 作 CM∥AB，延长 BC 到 D. 则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)， ∠2=∠B(两直线平行，同位角相等)， 所以∠1＋∠2=∠A＋∠B， 即________=∠A＋∠B. 知识探究 一般地，由三角形内角和定理可以推出：三角形的外角等于与它不相邻的___________． 自学反馈 1．判断下列∠1 是哪个三角形的外角： 2．求下列各图中∠1 的度数． 活动 1 小组讨论 1．如图∠1＋∠2＋∠3=？ 解：∠1＋∠BAC=180°， ∠2＋∠ABC=180°， ∠3＋∠ACB=180°， 三个式子相加得到： ∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=540°. 而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°， 所以∠1＋∠2＋∠3=360°. 2．结论：三角形的外角和是 360°． 课堂小结 三角形外角的性质： 1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 2．三角形的外角和是 360°. 课堂小练 一、选择题 1.在△ABC 中，∠A-∠B = 900，则△ABC 为( )三角形。 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 2.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A= 50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折 痕为 CD，则 ( ) A.40° B.30° C.20° D.10° 3.如图，下列说法正确的是( ). A.∠B＞∠2 B.∠2＋∠D＜180° C.∠1＞∠B＋∠D D.∠A＞ ∠ 1 4.在△ABC 中，∠A=500，∠B 的角平分线和∠C 外角平分线相交所成的锐角的度数是 ( ) A.500 B.650 C.1150 D.250 5.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 6.如图，直线 a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°，则∠2 的度数为 ( ) A.20° B.40° C.30° D. 25° 7.如图,△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线,BE 为△ABC 的高,∠C=70°,∠ABC=48°,那么∠3 是( ) A.59° B.60° C.56° D.22° 8.下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B= ∠ C 中.能 确定△ABC 是直角三角形的条件有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.如图，在直角三角形 ABC 中，AC≠AB，AD 是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为 E.F，则图中与∠C(∠C 除外)相等的角的个数是( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 10.将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB 等于（ ） A.90° B.105° C.120° D.135° 二、填空题 11.已知在△ABC 中，∠A=40°，∠B-∠C=40°，则∠B=_____，∠C=______． 12.对于一个锐角三角形，甲测得边长分别是 5cm，6cm，11cm，乙测得三个内角分别为 33 °，49°，78°，丙测得三个内角分别为 33°，59°，88°，其中只有一个人测得结 果是正确的，此人是 ． 13.如图，∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，则∠BDC=_______度，∠BOC=_______度． 14.如图所示，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点 O 则∠AOB ＋∠ DOC= 度. 15.如图，一种机械工件，经测量得∠A=20°，∠C=27°，∠D=45°．那么不需工具测量， 可知∠ABC= °. 参考答案 1.C 2.D 3.B 4.B 5.C. 6.A. 7.B 8.B. 9.A 10.B 11.答案为：90°；50°． 12.答案为：丙 13.答案为：78 度， 110 度． 14.答案为：180° 15.答案为：920