人教版数学九年级上册学案23.1《图形的旋转》(含答案)

第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 第 1 课时 认识图形的旋转 出示目标 1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念. 2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题. 3.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质. 4.了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形. 预习导学 1 知识准备 (学生活动)请同学们完成下面各题. 1.将如图所示的四边形 ABCD 平移，使点 B 的对应点为点 D，作出平移后的图形. 2.如图，已知△ABC 和直线 l，请你画出△ABC 关于 l 的对称图形△A′B′C′. 3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的吗？ (是；是；等腰梯形、长方形、正多边形等.) 点拨： (1)平移的有关概念及性质. (2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质. (3)什么叫轴对称图形. 自学指导：自学教材内容，思考和完成教材上的练习. 观察：让学生看转动的钟表和风车等. (1)上面情景中的转动现 象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间轴旋转) (2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小 不变，位置发生变化) 问题： ①从 3 时到 5 时，时针转动了多少度？(60°) ②风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(90°) ③以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转) 思考：在数学中如何定义旋转？ 探究 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的 角叫做旋转角. 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 合作探究 1 活动 1 小组讨论 例 1 如图，四边形 ABCD、四边形 EFGH 都是边长为 1 的正方形. (1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ (2)请画出旋转中心和旋转角. (3)经过旋转，点 A、B、C、D 分别移到什么位置？ 点拨： (1)可以看做是由正方形 ABCD 的基本图案通过旋转而得到的.(2)画图略.(3)点 A、点 B、点 C、点 D 移到的位置是点 E、点 F、点 G、点 H. 这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的. 例 2 如图，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠AED 都是直角，点 E 在 AB 上，如 果△ABC 经旋转后能与△ADE 重合，那么旋转中心是点A；旋转的度数是 45°. 活动 1 小组讨论 例 3 如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点，以点 A 为中心，把△ADE 顺时针旋转 90 °，画出旋转后的图形. 点拨：关键是确定△ADE 三个顶点的对应点的位置. 活动 2 跟踪训练 1.如图，AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，BP=BQ，∠PBQ=90°. ①此图能否旋转某一部分得到一个正方形？ ②若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由. ③它的旋转角多大？并指出它们的对应点. 解：①能. ②由△BCQ 绕 B 点旋转得到.理由：连结 AB，易证四边形 ABCD 为正方形. 再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB 可绕 B 点旋转与△ABP 重合，从而得到正方形 ABCD. ③90°.点 C 对应点 A，点 Q 对应点 P. 2.如图，K 是正方形 ABCD 内一点，以 AK 为一边作正方形 AKLM，使 L、M 在 AK 的同旁，连 接 BK 和 DM，试用旋转的思想说明线段 BK 与 DM 的关系. 解：∵四边形 ABCD、四边形 AKLM 是正方形， ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为 90°. ∴△ADM 是以 A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角由△ABK 旋转而成的.∴BK=DM. 课堂小结 1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念. 2.旋转的对应点及其它们的应用. 3.本节课要掌握： (1)旋转的基本性质. (2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别. 第 2 课时 旋转作图 出示目标 1.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果. 2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案. 预习导学 自学指导 自学教材第 61 页. 完成下列问题. 1.回顾思考 (1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ (2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ (3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2.学生独立完成作图题.如图，△ABC 绕 B 点旋转后，O 点是 A 点的对应点，作出△ABC 旋转 后的三角形. 点拨：要作出△ABC 旋转后的三角形，应找出三方面的关系: ①旋转中心 B；②旋转角∠ABO；③C 点旋转后的对应点 C′. 探究 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中 心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地 固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中心、 不同的旋转角来进行研究. 把一个图案以 O 点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不 同的效果图形. 1.旋转中心不变，改变旋转角. 2. 3.旋转角不变，改变旋转中心. 我们可以设计成如下图美丽的图案. 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋 转中心会产生不同的效果，所以我们 可以经过旋转设计出美丽的图案. 活动 1 小组讨论 例 1 如图所示，图①沿逆时针方向旋转 90°可得到图⑤.图①按顺时针方向至少旋转 180 度可得图③. 例 2 如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 P 是△ABC 内的一点，且 AP=3，将△ ABP 绕点 A 旋转后与△ACP′重合，求 PP′的长. 点拨：依 题意，AP 绕点 A 旋转 90°时得 AP′=AP=3，则△APP′是等腰直角三角形. 所以 PP′= = 2 23 3 3 2  . 解题的关键是确定 AP 与 AP′垂直且相等. 课堂小练 一、选择题 1.下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是( ) A. B. C. D. 2.如图，在正方形网格中，将△ABC 顺时针旋转后得到△A'B′C′，则下列 4 个点中能作为 旋转中心的是( ) A.点 P B.点 Q C.点 R D.点 S 3.如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转，使点 B 落在 AB 边上点 B′处，此时，点 A 的对应点 A′ 恰好落在 BC 边的延长线上，下列结论错误的是( ) A.∠BCB′=∠ACA′ B.∠ACB=2∠B C.∠B′CA=∠B′AC D.B′C 平分∠BB′A′ 4.如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°，得到△A′B′C，连接 AA′，若∠1=25°， 则∠BAA′的度数是( ) A.55° B.60° C.65° D.70° 5.如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到线段 A′B′，那么 A(﹣2，5)的对应点 A′ 的坐标是( ) A.(2，5) B.(5，2) C.(2，﹣5) D.(5，﹣2) 6.如图所示，将一个含 30°角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点 B，A，C′在同一条 直线上，则三角板 ABC 旋转的角度是( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 7.如图，将木条 a，b 与 c 钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数至少是( ) A.10° B.20° C.50° D.70° 8.如图，将三角尺 ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕 B 点按顺时针方向转动一个角度到 A1BC1 的位置，使得点 A，B，C1 在同一条直线上，那么这个角度等于（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 二、填空题 9.一个正 n 边形绕它的中心至少旋转 18°才能与原来的图形完全重合，则 n 的值为 . 10.如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE，这时点 B，C，D 恰好在同一直线 上，则∠B 的度数为 . 11.在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°得 △A′B′O，则点 A 的对应点 A′的坐标为_ _. 12.时钟 6 点到 9 点，时针转动了＿＿度. 13.如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△COD，若∠AOB=15°， 则∠AOD= 度. 14.如图所示，△ABC 中，∠BAC=33°，将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 50°，对应得到 △AB′C′，则∠B′AC 的度数为 . 三、解答题 15.如图，在菱形 ABCD 中，∠A=110°，点 E 是菱形 ABCD 内一点，连结 CE 绕点 C 顺时针旋 转 110°，得到线段 CF，连结 BE，DF，若∠E=86°，求∠F 的度数. 参考答案 16.答案为：D 17.答案为：A； 18.答案为：C. 19.答案为：C. 20.答案为：B. 21.答案为：D. 22.答案为：B. 23.A 24.答案为：20. 25.答案为：15°. 26.答案为：(2，3) 27.答案为：90º 28.答案为：30. 29.答案为：17°. 30.解：∵菱形 ABCD， ∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°， 由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°， ∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE， 在△BCE 和△DCF 中， ， ∴△BCE≌△DCF， ∴∠F=∠E=86°.