2021届湖南省六校高三4月联考数学试题（word版，有答案）

湖南省 2021 届高三六校联考试题 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合  1,2,3,4,5A  ，  2 3 0B x x x   ，则 RA Bð 中的元素个数为( ) A. 4 B.3 C. 2 D.1 2.已知复数 1z ， 2z 在复平面内对应的点分别为  1 3,Z a ，  2 2,1Z ，且 1 2z z 为纯虚数，则实数 a ( ) A. 6 B. 3 2  C. 6 5 D. 6 3.函数   2cos e ex x x xf x    的图象大致是( ) A. B. C. D. 4.某地安排 4 名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少 有一名工作人员的概率为( ) A. 4 9 B. 9 16 C. 5 9 D. 8 9 5.已知 6a ，  ,3mb ，且   2 b a a b ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影的最大值为( ) A. 4 B. 2 C. 6 2 D.1 6.数学里有一种证明方法叫做 Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字 解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅. 现有如图所示图形，在等腰直角三角形 ABC△ 中，点O 为斜边 AB 的中点，点 D 为斜边 AB 上异于顶点的 一个动点，设 AD a ， BD b ，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.  0, 02 a b ab a b    B.  2 0, 0ab ab a ba b    C.   2 2 0, 02 2 a b a b a b    D.  2 2 2 0, 0a b ab a b  7.已知 1F ， 2F 分别是双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点，点 P 是该双曲线上一点且在第一象限 内， 1 2 2 12sin sinPF F PF F   ，则双曲线的离心率的取值范围为( ) A. 1,2 B. 3, C. 1,3 D. 2,3 8.定义函数   1, 1, xD x x   为有理数 为无理数 ，则下列命题中正确的是( ) A.  D x 不是周期函数 B.  y D x 的图象存在对称轴 C.  D x 是奇函数 D.  D x 是周期函数，且有最小正周期 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9.下列“若 p ，则 q ”形式的命题中， p 是 q 的必要条件的是( ) A.若两直线的斜率相等，则两直线平行 B.若 5x  ，则 10x  C.已知 a 是直线 a 的方向向量， n是平面 的法向量，若 a  ，则 a n D.已知可导函数  f x ，若  0 0f x  ，则  f x 在 0x x 处取得极值 10.已知数列 na 满足 1 1a  ， 2 3a  ， 2 2n na a   ， *nN ，则( ) A. 1 2a a ， 3 4a a ， 5 6a a ，…为等差数列 B. 2 1a a ， 4 3a a ， 6 5a a ，…为常数列 C. 2 1 4 3na n   D.若数列 nb 满足  1 n n nb a   ，则数列 nb 的前100项和为100 11.已知函数    2cos 0, 2f x x           的图象上，对称中心与对称轴 12x  的最小距离为 4  ， 则下列结论正确的是( ) A.函数  f x 的一个对称点为 5 ,012      B.当 ,6 2x       时，函数  f x 的最小值为 3 C.若 4 4 4sin cos 0,5 2             ，则 4f     的值为 4 3 3 5  D.要得到函数  f x 的图象，只需要将   2cos2g x x 的图象向右平移 6  个单位 12.已知球O 的半径为 2 ，球心O 在大小为 60的二面角 l   内，二面角 l   的两个半平面分别截 球面得两个圆 1O ， 2O ，若两圆 1O ， 2O 的公共弦 AB 的长为 2 ， E 为 AB 的中点，四面体 1 2OAO O 的体积 为V ，则下列结论中正确的有( ) A.O ， E ， 1O ， 2O 四点共面 B. 1 2 3 2O O  C. 1 2 3 2O O  D.V 的最大值为 3 16 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知某省 2020 年高考理科数学平均分 X 近似服从正态分布  89,100N ，则  79 109P X   __________. (附：   0.6827P X        ，  2 2 0.9545P X      „ ) 14.请写出满足条件“    1f x f 对任意的  0,1x 恒成立，且  f x 在 0,1 上不是．．增函数”的一个函数： __________. 15.已知    6 2 1 1 0a x ax       的展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为__________. 16.电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响 力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的 是二进制计数制，简称二进制.一个十进制数  *n nN 可以表示成二进制数 0 1 2 2ka a a a ，即 0 2kn a  1 2 1 1 2 1 02 2 22k k k ka a a a          ，其中 0 1a  ，  0,1ia  ， 0,1,2, ,i k  ，k N . 用  f n 表示十进制数 n 的二进制表示中1的个数，则  7f  _______；对任意 *r N ，   12 1 2 2 r r f n n     __________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 22 3nS n n  . (Ⅰ)求数列 na 的通项公式； (Ⅱ)数列 1 1n na a      的前 n 项和是 nT ，若存在 *nN ，使得 1 0n nT a   成立，求实数  的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数    2 13sin cos cos 2f x x x x x   R . (Ⅰ)当 5,12 12x       时，分别求函数  f x 取得最大值和最小值时 x 的值； (Ⅱ)设 ABC△ 的内角 A ，B ，C 的对应边分别是 a ，b ，c ，且 2 3a  ， 6b  ， 12 Af       ，求 c 的值. 19.(本小题满分 12 分) 甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为 0.6 ，乙胜的概率为 0.4 .甲、乙约定比赛当天上午进行3局 热身训练，下午进行正式比赛. (Ⅰ)上午的3局热身训练中，求甲恰好胜 2 局的概率； (Ⅱ)下午的正式比赛中： ①若采用“3局 2 胜制”，求甲所胜局数 x 的分布列与数学期望； ②分别求采用“3局 2 胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对 局制长短的设置有何认识？ 20.(本小题满分 12 分) 某建筑工地上有一个旗杆CF (与地面垂直)，其正南、正西方向各有一标杆 BE ，DG (均与地面垂直，B ，D 在地面上)，长度分别为1m ，4m ，在地面上有一基点 A (点 A 在 B 点的正西方向，也在 D 点的正南方向上)， 且 2mBA BC  ，且 A ， E ， F ，G 四点共面. (Ⅰ)求基点 A 观测旗杆顶端 F 的距离及仰角 的正切值； (Ⅱ)若旗杆上有一点 M ，使得直线 BM 与地面 ABCD 所成的角为 4  ，试求平面 ABM 与平面 AEFG 所 成锐二面角的正弦值. 21.(本小题满分 12 分) 已知 A ， B 分别为椭圆  2 2 2: 1 33 x yE aa    的左、右顶点，Q 为椭圆 E 的上顶点， 1AQ QB   . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)已知动点 P 在椭圆 E 上，两定点 31, 2M     ， 3 31, , 1,2 2M N           . ①求 PMN△ 的面积的最大值； ②若直线 MP 与 NP 分别与直线 3x  交于C ，D 两点，问：是否存在点 P ，使得 PMN△ 与 PCD△ 的 面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 22.(本小题满分 12 分) 已知       1 2ln 1 2cos 1f x x x x      ，   2cos 1g x x ax   . (Ⅰ)若   0g x  恒成立，求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)确定  f x 在 1, 内的零点个数. 湖南省 2021 届高三六校联考试题 数学参考答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A A D C C B 二、多项选择题 9 10 11 12 BD ABD BC ACD 三、填空题 13.0.8186 14.   5sin 2f x x (答案不唯一) 15.17 16.3  *2 3r r N 四、解答题 17.【解析】(Ⅰ)∵ 22 3nS n n  ，    2 12 1 3 1nS n n     ， 2n  ， 两式相减得： 2 2 2na n  ，则  1 2na n n   ， 由 1 12 2 4S a  知 1 2a  ，也满足上式， 故  *1na n n  N . (Ⅱ)   1 1 1 1 1 1 2 1 2n na a n n n n       .  2 2n nT n    .      1 20 2 02 2 2 2n n n nT a nn n            ， 由存在性得  2 max2 2 n n          . 而  2 1 1 4 162 2 2 4 n n n n        (当且仅当 2n  时取等号)， 故 1,16       . 18.【解析】(Ⅰ)   3 1 cos2 1 3 1sin 2 sin 2 cos2 1 sin 2 12 2 2 2 2 6 xf x x x x x              ， ∵ 5,12 12x       ， ∴ 223 6 3x      ， ∴ 3 sin 2 12 6x        ， ∴当sin 2 16x      ， 即 2 6 2x    ，得 3x  ，  f x 取得最大值0 ∴ 3sin 2 6 2x       ， 即 2 6 3x     ，得 12x   时，  f x 取得最大值 3 12   . (Ⅱ)∵ sin 1 12 6 Af A               且  0,A  ， ∴ 6A  . 由余弦定理 2 2 2 2 cosa c b c b A     得 2 6 3 24 0c c   ， 解得 4 3c  或 2 3 . 另解：∵ sin 1 12 6 Af A               且  0,A  ， ∴ 6A  ， 由正弦定理 sin sin a b A B  有 3sin 2B  ， 则 3B  或 2 3B  ， 当 3B  时， 2c  ，由勾股定理有 4 3c  . 当 2 3B  时， 6C A   ，则 2 3c a  . 综上， 4 3c  或 2 3 . 19.【解析】(Ⅰ)甲恰好胜2 局的概率为 2 2 3C 0.6 0.4 0.432P    . (Ⅱ)①甲所胜局数 x 可取0 ，1，2 .   2 2 20 C 0.4 0.16P x    ，   1 21 C 0.6 0.4 0.4 0.192P x      ，   2 1 2 22 C 0.6 0.6 C 0.6 0.4 0.6 0.648P x        ， ∴甲所胜局数 x 的分布列为 x 0 1 2 P 0.1 6 0.19 2 0.64 8   0 0.16 1 0.192 2 0.648 1.488E x        . ②采用“3局2 胜制”时，甲获胜的概率为 1 2 1 2 2C 0.6 0.4 0.6 C 0.6 0.6 0.648P       ， 采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为 2 2 2 2 2 3 3 2 4 3 3C 0.6 0.4 0.6 C 0.6 0.4 0.6 C 0.6 0.68256P         ， 对甲而言，显然“5 局3胜制”更有利. 由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利. 20.【解析】(Ⅰ)易知平面 / /ABE 平面CDGF ，且 A 、E 、F 、G 四点共面于平面 AEFG ，故 / /AE GF ， 同理 / /AG EF ，故 AEFG 为平行四边形，故 AE FG ，过点G 作CF 的垂线，垂足为 N ，则 ABE GNF≌△ △ ， 1FN BE  ， 4 1 5FC    ， 2 2AC  ， 2 2 33AF AC FC   ， 5 5 2tan 42 2 FC AC     . (Ⅱ)以 A 为原点， AB 、 AD 为 x ， y 轴建立直角坐标系， 2MC  ，  2,0,0B ，  2,2,2M ，  2,0,0AB  ，  2,2,2AM  . 设平面 ABM 的法向量  , ,x y zm ， 则 2 0 2 2 2 0 AB x AM x y z            m m ， 设 1y  ， 1z   ，取  0,1, 1 m ， 又  2,0,1E ，  2,2,5F ，  2,0,1AE  ，  2,2,5AF  ，设平面 AEFG 的法向量  , ,x y zn ， 则 2 0 2 2 5 0 AE x z AF x y z             n n ， 设 1x  ，则 2z   ， 4y  ，取  1, 2,4 n ， 则  2 4 42cos , 72 21        m n ， 设平面 ABM 与平面 AEFG 所成锐二面角为 ， 则 2 42 7sin 1 7 7         为所求. 21.【解析】(Ⅰ)由题意得  ,0A a ，  ,0B a ，  0, 3Q ， 则  , 3AQ a ，  , 3QB a  . 由 1AQ QB   ，得 2 3 1a   ，即 2a  ， 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 3 x y  . (Ⅱ)①设  2cos , 3sinP   ，直线 3: 2MN y x  即：3 2 0x y  ， 点 P 到直线 MN 的距离 4 3 sin6cos 2 3sin 3 4 39 1313 13 d          ， 13MN  ， 则 1 2 32PMNS MN d  △ ，即 max 2 3PMNS △ . ②设  0 0,P x y ， 13MN  ，点 P 到直线 MN 的距离 0 0 1 3 2 13 x yd  ， 1 0 0 1 1 3 22 2PMNS MN d x y   △ ， 直线  0 0 3 32: 11 2 y MP y xx     ， 令 3x  ，可得 0 0 4 6 33, 1 2 yC x      ， 直线  0 0 3 32: 11 2 y PN y xx     ， 令 3x  ，可得 0 0 2 3 33, 1 2 yD x      ，   0 0 0 2 0 3 2 3 1 x y xCD x    ， P 到直线CD的距离为 2 03d x  ，  20 0 2 02 0 3 21 1 32 2 1PCD x yS CD d xx     △ ， ∵ MPN△ 与 PCD△ 面积相等， ∴  20 0 0 0 02 0 3 21 13 2 32 2 1 x yx y xx     ， 故 0 03 2 0x y  (舍)或  22 0 01 3x x   ， 解得 0 5 3x  ，带入椭圆方程得 0 33 6y   ， 故点 5 33,3 6P       或 5 33,3 6      . 22.【解析】(Ⅰ)显然  g x 为偶函数，故只需   0g x  在 0, 上恒成立即可. 由   0g   知 0a  ，   sin 2g x x ax    ，   cos 2g x x a    . (1)若 2 1,a  则   0g x  ，  g x 在 0, 上单调递增， ∴    0 0g x g   ，  g x 单调递增， ∴    0 0g x g  ， 故 1 2a  满足条件. (2)若 10 2a  ，则存在 0 0, 2x     ，  0 0g x  ， 当  00,x x 时，  0 0g x  ，  g x 单调递减，    0 0g x g   ，  g x 单调递减，    0 0g x g  ，不成立，故 10 2a  不满足条件. 所以所求a 的范围为 1 2a  . (Ⅱ)     3 21 12sin 11 2f x x xx      ，       5 2 2 1 32cos 141 f x x x x        . (1)当  1,0x  时，   0f x  ，  f x 单调递减，    0 0f x f   ，  f x 单调递增， 又  0 1 0f   ， 3 32ln 2 2cos 2 04 4f          ， ∴  f x 在在 1,0 内恰有一个零点； (2)当 0, 3x     时，可以证明   2 ln 1 2 xx x   ，由(Ⅰ)知 2 cos 1 2 xx   ， ∴   2 23 1 32 1 02 21 f x x x x x x          ，故  f x 在 0, 3      内无零点； (3)当 ,3 2x      时，   0f x  ，  f x 单调递减，   03f x f       ，  f x 单调递减，   02f x f      ， 故  f x 在 ,3 2       无零点； (4)当 5,2 6x      时，     3 21 11 1 01 2f x xx       ，  f x 单调递减， 又 02f      ， 1 25 5 5ln 1 3 1 2ln 2 3 06 6 6f                          ， ∴  f x 在 5,2 6       内恰有一零点； (5)当 5 ,6x      时，   0f x  ，  f x 单调递增，又   0f   ， 5 06f      ， ∴存在唯一 0 5 ,6x      ，  0 0f x  ，当 0 5 ,6x x    时，   0f x  ，  f x 递减，当  0 ,x x  时，   0f x  ，  f x 递增，   5max , ( ) 06f x f f         ， ∴  f x 在 5 ,6       内无零点； 综上，  f x 恰有两个零点.