1
AB
22.9(1) 平面向量的减法
教学目标：
1、经历引进向量减法的过程,理解向量减法的意义,知道向量减法是向量加法的逆运算；
2、初步掌握向量减法的三角形法则，会将向量减法转化为加法运算，和进行向量加减法的
混合运算.
教学重点：引进向量减法；使学生掌握向量减法的法则，并初步学会向量加减的混合运算.
教学难点：减法运算时差向量方向的确定.
教学过程：
一、复习旧知
我们已经学习了向量加法的意义，以及用三角形法则和多边形法则来作和向量.
已知
a 、
b ，求作
c ，使得
c =
a +
b
作法：在平面内任取点 O 作向量
OA=
a ，作向量=
b ， 则向量
OB =
c
（口诀：首尾相接首尾连.）
二、引入新课
【问题一】由向量的加法运算，自然联想到向量的减法运算，如何定义向量的减法运算？
回忆一下，我们是怎么学习数的减法的？已知两个数的和,及其中一个数,求另一个数的运算.
用符号语言表示：若 cba ，则有 bca 或 acb .
那么我们可以用类似的方法来定义向量的减法运算:已知两个向量的和,及其中一个向量,求
另一个向量的运算.
如果
a +
b =
c ，则
a 叫做
c 与
b 的差向量，记作
bc ，其中
c 是被减向量，
b 是减向量.
同理，
a +
b =
c ，则
b 叫做
c 与
a 的差向量，记作
ac ，其中
c 是被减向量，
a 是减向量.
【问题二】如何作出两个向量的差向量？
观察：已知
b 、
a ，
c ，
c =
ba
分析：因为
c =
ba ，则由向量加法的三角形法则，首尾相接首尾连，观察下图，图中的
OB
即是
b 与
a 的和，根据平行四边形法则，可作
bOC 、
aCB .
a
b
A
BC
b
a
O
A
a
a
b
b
c
B
a
c
O
BBC
2
请同学们观察，在上面作图中，
a 、
b 、
c 也组成一个三角形，
bcaBC .
归纳作法：在平面内任取一点 O 作向量
OB =
c ，再作向量
OC =
b ，则向量
CB 即是所求的
a .(同起点,连终点,指被减.)
我们把这样作差向量的规定称为向量减法的三角形法则.
比较向量减法的三角形法则和向量加法三角形法则的区别之处：
※向量加法是把两个已知向量首尾相接，向量减法是从同一起点出发作两个已知向量；
※和向量是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点（首尾相接首尾连）；
结论： 差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点（箭头指向被减向量）.
【问题 3】我们在学习数的减法的时候曾经讲过数的减法可转化为加法运算，即减去一个数
等于加上这个数的相反数， )( bcbc .
那么对于向量，我们是否也可以类似的说减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？
先请同学回忆相反向量的定义.(方向相反，长度相等）
接着我们来验证我们刚才的想法是否正确，即
bc 与 ）（
bc 的结果是否相等？
请同学们在图中用向量加法的三角形法则作出 ）（
bc
根据向量加减法的三角形法则，我们可得到
CB =
bc ，
DA = ）（
bc
那么向量
CB 与向量
OA是否相等？为什么？
根据平行四边形的性质我们可以进行证明:把 OB 和 DE 叠合在一起， CB ∥ OA 且
CB =OA，所以
a =
d
结论：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
d
b
c
O AO
a
b
c
a
b
c
AD
E
a
b
c
C B
O A
B
O
C
d
a
b
b
c
3
三、课堂例题:
例 1、根据图型特征建立向量关系：
如图已知 AD 是△ABC 的中线，试用向量
AB 、
AD 、
AC 来表示向量
BD和
DC
解：
BD=
AD
AB ,
DC =
AC
AD
(分析：已知向量
AB 、
AD 共起点，所以应该用向量的减法来表示向量
BD，而向量
BD的
起点是向量
AB 的终点，向量
BD的终点
AD 的终点，因此
BD=
AD
AB .)
【课堂练习 1】如图，四边形 ABCD 中，向量
BA=
a ，向量
AD =
b ，向量
BC =
c ，试用
a 、
b 、
c 来表示向量
BD、向量
CD .
解：
BD=
a +
b
CD =
BD
BC =
a +
b
c
（通过本题，使同学进一步体会什么时候应该用两个向量加法运算来表示第三个向量，什么
时候应该用两个向量减法运算来表第三个向量向量.）
【课堂练习 2】已知点 M、N 分别是平行四边形 ABCD 边 AD、DC 上的点，设
AB =
a ，
AM =
b ，
BC =
c ，
CN =
d ，分别用向量
a 、
b 、
c 、
d 来表示
BM 、
BN 、
MN .
abBM
，
BN =
c +
d ，
MN =
BN -
BM =
c +
d -（
b -
a ）=
c +
d -
b +
a .
本题进一步帮助学生理解向量加法、减法的三角形法则，学生根据图形特征建立向量关
系式.
A
CB
D
M
N
a
b
d
A
CD
A
B C
D
b
c
a
c
B
4
例 2、向量加减混合运算的作图
1、已知向量
a 、
b 、
c ，求作：
a
b
（1） （2）
在平面内任取一点 O，作向量
OA=
a ，作向量
OB =
b ，则
BA
a
b .
既然减去一个向量可以看成是加上这个向量的相反向量，那么这一题还有没有其他作法？
我们可以把
a
b 转化为
(a
b ），然后利用向量加法的三角形法则来作图.
(2）平行向量也同样如此.
【课堂练习 3】已知向量
a 、
b 、
c ，求作：
a
b
(1) (2)同向共线
2、已知向量
a 、
b 、
c ，求作：
a
b +
c .
进行向量加减混合运算时，运算顺序的规定是与数的运算顺序一样的，按照从左到右的顺
序进行运算可以如下作图：
在平面内任取一点 O，作向量
OA=
a ，作向量
OB =
b ，则
BA
a
b ，
再作向量
cAC ，然后作
BC ，则
BC =
BA
AC
a
b +
c ；
既然减去一个向量可以看成是加上这个向量的相反向量，那么这一题还有没有其他作法？
我们可以把
a
b +
c 转化为
(a
b ）+
c ，然后利用向量加法的多边形法则来作图.
a
a
b
b
O
A
B
b
O
A
B
a
b
O
A
b
a
A
O B
a
b
为所求作的向量.
BA
B
a
b
a
a
b
c
a
b
c
O
A
B
C
为所求作的向量.
BA
b
a
5
向量
oc 为所求作的向量.
向量加法满足交换律，我们也可以通过
a
b +
c =
a
c -
b 来作.
【课堂练习 4】已知向量
a 、
b 、
c ，求作：
a
b
c
我们知道：
a
b
c =
(a
()b
c ）；
在平面内任取一点 O，顺次作向量
OA =
a ，
AD
b ，
cDF ，再作向量
OF ，则
OF =
OA
DFAD
(a
b )+ )(
c =
a
b
c ；
因此，几个向量相加减通常转化为几个向量相加，再用多边形法则作图.
例 3、化简下列各式:
(1)
MPMNQPNQ (2) )()(
BDACCDAB
解：
MPMNQPNQ =
0PNNP .
)()(
BDACCDAB =
0ADADCDACBDABBDACCDAB ）（
向量的加法和减法运算我们既要熟悉通过作图来求出向量，也要从符号表示的角度能熟
练地进行化简和运算，同时还能熟练地运用交换律和结合律进行灵活的变形.
【课堂练习 5】
(1)
BCACAB (2)
OCBCOA (3）
五、课堂小结：(略)
六、回家作业：练习册 22.9（1）
A
O
B
a
c
b
C
A
CB
a
c
b
O
a
b
c
O
A
D
F
)()(
BDACCDAB
6
b
a
b
c
a
c
D
22.9 （1)平面向量的减法学习单
【课堂练习 1】如图，四边形 ABCD 中，向量
BA=
a ，向量
AD =
b ，向量
BC =
c ，试用
a 、
b 、
c 来表示向量
BD、向量
CD .
【课堂练习 2】已知点 M、N 分别是平行四边形 ABCD 边 AD、DC 上的点，设
AB =
a ，
AM =
b ，
BC =
c ，
CN =
d ，分别用向量
a 、
b 、
c 、
d 来表示
BM 、
BN 、
MN .
【课堂练习 3】已知向量
a 、
b 、
c ，求作：
a
b
(1)
【课堂练习 4】已知向量
a 、
b 、
c ，求作：求作：
a
b
c .
【课堂练习 5】
(1)
BCACAB (2)
OCBCOA (3）
b
a
b
a
DA M
N
C
a
B
b
d
c
A
B C
)()(
BDACCDAB
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