因数与倍数
考试要求：
.
.
.
质因数构成的分析
数最大公因数与最小公倍
因数个数
知识模块：
.1
.1
.(0
是所有整数的因数特别的是，
，最大的一个是其本身限的，最小的一个是一个数的因数个数是有
的约数）或的因数就叫做的倍数，就叫做整除，能被数数
因数与倍数：
aabbabba
.把，
有数中出现在 ，就是求出一般地，求最大公因数
. b)( 的最大公因数用符号b、做
其中最大的一个，做数，几个数公有的
公因数和最大公因
所得的积这些最低次质因数相乘再低次后
的最所每个质因数
，表示为；整数这几个数的最大公因数
叫这几个数的公因数；叫因
数
aa
.乘因数些把，
有数中出现因数在个，就是求出一般地，求最小公倍数
. b] [ 的最小公倍数用符号b、
其中最小的一个，的公倍数几个数公有的倍数
所得的积相最高次质这再高次后
的最所质每
，表示为数；整数做这几个数的最小公倍
叫；，叫做这几个数
公倍数和最小公倍数
aa
.，1数的最大公因数是如果互质 那么这两个数是互质数两个数：
.数最大一定是个数的公：3定理
b用字母表示
积.这两个数积 最大公因数的乘两个数2定理
.1=）d÷b，d÷ ，那么d=）b即如果（
.最大公因数，自然数 ：两1定理
数定理和最大公公
公因数的因数这两个因数两
，，：
的乘等于的最小公倍数与：
（，
所得商是互质数分别除以它们的个
因因数
babaa
aa
.4
.
3
.2
.1
们最大公因数的倍数：两个数的和与差是它性质
数的最大公因数乘以
数等于这几个，所得的积的最大公因然数：几个数都乘以一个自性质
数的因数是这几个数的最大公因：几个数的公因数，都性质
个商是互质数最大公因数，所得的几：几个数都除以它们的性质
最大公因数性质
n
n
.
.][
][3
][2
][1
][
pNM
pNM
NMpp
NMNMNMNMp
NMNMnmppNM
nmpNM
nmpnNpmMpNM
，其中
之差的因数与最大公因数，最小公倍数
之和的因数；，与最小公倍数是最大公因数最大公因数
的因数；，，，，，是最大公因数
；，，
，则有：，那么
互质，、，且，，即的最大公因数是、如果整数
数之间的基本关系：最大公因数和最小公倍
.][][
).(
ba
bababa
baba ，，或，，公式：
欧基里德算法
辗转相除法：
分解质因数法：
短除法：
枚举法：
最小公倍数：
公倍数：
倍数：
最大公因数：
公因数：
因数：
..
..
数需要化成假分数需注意的是，要将带分数是则这组分数的最小公倍
，的最大公因数，再求出各个分数分母小公倍数求出各个分数分子的最
数方法：求一组分数的最小公倍
数需要化成假分数需注意的是，要将带分数是则这组分数的最大公因
，的最小公倍数，再求出各个分数分母大公因数求出各个分数分子的最
数方法：求一组分数的最大公因
n
m
nm
p
q
pq
.)(
.
.111
,
.
,,
.
,
..1
,
22
10
2
1
2
0
21
1
1
0
1
21
321321
21
321
n
n
p
nnn
pp
n
n
p
n
ppp
NVNVN
aaaaaaaaaSN
pppnN
N
aaaaaaaaN
n
n
则完全平方数的因数积，的因数积
的因数和
的因数个数
的质因数），则所求：是合数
、、、、（其中：用分解质因数形式表示
数个数作指数所得的幂得数作底数，且合数因
所得到数的积等于，先将开方是完全平方数，则它因需注意的是，如果合数
指数所得的幂；且它因数个数的一半作等于这个合数为底数一个合数因数的积
求因数的积方法：
积因数的和相乘所得到的
的所有中每个质因数最高次幂等于它的质因数分解式一个合数因数的和
求因数的和方法：
方数有奇数个因数特别注意的是：完全平连乘的积加
即指数中每个质因数的个数等于它的质因数分解式一个合数因数的个数
求因数的个数方法：
1．(1) 请写出 105 的所有约数； (2) 请写出 72 的所有约数．
2．(1) 20000 的约数有多少个？ (2) 720 的约数有多少个？
3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260].
4．两个数的差是 6，它们的最大公约数可能是多少？
5．(1)求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数； (2)求 3553，3910 和 1411 的最大公
约数．
6．教师节到了，校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工．请问：
用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？
7．一块长方形草地，长 120 米，宽 90 米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都
要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？
8．甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90.如果甲数是 18，那么乙数是多少？
9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的 27 倍．已知甲数是 2、4、6、8、10、12、
14、16 的倍数，但不是 18 的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？
10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最
小公倍数是 70.这三个数的和可能是多少？
11．72 共有多少个约数？其中有多少个约数是 3 的倍数？
12．5400 共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．
13．两数乘积为 2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1．这两个数分
别是多少？
14．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36].
15．1547、1573、1859 这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？
16．张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们，最后剩下 9 个苹果、
26 个梨和 6 个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？
17．一个数和 16 的最大公约数是 8，最小公倍数是 80.这个数是多少？
18．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是 216.这两个数分别
是多少？
19．两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，那么较小的数是
多少？
20．有 4 个不同的正整数，它们的和是 1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？
21．甲、乙两个数的最小公倍数是 90，乙、丙两个数的最小公倍数是 105，甲、丙两个数的
最小公倍数是 126.请问：甲数是多少？
22．甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数 2 和 3，并且都有 12 个约数，它们
的最大公约数是 12.请问：甲、乙两数之和是多少？
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