专题九 直线与圆的方程
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CONTENTS
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
必备知识 全面把握
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
1．直线的倾斜角和斜率的概念
（1)倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向
上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规
定它的倾斜角为0.
(2)斜率：不等于 的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即
斜率的取值范围是全体实数R.
(3)斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝tan α
＝x1－x2(y1－y2)(α为直线的倾斜角)．
(1)确定一条直线需要两个条件，即两个定点．第二个定点起的作用是确定直线
的方向．直线的方向用代数的形式刻画出来就是直线的倾斜角．倾斜角的大小准确、直
观地刻画了直线的倾斜程度．每条直线都有唯一确定的倾斜角．
(3)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，
求倾斜角α的范围，实质是在 上解关于正切函数的三角不等式，可借助正
切函数的图像来解决此类问题．
(2)垂直于x轴的直线没有斜率．若斜率存在，倾斜角不同，斜率也不同．斜率k的值与
P1，P2两点的顺序无关，x，y在公式中的次序可以同时改变，但比值不变．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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2．直线方程的五种表示形式
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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(1)解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”．
(2)“斜截式”最能体现直线的函数性质(一次函数，一次项系数是斜率)，“斜
截式”中所含的参数有2个，而其他各种形式中是3个或2个，所以用待定系数法
求直线方程时多设为“斜截式”．
(3)“截距式”中截距不是距离，它可正可负也可为0，在两坐标轴上截距相等
的直线斜率为－1或过原点．
(4)“两点式”的变形(“积式”)：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)能表示所有的
直线．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
2．直线方程的五种表示形式
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3．两条直线的位置关系
在判定两条直线平行或垂直时， 不要忽略斜率不存在的情形．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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4．两直线的交点
设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2
＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组 的解．
若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组
无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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5．距离
(1)两点间的距离：平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式d(A，
B)＝|AB|＝ .
(2)点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2
＝0间的距离d＝ .
2
21
2
21 -)-( yyxx
22
21 -
BA
CC
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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方法1 求直线的斜率及倾斜角范围的方法
1．求斜率的常用方法
(1)已知直线上两点时，由斜率公式 求斜率．
(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由 求斜率．
(3)直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率
2．求倾斜角α的取值范围的一般步骤
先求出斜率k的取值范围，再由k＝tan α及三角函数的单调性，确定倾斜
角的取值范围，注意斜率不存在的情况．
核心方法 重点突破
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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【答案】[0，＋∞)
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，若直线l不经过
第四象限，则k的取值范围为________．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
【解析】直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的
截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则 解得k≥0，
∴k的取值范围是[0，＋∞)．
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曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
【解析】设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))．
∵y′＝3x2－1≥－1，∴tan θ≥－1，结合正切函数的图像可知，θ的取
值范围为
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
【答案】
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方法2 求直线方程的方法
点的坐标确定直线的位置，斜率确定直线的方向，
也就是说，要确定直线的方程，只需找到两个点的坐标或一个点的坐标与过
该点的直线的斜率即可．因此确定直线的常用方法有两种：
(1)待定系数法，先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数；
(2)直线系法，先根据一个已知条件设出直线系方程，再根据另一个条件来
确定直线的参数值．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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1．待定系数法
待定系数法是求直线方程的基本方法，其中要注意有时我们对参数“设而不求”，有
时需要“巧设坐标”，有时需要借助定比分点公式、面积公式等，总之要灵活处理．
已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，求过两点
Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程．
【解】∵P(2，3)在已知直线上，
∴2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0.
故所求直线方程为y－b1＝ ，即2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，
∴2x＋3y＋1＝0.
∴过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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2．直线系法
设 ：ax＋by＋c＝0，那么
(1)与 平行的直线系是ax＋by＋m＝0(m≠c)；
(2)与 垂直的直线系是bx－ay＋n＝0.
设l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0，l1与l2相交于P点，
则过交点P的直线系方程为(a1x＋b1y＋c1)＋λ(a2x＋b2y＋c2)＝0.
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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正方形的中心在原点，若它的一条边所在的直线方程为3x＋4y － 5＝0，求这
个正方形的其他边所在的直线方程．
【解】根据正方形的性质可设与已知直线平行的一边所在的直线方程为 ＋ ＋λ ＝
，与已知直线垂直的边所在的直线方程为 － ＋λ ＝
由于正方形的中心到四边的距离相等，
∴λ ＝ λ ＝－ 时与所给直线重合 ，λ ＝±
故所求的直线方程分别为 ＋ ＋ ＝ ， － ＋ ＝ ， － － ＝
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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方法3 对称问题的解法
1．点关于点对称
若点M(x1，y1)和点N(x2，y2)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
2．直线关于点对称
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标，
再由两点式求出直线方程；
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线的方程．
3．点关于直线对称
若点P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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4．直线关于直线对称
设直线l1关于直线l的对称直线为l2，
(1)当l1与l相交时，则l2必过交点．再求出l1上某个点P1关于对称轴l对称
的点P2，那么由交点及点P2即可求出直线l2的方程．
(2)当l1∥l时，借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l2的方程，
再利用两平行直线间的距离公式列出方程，解得直线l2方程中的常数项，
从而得l2的方程．
5．求解对称问题的关键点
①已知点与对称点的连线与对称轴垂直．
②以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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(1)求直线y＝－4x＋1关于点M(2，3)对称的直线方程；
(2)求点A(－2，3)关于直线l：3x－y－1＝0对称的点A′的坐标；
(3)求与直线2x＋y－4＝0关于直线x－y＋1＝0对称的直线的方程．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
【解】(1)方法一：
两条直线关于点M对称，则其中一条直线上任意一点关于M的对称点在另一条直线上，利用中点坐
标公式可由两个对称点中的一个点的坐标表示另一个点的坐标．
设P(x，y)是待求直线上任意一点，Q(x0，y0)为点P关于点M(2，3)的对称点，
则点Q在直线y＝－4x＋1上，即y0＝－4x0＋1，
代入y0＝－4x0＋1中，得4x＋y－21＝0.
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方法二：
由中心对称定义可知，若两条直线关于点M对称，则它们是一对与定点M距离相等的平行
直线，利用两平行直线斜率相等及点到直线的距离公式即可求出所求直线方程．
将已知直线方程y＝－4x＋1化为4x＋y－1＝0.
设所求直线方程为4x＋y＋c＝0，
则42＋12(|4×2＋3＋c|)＝42＋12(|4×2＋3－1|)，
整理，得c＝－21或c＝－1(舍去)．
故所求直线方程为4x＋y－21＝0.
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
(1)求直线y＝－4x＋1关于点M(2，3)对称的直线方程；
(2)求点A(－2，3)关于直线l：3x－y－1＝0对称的点A′的坐标；
(3)求与直线2x＋y－4＝0关于直线x－y＋1＝0对称的直线的方程．
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方法二：
写出AA′的垂直平分线的方程，利用它与l重合，求出A′的坐标．设所求点A′的坐标为(x0，y0)，
则线段AA′的垂直平分线的方程是
整理，得2(x0＋2)x＋2(y0－3)y(x02＋y02－13)＝0.
此方程即为直线l的方程，于是
所以点A 关于直线l对称的点为A′(4，1)
(2)方法一：
由题意，直线AA′的方程为
与3x－y－1＝0联立解得它们的交点的坐标为P(1，2)．
∵A，A′关于直线l对称，也关于点P对称，∴A′(2×1－(－2)，2×2－3)，即A′(4，1)．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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(3)方法一：
两条直线关于一条定直线成轴对称，则这两条直线中的任何一条直线上的任意一点关于对
称轴的对称点必在另一条直线上，对称轴是这两点连线线段的垂直平分线，由此可写出两点
坐标间的关系式，用代入法写出直线的方程．
设P(x，y)是待求直线上任意一点，Q(x0，y0)是P关于直线x－y＋1＝0的对称点，则Q在直
线2x＋y－4＝0上，
由轴对称图形的性质有
代入2x0＋y0－4＝0，得x＋2y－5＝0.
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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方法4 两条直线位置关系问题的解法
判断两直线的位置关系时，注意：
①讨论直线的斜率是否存在，②在斜率相等时，需对两直线是否重合讨论．
解答这类问题时要根据直线方程中的系数进行分类讨论，求出结果后再代入直线方程中进行检验．
1．两直线是否具有公共点问题
两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0是否有公共点的问题转化为对
方程组 解集的讨论．
当解集为∅ ，即l1与l2无公共点时，l1∥l2；
当解集有唯一元素，即l1与l2有唯一公共点时，l1与l2相交；
当解集有无数多个元素，即l1与l2有无数个公共点时，l1与l2重合．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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2．两直线平行、重合、相交的条件
若l1：a1x＋b1y＋c1＝0(a1b1≠0)，l2：a2x＋b2y＋c2＝0(a2b2≠0)，则
①l1∥l2(或重合) a1b2－a2b1＝0；
②l1与l2相交 a1b2－a2b1≠0，
l1与l2垂直 a1a2＋b1b2＝0.
若l1，l2斜率都存在，且l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
③l1∥l2(或重合) k1＝k2；
④l1与l2相交k1≠k2，l1与l2垂直k1k2＝－1.
应特别注意：结论③④使用的前提是l1，l2斜率都存在，而结论①②却没有这个限制．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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根据下列每组直线的方程判断两条直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．
(1)l1：3x－2y－6＝0，l2：9x＋4y＋7＝0；
(2)l1：3x－2y－6＝0，l2：4y－6x－3＝0.
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
【解】(1)解方程组
故直线l1，l2相交于点
(2) ∴k1＝k2.又b1≠b2，
故直线l1，l2平行．
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设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交
于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值是______．
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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考法1 求直线方程
求符合下列条件的直线方程：
(1)过点P(3，－2)，且与直线4x＋y－2＝0平行；
(2)过点P(3，－2)，且与直线4x＋y－2＝0垂直；
(3)过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．
考法例析 成就能力
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
[课标全国Ⅰ2014·20]已知点A(0，－2)，椭圆E： 的离心率为 ，
F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
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考法2 判断直线与直线位置关系及相关问题
【解析】由直线ax＋y＋7＝0与4x＋ay－3＝0平行，可得
解得a＝±2，故选B.
【答案】B
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
直线ax＋y＋7＝0与4x＋ay－3＝0平行，则a＝( )
A．2 B．2或－2 C．－2 D．
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已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若
l1⊥l2，则a＝( )
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
【答案】B
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考法3 两条直线的交点与距离问题
设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A, P,Q分别为l1，l2
上任意两点，点M为PQ的中点．若 则m的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
【答案】A
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
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考法4 对称问题
一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射
光线所在直线的斜率为( )
【解析】点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，由题知反射光线所在直线的斜率存在，
故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，化为kx－y－2k－3＝0. ∵反射光线所在直线与圆
(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
∴圆心(－3，2)到反射光线所在直线的距离d＝
化为24k2＋50k＋24＝0， 或
【答案】D
考点一 直线的方程、两条直线的位置关系
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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1．圆的两种方程形式
必备知识 全面把握
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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2．点与圆的位置关系有三种：圆外、圆上、圆内
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d>r,点在圆外；d=r，
点在圆上；dr，圆心距d＝|O1O2|，则
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
判断方法有两种：
方法一：若圆C1与圆C2的半径分别为r和R，则
当0＜|C1C2|＜|R－r|时，两圆内含；
当|C1C2|＝|R－r|时，两圆内切；
当|R－r|＜|C1C2|＜R＋r时，两圆相交；
当|C1C2|＝R＋r时，两圆外切；
当|C1C2|＞R＋r时，两圆外离．
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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方法二：联立两个圆的方程，得方程组x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，(x2＋y2＋D1x
＋E1y＋F1＝0，)消去x2，y2，得到一个二元一次方程，然后代入其中一个圆的
方程得到一个一元二次方程．利用判别式Δ的值判断两圆的位置关系：
(1)当r1＝r2时，不会出现内切、内含或同心圆的情况．
若d＝0且r1＝r2，则两圆重合．
(2)对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来
判断，有时得不到确切的结论．
如当Δ0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的
圆系方程：
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)
(该圆系不含圆C2，解题时，要注意检验圆C2是否满足题意)．
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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6．两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 ①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 ②，
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，
得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0 ③.
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线
方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得
到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单且易求．
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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方法1 圆的方程的解法
求圆的方程的一般步骤
(1)根据已知条件选择圆的方程形式．由已知条件易得到圆心坐标
和半径时，选用标准方程；已知条件与圆心、半径关系不密切时，
选用一般方程．
(2)根据已知条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．
(3)解方程组，代入所设方程即可．
核心方法 重点突破
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上；
(2)圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上；
(3)经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)．
【解】(1)设圆心为(a，b)，∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆经过A，B两点，
∴圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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(2)设所求圆的圆心为C(a，b)，
∵|CA|＝|CB|＝r，点C在直线3x－y－2＝0上，
∴所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
(3)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点坐标代入，
整理，得
∴所求圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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方法2 圆的切线方程的解法
(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程
①几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k·(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆
心到直线的距离等于半径，可求出k的值，进而写出切线方程．当斜率不存在时要进行验证．
②代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k·(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆
的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．当斜率不存在时
要进行验证．
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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(3)在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该
点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
已知点 点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
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考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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方法3 与圆有关的最值问题的解法
与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略
(1)最小圆(圆的面积最小)问题，可转化为求半径最小值问题；
(2)圆上的点到圆外的点(或直线)的距离的最值，应先求圆心到圆外的点(或直线)的距离，
再加上半径长或减去半径长求得最值；
(3)形如μ＝x－a(y－b)的最值问题，可转化为过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题；
(4)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解；
(5)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题．
考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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考点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
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方法4 直线与圆位置关系的判断的应用
已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
【解析】方法一(代数法)：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时显然l与C相交．当
直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)．
由x2＋y2－4x＝0，(y＝k(x－3)，)消去y，得(k2＋1)x2－(6k2＋4)x＋9k2＝0.因为判别式
Δ＝[－(6k2＋4)]2－4(k2＋1)·9k2＝12k2＋16>0，所以l与C相交．
方法二(几何法)：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时显然l与C相交．当直线l的斜
率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)．因为圆心(2，0)到直线y＝k(x－3)的距离d＝ 0，即32(1－k2)＞0，解得－1
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