17.4 一元二次方程的根与系数的关系
【教学目标】
【知识与技能】
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用;
2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题.
【过程与方法】
培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.
【情感态度】
1.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2.培养学生去发
现规律的积极性及勇于探索的精神.
【教学重点】
根与系数的关系及其推导.
【教学难点】
正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程
两根的和，两根的积与系数的关系.
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
同学们，我们在前面学习了用求根公式法解一元二次方程.你能说说一元二
次方程的求根公式吗？
ax2+bx+c=0(a≠0)，当 b2－4ac≥0，
则
a
acbbx 2
42－－＝
它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有
更深一层的联系呢？
这就是我们这节课研究的内容：一元二次方程根与系数的关系
【教学说明】通过回顾求根公式，使学生明确方程的根与系数存在一定的关
系，同时也为后面推导根与系数的关系奠定基础.
二、合作探究，探索新知
1.思考填表，解出下列各方程的两根 x1 和 x2，并计算 x1+x2 和 x1·x2 的值.
方程
两个根 两根
之和
两根
之积
a 与 b
之间
关系
a 与 c
之间
关系
x1 x2 x1+x2 x1x2 － a
b
a
c
x2＋3x－4=0 －4 1 －3 －4 －3 －4
x2－5x＋6=0 2 3 5 6 5 6
2x2＋3x＋1=0 －
2
1 －1 －
2
3
2
1 －
2
3
2
1
2.从上面表格中观察以上方程，根与系数的关系有什么规律？你能猜想一般
的一元二次方程的根与系数存在什么样的关系呢？
3.猜想：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 是常数且 a≠0)的两根为 x1、
x2，则 x1+x2= － a
b ,x1x2=
a
c
【教学说明】 通过填表计算，使学生有一个具体的印象，然后让学生猜想
根与系数的关系，教师进行总结，形成相应的知识点.
4.那么你能证明这个结论吗？
学生尝试证明：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 是常数且 a≠0，b2-4ac
≥0 中，
这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所
以我们又称之为韦达定理.
5.当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标准形式为 x2+px+q=0.设它的
两个根为 x1，x2,这时韦达定理应是：x1+x2=-p,x1x2=q.
【教学说明】 通过推理证明，加深学生对根与系数关系的理解和记忆，在
这里要特别注意强调 a≠0 且 b2-4ac≥0 这一条件.
随堂练习：直接运用根与系数的关系
不解方程，求下列方程两根的和与积。
（1）x2―6x―15＝0
（2）3x2＋7x―9＝0
（3）5x―1＝4x2
（4）4x2―7x＋1＝0
（5）2x2＋3x＝0
（6）3x2＝1
三、示例讲解，掌握新知
例 1.已知方程 x2－(k＋1)x＋3k＝0 的一根是 2，求它的另一根及 k 的值。
解法一：设方程的另一根为 x1
由根与系数的关系，得
解这个方程组，得
答：方程的另一根是－3，k 的值为－2。
解法二：设方程的另一根为 x1
把 x=2 代入方程，得 4－2（k＋1）＋3k＝0
解这个方程，得 k＝－2
由根与系数的关系，得 x1·2＝3k
即 2 x1＝－6，∴x1＝－3
x1＋2＝k＋1
x1·2＝3k
x1＝－3
k＝－2
答:方程的另一根是－3，k 的值为－2。
从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？
【教学说明】通过两种方法的比较，来认识利用根与系数的关系解题的简洁
性，同时加深对它的记忆和应用.
例 2 方程 2x2－3x＋1＝0 的两个根记作 x1，x2,不解方程，求 x1－x2 的值.
解 由韦达定理得
x1＋x2＝
2
3 , x1x2＝
2
1
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝（
2
3 ）2－4×
2
1 ＝
4
1
∴x1－x2＝±
2
1
【教学说明】这是对根与系数关系的复杂应用，教师要先进行引导，强调学
生先算什么，再算什么，怎样灵活运用根与系数的关系解决问题.
四、练习反馈，巩固提高
1.方程 x2-2x-1=0 的两个实数根分别为 x1、x2，则 x1x2-x1-x2= .
2.设方程 x2-3x-4=0 的两个根为 x1、x2，求下列各式的值.
(1)
2
2
2
1 xx ＋ ; (2)
21
11
xx
＋ ;
【教学说明】教师先强调解题的步骤，然后再让学生独立完成，教师对出现
的问题及时进行纠正和强调.
五、师生互动，课堂小结
1.对于 ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，若 b2－4ac≥0，两根为 x1，x2.
2.根与系数关系使用的前提是：
（1）是一元二次方程，即 a≠0;
（2）方程为一般形式.即形如：ax2+bx+c=0;
（3）判别式大于等于零，即 b2－4ac≥0
【教学说明】教师引导学生进行回顾，重点是对根与系数关系的记忆，还要
强调容易忽略的三个问题.
六、课后作业
1. P40 习题 17.4 第 1、2、3 题。
2. 完成同步练习册中本课时的练习。
七、教学反思
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