专题 3.5 高考模拟训练卷五
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（2021·广东珠海市·高一期末）已知集合 4A x x ， 0,1,2,3,4,5,6B ，则 A B （ ）
A． 0,1,2,3 B．{ }5,6 C． 4,5,6 D． 1,2,3
【答案】A
【解析】
根据交集的定义，直接求交集.
【详解】
因为 4A x x ， 0,1,2,3,4,5,6B ，所以 0,1,2,3A B .
故选：A
2．（2021·全国高一课时练习）设 a－2＋(2a＋1)i 的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a＝（ ）
A．－3 B．－2
C．2 D．3
【答案】A
【解析】
根据实部与虚部的概念列式，即解得结果.
【详解】
由题意知，a－2＝2a＋1，解得 a＝－3.
故选：A.
3．（2021·广西南宁市·高三一模（文））若实数 x 、 y 满足约束条件
2 0
3 0
3 0
x y
x
x y
，则 z x y 的最大值为
（ ）
A．3 B．5 C． 6 D．8
【答案】D
【解析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线 z x y ，找出使得该直线在 x 轴上截距最大值时对应的最优解，
代入目标函数即可得解.
【详解】
作出不等式组
2 0
3 0
3 0
x y
x
x y
所表示的可行域如下图所示：
联立 3
2 0
x
x y
，解得 3
5
x
y
，即点 A 3,5 ，
平移直线 z x y ，当直线 z x y 经过可行域的顶点 A 时，该直线在 x 轴上的截距最大，
此时 z 取最大值，即 max 3 5 8z .
故选：D.
【点睛】
思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般
步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点
就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4．（2021·河南高三一模（理））函数 2 1 sin1 xf x xe
的部分图象大致形状是（ ）
A．
B． C．
D．
【答案】C
【解析】
判断函数的奇偶性，再根据指数函数的性质和正弦函数的性质，用特殊值法进行判断即可.
【详解】
2 11 sin sin1 1
x
x x
ef x x xe e
，显然定义域为全体实数集，
因为 1 1sin( ) ( sin ) sin1 1 1
1x x x
x x x
e e ef x x x x f xe e e
，
所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，因此排除 B、D，
当 0x 时，有 1xe ，因此当 (0, )x 时， sin 0x ，所以当 (0, )x 时， 0f x ，
显然选项 A 不符合，选项 C 符合，
故选：C
5．（2021·河南高三月考（理））某几何体的三视图如下图，则几何体的体积为（ ）
A．4 B． 4
3 C．2 D． 2
3
【答案】B
【解析】
首先由三视图求出原几何体，再计算体积即可求解.
【详解】
由三视图可知：原几何体是三棱锥 D ABC ，
该几何体嵌入棱长为 2 的正方体，
可得 1 1 1 42 2 2 23 3 2 3ABCD ABCV S ．
故选：B.
6．（2021 届海南高三一模）已知双曲线C ： 2 2 0x y ，则“ 1 ”是“直线 y x 是C 的一条
渐近线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当 1 时，双曲线方程为 2 2 1x y ，以渐近线方程为 y x ，满足充分性；
反之，双曲线的一条渐近线方程为 y x 时，任意的 0 均可，不满足必要性.
故选：A
7．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇
葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有
如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有
一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织 5
尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知 1 匹 4 丈，1 丈 10
尺，若这个月有 30 天，记该女子这一个月中的第 n 天所织布的尺数为 na ， 2 na
nb ，对于数列 na ， nb ，
则 5
2 10log
a
b
（ ）
A． 193
209 B． 209
193 C． 209
289 D． 289
209
【答案】C
【解析】
根据等差数列前 n 项和公式可求得每天织布数所成等差数列的公差，由等差数列通项公式得到 5a 和
10
2 10 2 10log log 2ab a ，作比即可得到结果.
【详解】
由题意知：一个月共织了390尺布，且每天的织布数成等差数列，设公差为 d ，
30 2930 5 3902 d ，解得： 16
29d ，
5
16 2095 429 29a ， 10
2 10 2 10
16 289log log 2 5 9 29 29
ab a ，
5
2 10
209
log 289
a
b
.
故选：C.
8．（2021·湖北高三月考）直线 1 0x y 经过椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左焦点 F ，交椭圆于 A 、B
两点，交 y 轴于C 点，若 2FC AC ，则该椭圆的离心率是（ ）
A． 10 2
2
B． 3 1
2
C． 2 2 2 D． 2 1
【答案】A
【解析】
求出椭圆的两个焦点坐标以及点 C 的坐标，由 2FC AC 求出点 A 的坐标，利用椭圆的定义求得 2a 的值，
进而可求得椭圆的离心率.
【详解】
由题意可知，点 ,0F c 在直线 1 0x y 上，即1 0c ，可得 1c ，
直线 1 0x y 交 y 轴于点 0,1C ，
设点 ,A m n ， 1,1FC ， ,1AC m n ，
由 2FC AC 可得
2 1
2 1 1
m
n
，解得
1
2
1
2
m
n
，
椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的右焦点为 1,0E ，则
2 21 1 101 02 2 2AE
，
又
2 21 1 21 02 2 2AF
， 10 22 2a AE AF ，
因此，该椭圆的离心率为
4 10 22 2 4 10 2
2 8 210 2 10 2
2
ce a
.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得 a 、 c 的值，根据离心率的定义求解离心率 e 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于 a 、 c 的齐次方程，然后转化为关于 e 的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
9．（2021·全国高三其他模拟）已知 aR ， 2 1 ln 0ax x a x 在 1 ,22x
上恒成立，则实数 a 的取值
范围为（ ）
A． 1, 2
B． 1 1,3 2
C． 1 ,3
D． 1, 3
【答案】D
【解析】
不等式 2 1 ln 0ax x a x 等价于 ( 1)( 1)ln 0x ax a x ，分类讨论 1 ,12x
， 1x 和 (1,2]x ，分
别求出实数 a 的取值范围，最后取交集即可.
【详解】
易知 2 1 ( 1)( 1)ax x a x ax a ，不等式 2 1 ln 0ax x a x ，即 ( 1)( 1)ln 0x ax a x .
当 1 ,12x
时， ln 0x ， 1 0x ，则 11 0 1ax a a x
，又 1 1 2,1 2 3x
，所以 1
2a ；
当 1x 时， ln 0x ，对任意的实数 a ，不等式恒成立；
当 (1,2]x 时， ln 0x ， 1 0x ，则 11 0 1ax a a x
，又
1 1,3 2
，所以 1
3a ；
综上，实数 a 的取值范围为 1, 3
.
故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查不等式恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数 a f x 恒成立( maxa f x 即可)或 a f x 恒成立（ mina f x 即可）；
②数形结合( y f x 图像在 y g x 上方即可)；
③讨论最值 min 0f x 或 max 0f x 恒成立.
10．（2020·高三期中）设定义在 R 上的函数 f x 的值域为 A，若集合 A为有限集，且对
任意 1 2x x R、 ，存在 3x R 使得 1 2 3f x f x f x ，则满足条件的集合 A的个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．无穷个
【答案】B
【解析】
根据定义确定元素范围，再分类讨论元素个数.
【详解】
解：若 A中最大元素为大于 1 的元素为 a ，则 2a a ，不满足题意，故 A中最大元素不超过 1，同理可得 A
中最小元素不小于 1
若集合 A中只有一个元素 a ，则 2 0,1 0 , 1a a a A A ，
若集合 A中有两个元素 , ( 1 1)a b a b ，则 2a a 或 2a b ，
当 2a a 时 0a （1 舍去），此时 2 1b b b 即 1,0A
当 2a b 时 0a ，因此 20, 1 1 1b ab a b a a （1 舍去）
即 1,1A
若集合 A中有三个元素 , , ( 1 1)a b c a b c ，则 2a a 或 2a b 或 2a c ，
当 2a a 时 0a （1 舍去），此时 2 2 2 2 2, , ,b a b b c a b c c c 或 2c b ，解得 1, 1c b a ，
舍去
当 2a b 时 2 20,1 0, ,a b b b b a ， 2 ,b c 2 1, 1c c c b ，矛盾，舍去
当 2a c 时 2 20,1 0, , 1, 1 , 0a c c c c a b b b ， 即 1,0,1A
若集合 A中有四个或四个以上元素 , , , , ( 1 1)a b c d a b c d ，则由上推导可得
1, 1, 0a d b c ，矛盾，即此时 A无解
综上所满足条件的集合 A可以为 0 , 1 ， 1,1 ， 1,0 ， 1,0,1 ，共 5 个，
故选：B
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
11．（2021·全国高二课时练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨
辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，
其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和.若在“杨辉三角”中从第二
行右边的 1 开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在
该数列中，第 35 项是__________.
【答案】171
【解析】
根据杨辉三角，总结出规律，确定其第 2k k 行的第三个数的通项，再确定第 35 项是第19 行的第三个
数，由通项公式，即可求出结果.
【详解】
由杨辉三角可得，第 2 行的第三个数为1；
第3行的第三个数为1 2 ；
第 4 行的第三个数为1 2 3 ；
第5行的第三个数为1 2 3 4 ；
……
因此第 2k k 行的第三个数为 1 2 3 ... 1k ，
而该数列的第 35 项是第19行的第三个数，
所以第 35 项是 18 1 181 2 3 ... 18 1712
.
故答案为：171.
12．（2021·江苏高一课时练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是 9 cm，表面积等于 144 cm2，则这个棱柱
的侧面积为________ cm2.
【答案】72 或 112
【解析】
设正四棱柱的底面边长为 a ，高为b ，则 2 22 9a b ， 24 2 144a b a ，从而解出 2 36a 或 2 16a ， 3b
或 7b ，从而求出其侧面积．
【详解】
解：设正四棱柱的底面边长为 a ，高为b ，则 2 22 9a b ，
24 2 144a b a ，
联立消b 可得，
4 2 2 28 (72 ) 81 4a a a ，
即 4 252 8 72 0a a ，
解得， 2 36a 或 2 16a ，
即 6
3
a
b
或 4
7
a
b
，
当 6a ， 3b 时，侧面积 4 72S ab ，
当 4a ， 7b 时，侧面积 4 112S ab ，
故答案为：72 或 112
13．（2021·全国高三专题练习）已知 51 1x axx
的所有项的系数的和为 64，则 a ______，展开式中
3x 项的系数为______.
【答案】1 15
【解析】
令 1x 可求得 1a ，求出 51x 展开式的通项即可得出结果.
【详解】
令 1x 得， 52 1 64a ，解得 1a ，
51x 的展开式的通项 5
1 5
r r
rT C x
，分别取 5 2r- = 与5 4 r ，得 3r ， 1r ，
所以 51x 的展开式中含有 2x 的项的系数为 3
5C ，含有 4x 的项的系数为 1
5C ，所以展开式中 3x 项的系数为
3 1
5 5 15C C .
故答案为：1；15.
14．（2020·全国高三专题练习（理））已知 4sin 5
, ( , )2
，且 ( )sin cos ，则
cos ________． tan( ) ________．
【答案】 3
5- 3
【解析】
根据同角三角函数的基本关系，结合 的范围可求出 cos 和 tan ，将sin( ) cos 按照两角和的
公式进行展开可得 tan ，根据两角和的正切公式可得结果．
【详解】
因为 4sin 5
, ( , )2
，所以 3cos 5
，则 4tan 3
，
由sin( ) cos ，得sin cos sin cos cos ，
显然 cos 0 ，则 3 4tan 15 5
，解得 1tan 3
，
则
1 4
tan tan 3 3tan( ) 31 41 tan tan 1 ( )( )3 3
，
故答案为： 3
5- ， 3 ．
15．（2021·中国农业大学附属中学高二期末）过点 (4,1)A 的圆 C 与直线 1 0x y 切于点 (0,1)B ，则圆C
的标准方程为________；圆C 截 y 轴所得的弦长为______________.
【答案】 2 2 82 + +1x y 4
【解析】
设圆心坐标为 C a b， ，根据两点间的距离和圆的几何性质建立方程组，解之可求得圆心坐标和圆的半径，
可得圆的标准方程，再令 0x ，可求得圆 C 截 y 轴所得的弦长．
【详解】
设圆心坐标为 C a b， ，则圆的半径为 22 1R a b ，又因为点 (4,1)A ，点 (0,1)B 在圆上，所以
2 2 22
2 2 22
4 + 1 + 1
0 + 1 + 1
a b a b
a b a b
，解得 2a ，
又直线 1 0x y 与直线 CB 垂直，所以 1 12 0
b
，解得 1b ，
所以圆C 的标准方程为 2 2 82 + +1x y ，
令 0x ，解得 1 23, 1y y ，所以圆 C 截 y 轴所得的弦长为 1 2 4y y ，
故答案为： 2 2 82 + +1x y ； 4 ．
16．（2021·全国高三专题练习（理））已知随机变量 X 有三个不同的取值，分别是 0，1，x，其中 (0,1)x ，
又 1( 0) 2P X ， 1( 1) 4 P X ，则当 x ________时，随机变量 X 的方差的最小值为________.
【答案】 1
3
1
6
【解析】
由分布列的性质，求得 1( ) 4P X x ，根据期望的公式，求得 1
4
xE X ，结合方差的计算公式，化
简得的
23 2 3
16
x xD X ，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】
由 1( 0) 2P X ， 1( 1) 4 P X ，可得 1( ) 4P X x ，
所以随机变量 X 的期望为 1 1 1 10 12 4 4 4
xE X x ，
则方差为
2
2 2 21 1 1 1 1 1 3 2 3(0 ) (1 ) ( )4 2 4 4 4 4 16
x x x x xD X x ，
所以当 1
3x 时，方差取得最小值，最小值为 1
6D X .
故答案为： 1
3
， 1
6 .
17．（2020·浙江高一期末）在平面内，已知 a
，b
是非零向量， e
是单位向量， 1a e
， 0b b e
，
则 a b 的取值范围是________.
【答案】 1 ,24
【解析】
设 , ,OA a OE e OB b ，可以得到 2OC b ，则由题意可知， , ,O A C 三点在半径为 1 的圆 E 上，作
DE AC 于 D ，设 ,AEC OED ，用 , ,EA EC EO
表示出 ,a b
，得出 a b 关于 , 的函数，
从而求出 a b 的范围.
【详解】
设 , ,OA a OE e OB b ，
由 1a e ，可知 A在以 E 为圆心，以 1 为半径的圆 E 上，
设b
与 e
的夹角为 ，
因为 0b b e ，所以 2
0b b e ，所以 cosb ，所以 BE OB ，
延长 OB 交圆 E 于C ，则C 在圆 E 上，且 1
2b OC ，
所以 1( ) ( )2a b EA EO EC EO
21[ ( ) ]2 EA EC EO EA EC EO ，
作 ED AC ，垂足为 D ，设 ,AEC OED ，
则 cos , 2EA EC EA EC ED ，
所以 ( ) 2cos cos2EA EC EO ，
所以 21 (cos 1 2cos cos ) cos cos cos2 2 2 2a b ，
当 2cos 12
且 cos cos 12
时， a b 取得最大值 2；
又 2 2 21 1cos cos cos (cos cos ) cos2 2 2 2 4
，
所以 2cos 1 且 1cos cos 02 2
时， a b 取得最小值 1
4
，
故答案为： 1[ ,2]4
.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（2021·河南平顶山市·高三二模（理）） ABC 的内角 A、 B 、C 的对边分别是 a 、b 、 c ，且 3b ，
2a c ， 2
3A ．
（1）求 ABC 的面积；
（2）求 sin A C 的值．
【答案】（1）15 3
4
；（2） 4 3
7
.
【解析】
（1）由余弦定理可得 2 2 19 2 3 2a c c
，又 2a c ，代入方程，可求得 c 值，代入面积公式，
即可求得答案.
（2）根据题意，可求得sin ,cosA A的值，根据正弦定理即可求得sinC 的值，根据同角三角函数的关系及
角 C 的范围，即可求得 cosC 的值，代入两角差的正弦公式，即可求得答案.
【详解】
（1）由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，所以 2 2 19 2 3 2a c c
．
因为 2a c ，所以 2 2 12 9 2 3 2c c c
，解得 5c ，则 7a ．
所以 ABC 的面积 1 1 3 15 3sin 3 52 2 2 4ABCS bc A
．
（2）由 2
3A 得 3sin 2A ．由正弦定理得 5 3sin sin 14
cC Aa
．
在 ABC 中，A 为钝角，所以C 为锐角．
所以 2 11cos 1 sin 14C C ．
所以 4 3sin sin cos cos sin 7A C A C A C ．
19．（2021·河南平顶山市·高三二模（理））如图所示的五面体中，四边形 ABCD 是正方形，平面 ADE 平
面CDEF ， 2 2AB ED EF ， 60EAD ．
（1）证明：平面 ADE 平面 ABCD ；
（2）求直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 105
35
．
【解析】
（1）证明CD 平面 ADE ，平面 ADE 平面 ABCD 即得证；
（2）取 AD 中点为O ，以 OA 所在直线为 x 轴，OH 所在直线为 y 轴， OE 所在直线为 z 轴建立空间直角
坐标系，利用向量法求出直线CF 与平面 BDE 所成角的正弦．
【详解】
（1）证明：取 ED 的中点G ，连接 AG ．
因为 AD AB ED ， 60EAD ，所以 ADE 是等边三角形．
所以 AG ED ,
又因为平面 ADE 平面CDEF ，且平面 ADE 平面CDEF ED ，
所以 AG 平面CDEF ，所以 AG CD ．
因为 CD AD ， AG AD A 所以CD 平面 ADE ．
又CD 平面 ABCD ，所以平面 ADE 平面 ABCD ．
（2）取 AD 的中点O ， CB 的中点 H ，连接 OE ，OH ．
由（1）可知， OE 平面 ABCD ，易知OE OA ，OA OH ，OE OH ，
以 OA 所在直线为 x 轴，OH 所在直线为 y 轴，OE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系．
则 0,0,0O ， 0,2,0H ， 1,2,0C ， 1,2,0B ， 1,0,0D ， 0,0, 3E ．
从而 2, 2,0BD ， 1,0, 3DE ， 0,2,0OH ．
因为 //AB CD ，CD 平面CDEF ， AB 平面 CDEF ，所以 //AB 平面CDEF
又因为 AB Ì平面 ABEF ，平面 ABEF 平面CDEF EF ，所以 //EF AB ．
所以 1
2EF OH ．易知 0,1, 3F ，所以 1, 1, 3CF
．
设平面 BDE 的法向量为 , ,n x y z ，则 0
0
n BD
n BD
即
2 2 0
3 0
x y
x z
不妨取 3x ，则 3y ， 1z ．所以 3, 3,1n ．
设直线CF 与平面 BDE 所成角为 ，
所以 3 3 3 105sin cos , 353 1 3 1 3 1
CF n
．
所以直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值为 105
35
．
【点睛】
方法点睛：直线和平面所成的角的求法：
方法一：（几何法）找 作（定义法） 证（定义） 指 求（解三角形），其关键是找到直线在平面内
的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.
方法二：（向量法）sin
AB n
AB n
，其中 AB
是直线l 的方向向量，n
是平面的法向量， 是直线和平面所
成的角.
20．（2021·浙江省武义第三中学高三月考）已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 2 *2 ( 2) ,n nS a n n N
（1）求证：数列 2 1na n 是等比数列，并求 na 的通项公式；
（2）设 1
na
的前 n 项和为 nT ，求证： *8 ,3nT n N .
【答案】（1）证明见解析， 2 2 1n
na n ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）构造等式 2
1 12 ( 3)n nS a n ( 2)n ，利用两式相减可得 12 2 5 2n na a n n ，再根据等比
数列的定义和通项公式可得解；
（2）当 1, 2n n 时，不等式显然成立，当 3n 时，利用
1 1 1 8
2 1 5 3 22 (1 ) 2 (1 )2 8
n
n nn
n
na
放大
后，根据等比数列的求和公式求和，然后再放大即可得证.
【详解】
（1） 22 ( 2) ,n nS a n 当 1n 时， 1 1 1 12 1 1S a a a
2n 时 2
1 12 ( 3)n nS a n .
两式相减，得 2 2
1 12 2 ( 2) ( 3)n n n n nS S a a a n n
得 12 2 5 2n na a n n ，
则
11
1 1 1
2 2 32 1 2 2 5 2 1 22 1 1 2 3 2 3
nn n
n n n
a na n a n n
a n a n a n
为常数
数列 2 1na n 是等比数列，首项为 1 2 1 2a ，
12 1 2 2 2n n
na n ，所以 2 2 1n
na n ，
（2）当 1n 时， 1
1
1 81 3T a
，
当 2n 时， 2
1 2
1 1 81 1 2 3T a a
，
当 3n 时，
1 1 1
2 12 2 1 2 1 2
n
nn
n
na n
，
令 2 1
2n n
nb ，则 1 1
2 1
2n n
nb
，
11
2 1
2 12
2 1 2(2 1)
2
nn
n
n
n
b n
nb n
，
因为 3n ，所以 2 1 2(2 1) 3 2 0n n n ，所以 2 1 2(2 1)n n ，
所以 1 1n
n
b
b
，所以 1n nb b ，所以当 3n 时，数列{ }nb 单调递减，
所以当 3n 时， 3
2 1 2 3 1 5
2 2 8n n
nb ，
所以当 3n 时，
1 1 1 8
2 1 5 3 22 (1 ) 2 (1 )2 8
n
n nn
n
na
，
所以当 3n 时， 3 4
8 1 1 11 1 3 2 2 2n nT
21 118 28 8 1 82 2 213 3 8 31 2
n
，
综上所述： *8 ,3nT n N .
【点睛】
关键点点睛：当 3n 时，利用
1 1 1 8
2 1 5 3 22 (1 ) 2 (1 )2 8
n
n nn
n
na
放大后再求和是解题关键.
21．（2020·全国高三专题练习（理））如图，O 为坐标原点，抛物线 2
1 : 2 ( 0)C y px p 的焦点是椭圆
2 2
2 2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右焦点， A为椭圆 2C 的右顶点，椭圆 2C 的长轴 8AB ，离心率 1
2e ．
（1）求抛物线 1C 和椭圆 2C 的方程；
（2）过 A点作直线l 交 1C 于 ,C D 两点，射线OC ，OD 分别交 2C 于 ,E F 两点，记 OEF 和 OCD 的面
积分别为 1S 和 2S ，问是否存在直线l ，使得 1 2: 3:13S S ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1） 2 8y x ；
2 2
116 12
x y ；（2）存在， 4 0x y .
【解析】
（1）根据已知条件先求解出椭圆方程中 ,a c 的值，则椭圆方程可求，根据抛物线与椭圆有一个相同焦点求
解出抛物线的方程；
（2）设出直线l 的方程 4x my ，将 2
1
S
S 利用三角形的面积公式表示为和 ,E Fy y 有关的形式，再分别求解
出 ,E Fy y 的相关表示，最后根据面积比的比值计算出 m 的值即可求解出直线l 的方程.
【详解】
（1）由题知， 4a ， 1
2
c
a
， 2c ， 2 2 2 3b a c ， 4p
所以抛物线 1C 的方程为 2 8y x
椭圆 2C 的方程
2 2
116 12
x y .
（2）由题知直线l 的斜率不为 0，设直线l 的方程为 4x my
2
28 8 32 0
4
y x y my
x my
设 1 1,C x y ， 2 2,D x y ，则 1 2 8y y m ， 1 2 32y y .
所以 2
1
1 | | | |sin | | | |2
1 | | | || | | |sin2
OC OD CODS OC OD
S OE OFOE OF EOF
1 2 32
F E FE
y y
y y y y
，
直线 OC 的斜率为
1 1
2
11 1
8
8
y y
yx y
，直线OC 的方程为
1
8y xy
.
由 1
2 2
8
116 12
y xy
x y
得
2
2 1 1 164 16 12
yy
，则
2
2 1 1 164 16 12E
yy
，
同理可得
2
2 2 1 164 16 12F
yy
，
所以
2 2
2 2 2 11 1 164 16 12 64 16 12E F
y yy y
，所以 2 2
2
36 256
121 48E Fy y m
，
要使 1 2: 3:13S S ，只需 2 2 232 121 48 13
36 256 3
m
，解得 1m ，
所以存在直线 : 4 0l x y 符合条件.
22．（2021·全国高三其他模拟）已知函数 2( ) xf x e ax x .
（1）当 1a 时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程；
（2）若函数 ( ) ( )F x f x x 有两个极值点 1x ， 2x ，求证： 2
1 2 (ln(2 ))x x a .
【答案】（1） ( 3) 1y e x ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）当 1a 时，可得 ( )f x 解析式，求导得 ( )f x 解析式，则可求得 (1)k f ， (1) 2f e ，代入直线方
程，化简即可得答案.
（2）函数 ( )F x 有两个极值点 1x ， 2x ，等价为 ( ) 0F x 有两个不相等的实数根 1x ， 2x .令 ( ) 2xh x e ax ，
分别讨论 0a 和 0a 两种情况，利用导数求得其单调区间和极值，可得 a 的范围，不妨设 1 2x x ，则
1 ln(2 )x a ， 2 ln(2 ) 1x a .令
24( ) ( ) (2ln(2 ) ) 4 4 ln(2 )x
x
aG x h x h a x e ax a ae
，利用导数判断其单调
性，结合基本不等式，分析整理，即可得证.
【详解】
解：（1）当 1a 时， 2( ) xf x e x x ，则 ( ) 2 1xf x e x ，
所以 (1) 3k f e ，又 (1) 2f e ，
所以切线方程为 ( 3)( 1) 2y e x e ，即 ( 3) 1y e x .
（2）由题意得 2( ) xF x e ax ，则 ( ) 2xF x e ax .
因为函数 ( )F x 有两个极值点 1x ， 2x ，
所以 ( ) 0F x 有两个不相等的实数根 1x ， 2x .
令 ( ) 2xh x e ax ，则 ( ) 2xh x e a .
①当 0a 时， ( ) 0h x 恒成立，则函数 ( )h x 为 R 上的增函数，
故 ( )h x 在 R 上至多有一个零点，不符合题意.
②当 0a 时，令 ( ) 0h x ，得 ln(2 )x a ，
当 ( ,ln(2 )) x a 时， ( ) 0h x ，故函数 ( )h x 在 ( ,ln(2 ))a 上单调递减，
当 (ln(2 ), )x a 时， ( ) 0h x ，故函数 ( )h x 在 (ln(2 ), )a 上单调递增.
因为函数 ( ) 0h x 有两个不相等的实数根 1x ， 2x ，
所以 min( ) (ln(2 )) 2 2 ln(2 ) 0h x h a a a a ，得
2
ea
不妨设 1 2x x ，则 1 ln(2 )x a ， 2 ln(2 ) 1x a .
又 (0) 1 0h ，所以 1 (0,ln(2 ))x a .
令
24( ) ( ) (2ln(2 ) ) 4 4 ln(2 )x
x
aG x h x h a x e ax a ae
，
则
2 24 4( ) 4 2 4 0x x
x x
a aG x e a e ae e
，
所以函数 ( )G x 在 R 上单调递增.
由 2 ln(2 )x a 可得 2 (ln(2 )) 0G x G a ，即 2 22ln(2 )h x h a x .
又 1x ， 2x 是函数 ( )h x 的两个零点，即 ( ) ( )1 2h x h x= ，
所以 1 22ln(2 )h x h a x .
因为 2 ln(2 )x a ，所以 22ln(2 ) ln(2 )a x a ，
又 1 ln(2 )x a ，函数 ( )h x 在 ( ,ln(2 ))a 上单调递减，
所以 1 22ln(2 )x a x ，即 1 2 2ln(2 )x x a .
又 1 2 1 22x x x x ，所以 1 22 2ln(2 )x x a ，因此 2
1 2 (ln(2 ))x x a .
【点睛】
解决本题的关键主要有三点：一是确定 1x ， 2x 的范围，为后续的灵活转化做准备；
二是能够想到构造函数 ( ) ( ) (2ln(2 ) )G x h x h a x ，并借助其单调性得到 2 22ln(2 )h x h a x ；
三是巧妙利用自变量的范围和函数 ( )h x 的单调性构建关于 1x ， 2x 的不等式.
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