小学奥数3-1-3 多人相遇和追及问题.学生版

多人相遇和追及问题 教学目标 1. 能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用 2. 根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图 3. 能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。 知识精讲 二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3 个或 3 个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕“  路程 速度 时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程 题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：  路程和 速度和 相遇时间；  路程差 速度差 追及时间 ； 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可 迎刃而解． 例题精讲 板块一、多人从两端出发——相遇、追及 【例 1】 有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米．现在甲从东村， 乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6 分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、 西两村之间的距离是多少米? 【巩固】 一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同地 同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【例 2】 在公路上，汽车 A 、B 、C 分别以80km / h ，70km / h ，50km / h 的速度匀速行驶，若汽车 A 从 甲站开往乙站的同时，汽车 B 、 C 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车 A 在与汽车 B 相遇后的 两小时又与汽车 C 相遇，求甲、乙两站相距多少千米？ 【巩固】 甲、乙、丙三人每分分别行 60 米、50 米和 40 米，甲从 B 地、乙和丙从 A 地同时出发相向而行， 途中甲遇到乙后 15 分又遇到丙．求 A，B 两地的距离． 【巩固】 小轿车、面包车和大客车的速度分别为 60 千米／时、48 千米／时和 42 千米／时，小轿车和大 客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后 30 分又遇到大客车。问：甲、 乙两地相距多远？ 【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走 75 米，甲乙从东镇 去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，求东西两 镇间的路程有多少米？ 【巩固】 小王的步行速度是 4.8 千米/小时，小张的步行速度是 5.4 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去. 小李骑自行车的速度是 10.8 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出发，在小张与小李相遇 后 5 分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 65 米，丙每分钟走 70 米，甲乙从东镇去 西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 1 分钟与甲相遇，求东西两镇 间的路程有多少米？ 【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲乙从东镇去 西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，求东西两镇 间的路程有多少米？ 【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 90 米，丙每分钟走 100 米，甲乙从东镇 去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 5 分钟与甲相遇，求东西两 镇间的路程有多少米？ 【巩固】 小王的步行速度是 5 千米/小时，小张的步行速度是 6 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李 骑自行车的速度是 10 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出发，在小张与小李相遇后 30 分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 【巩固】 甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟 480、540、720 米，甲、乙、丙 3 人同时动身， 甲、乙二人从 A 地出发，向 B 地行时，丙从 B 地出发向 A 地行进，丙首先在途中与乙相遇，3 分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙 3 人行完全程各用多长时间？ 【巩固】 甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针 方向行走。已知甲每小时行 7 千米，乙每小时行 5 千米，1 小时后甲、丙二人相遇，又过了 10 分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？ 【例 3】 甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，它们同时从 A 地出发到 B 地去，出 发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。 【巩固】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米．甲从东村，乙、 丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后 3 分钟又与丙相遇．求东西两村的距离． 【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米／时和 48 千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 5 时、6 时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车 相遇。求丙车的速度。 【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米／时和 48 千米 ／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6 时、7 时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。 求丙车的速度。 【例 4】 李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到 20.4 千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师 闻讯前往迎接，每小时比李华多走 1.2 千米。又过了 1.5 小时，张明从学校骑车去营地报到。结 果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？ 【例 5】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 40 米，丙每分钟走 60 米，甲、乙两人从 A、B 地同时出发相向 而行，他们出发 15 分钟后，丙从 B 地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了 7 分钟甲又和 丙相遇，又过了 63 分钟丙才追上乙，那么 A、B 两地相距多少米？ 【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发驶向 B 地，依次在出发后 5 小时、5 5 12 小时、6 1 2 小时与迎 面驶来的一辆卡车相遇。已知甲、乙两车的速度分别是 80 千米/时和 70 千米/时，求丙车和卡车 的速度。 【例 6】 一列长 110 米的火车以每小时 30 千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正 向北步行。14 时 10 分时火车追上这位工人，15 秒后离开。14 时 16 分迎面遇到一个向南走的 学生，12 秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？ 【巩固】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为 3.6 千米/时， 骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过 骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？ 【例 7】 甲、乙两人从相距 490 米的 A 、B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A 出发，在甲、 乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑 240 米，甲每分 钟走 40 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟走________ 米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米． 【例 8】 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次 遇到乙后又走了 1 分 15 秒遇到丙，再过 3 分 45 秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是 3: 2 ， 湖的周长是 600 米，求丙的速度． 【巩固】 甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时 5.4 千米， 乙速 度是每小时 4.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在 过 5 分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？ 【巩固】 池塘周围有一条道路． A 、 B 、 C 三人从同一地点同时出发． A 和 B 往逆时针方向走， C 往顺 时针方向走． A 以每分钟 80 米、 B 以每分钟 65 米的速度行走． C 在出发后的 20 分钟遇到 A ， 再过 2 分钟，遇到 B ．请问，池塘的周长是几米？ 【巩固】 甲从 A 地出发前往 B 地，1 小时后，乙、丙两人同时从 B 地出发前往 A 地，结果甲和丙相遇在 C 地，甲和乙相遇在 D 地．已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的 1.5 倍,A、B 两地之间的距 离是 220 千米，C、D 两地之间的距离是 20 千米．求丙的速度． 【例 9】 如图，C,D 为 AB 的三等分点； 8 点整时甲从 A 出发匀速向 B 行走，8 点 12 分乙从 B 出发匀 速向 A 行走，再过几分钟后丙也从 B 出发匀速向 A 行走；甲,乙在 C 点相遇时丙恰好走到 D 点， 甲,丙 8:30 相遇时乙恰好到 A．那么，丙出发时是 8 点________分． 【例 10】一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇 向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们 20 千米，当乙与丙相遇时，甲距他们 30 千米．当甲到 达西镇时，丙距东镇还有 20 千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇 千米． 【巩固】 甲、乙、丙、丁 4 人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点 78 米，乙距起点 27 米，丙距起点 23 米，丁距起点 16 米．那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳 米时，甲 距起点的距离刚好为乙、丙、丁 3 人距起点的距离之和． 【例 11】A、B 两地相距 336 千米，有甲、乙、丙 3 人，甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发相向而行， 已知甲每小时行 36 千米，乙每小时行 30 千米，丙每小时行 24 千米，问几个小时后，丙正好处 于甲、乙之间的中点？ 【巩固】 A B、 两地相距 432 千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发相向而行，已 知甲每小时行 36 千米，乙每小时行 30 千米，丙每小时行 24 千米，问几个小时之后，乙正好在 甲、丙两人的中点？ 【例 12】 A 、B 两地相距 203 米，甲、乙、丙的速度分别是 4 米/分、6 米/分、5 米/分。如果甲、乙从 A ， 丙从 B 地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙 与甲的距离的 2 倍。 板块二、多人从同一段出发——追及问题 【例 13】张、李、赵 3 人都从甲地到乙地．上午 6 时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走 5 千米， 李每小时走 4 千米．赵上午 8 时从甲地出发．傍晚 6 时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李 的时间是几时? 【巩固】 甲、乙、丙三辆车先后从 A 地开往 B 地，乙比丙晚出发 5 分，出发后 45 分追上丙；甲比乙晚出 发 15 分，出发后 1 时追上乙。甲和丙的速度比是多少？ 【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 分甲车超过了一名长跑运动员，2 分后 乙车也超过去了，又过了 2 分丙车也超了过去。已知甲车每分走 1000 米，乙车每分走 800 米， 丙车每分钟走多少米？ 【例 14】铁路货运调度站有 A、B 两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车。它们的车长正好构 成一个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好 位于 A 信号灯处，而车头则冲着 B 信号灯的方向。乙车的车尾则位于 B 信号灯处，车头则冲着 A 的方向。现在，三列火车同时出发向前行驶，10 秒之后三列火车的车头恰好相遇。再过 15 秒，甲车恰好超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全 错开一共用了几秒钟？ 【例 15】甲、乙、丙三人同时从 A 向 B 跑，当甲跑到 B 时，乙离 B 还有 20 米，丙离 B 还有 40 米；当乙 跑到 B 时，丙离 B 还有 24 米。问：（1） A， B 相距多少米？（2）如果丙从 A 跑到 B 用 24 秒， 那么甲的速度是多少？ 【巩固】 甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快 12 公里，比丙快 15 公里，甲行 3.5 小 时到达西村后立刻返回.在距西村 30 公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？ 【例 16】甲、乙、丙三车同时从 A 地沿同一公路开往 B 地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这 三辆车分别用 7 分钟、8 分钟、14 分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行 1000 米，丙车每分 钟行 800 米，求乙速车的速度是多少？ 【巩固】 快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这 3 辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小时走 20 千米， 那么，慢车每小时走多少千米? 【巩固】 快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用 6 分、9 分、 12 分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为 60 千米／时和 40 千米／时，求中速车的速度。 【例 17】甲从 A 地出发前往 B 地，1 小时后，乙也从 A 地出发前往 B 地，又过 1 小时，丙从 B 地出发前 往 A 地，结果甲和丙相遇在 C 地，乙和丙相遇在 D 地．已知乙和丙的速度相同，丙的速度是甲 的 2 倍,C、D 两地之间的距离是 50 千米．求乙出发 1 小时后距 B 地多少千米。 【例 18】甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走 10 米，比丙多走 31 米。上 午 9 点三人同时从学校出发，上午 10 点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场 310 米处遇 到乙。问： （1）从学校到体育场的距离是多少？ （2）甲与丙何时相遇（精确到秒）？ 【例 19】A，B 两地相距 105 千米，甲、乙两人分别骑车从 A，B 两地同时相向出发,甲速度为每小时 40 千米，出发后 1 小时 45 分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇 3 分钟 后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在 C 地追上乙．若甲以每小时 20 千米的速度，乙以每 小时比原速度快 2 千米的车速，两人同时分别从 A，B 出发相向而行，则甲、乙二人在 C 点相 遇，问丙的车速是多少?