小学奥数3-2-9 接送问题.学生版

接送问题 教学目标 1、准确画出接送问题的过程图——标准：每个量在相同时间所走的路程要分清 2、理解运动过程，抓住变化规律 3、运用行程中的比例关系进行解题 知识精讲 一、校车问题——行走过程描述 队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最 短时间，不要求证明。 二、常见接送问题类型 根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （1）车速不变-班速不变-班数 2 个（最常见） （2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数 2 个 （4）车速变-班速不变-班数 2 个 三、标准解法： 画图＋列 3 个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。 模块一、汽车接送问题——接一个人 【例 1】 某校和某工厂之间有一条公路，该校下午 2 时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用 1 小时．这 位劳模在下午 1 时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下 午 2 时 40 分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？ 【巩固】 张工程师每天早上8 点准时被司机从家接到厂里。一天，张工程师早上 7 点就出了门，开始步行 去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前 20 分钟。 这天，张工程师还是早上 7 点出门，但15 分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门 后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前 分钟到厂。 【例 2】 李经理的司机每天早上 7 点 30 分到达李经理家接他去公司。有一天李经理 7 点从家里出发去公 司，路上遇到从公司按时来接他的车，再乘车去公司，结果比平常早到 5 分钟。则李经理乘车 的速度是步行速度的 倍。（假设车速、步行速度保持不变，汽车掉头与上下车时间忽 略不计） 模块二、汽车接送问题——接两个人或多人 （一）、车速不变、人速不变 【例 3】 （难度级别 ※※※）A、B 两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A 连 有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A 连士兵坐 车出发一定时间后下车让卡车回去接 B 连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地 与目的地之间的距离为 32 千米，士兵行军速度为 8 千米/小时，卡车行驶速度为 40 千米每小时， 求两营士兵到达目的地一共要多少时间？ 【巩固】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是 4 千米/小时，学校有一辆汽 车，它的速度是每小时 48 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间 内到达公园，设两地相距150 千米，那么各个班的步行距离是多少？ 【例 4】 （难度级别 ※※）甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够 一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大 巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载 上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为 5 千米/ 小时，大巴车的行驶速度为 55 千米/小时，出发地到终点之间的距离为 8 千米，求这些学生到 达终点一共所花的时间. 【例 5】 海淀区劳动技术学校有100 名学生到离学校 33 千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘 25 人的中型面包车．为了让全体学生尽快地到达目的地．决定采取步行与乘车相结合的办法．已 知学生步行的速度是每小时 5 千米，汽车行驶的速度是每小时 55 千米．请你设计一个方案，使 全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时? 【例 6】 甲、乙两班学生到离校 39 千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为 了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某 地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班 学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的 10 倍，那么汽车应在距博物馆多少千米处返回 接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆？ 【例 7】 甲、乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为 了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某 地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学 生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的 7 倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接 乙班学生，才能使两班同时到达飞机场? 【例 8】 A 、 B 两地相距 22.4千米．有一支游行队伍从 A 出发，向 B 匀速前进；当游行队伍队尾离开 A 时，甲、乙两人分别从 A 、 B 两地同时出发．乙向 A 步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又 立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第 5 次追上 队头时恰与乙相遇在距 B 地 5.6 千米处；当甲第 7 次追上队头时，甲恰好第一次到达 B 地，那么 此时乙距 A 地还有__________千米． 【例 9】 A 、 B 两地相距 22.4 千米．有一支游行队伍从 A 出发，向 B 匀速前进；当游行队伍队尾离开 A 时，甲、乙两人分别从 A 、 B 两地同时出发．乙向 A 步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又 立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第 5 次追上 队头时恰与乙相遇在距 B 地 5.6 千米处；当甲第 7 次追上队头时，甲恰好第一次到达 B 地，那 么此时乙距 A 地还有______千米． （二）车速不变、人速变 【例 10】（难度级别 ※※）甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时 4 千米， 乙班步行的速度是每小时 3 千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时 48 千米，这辆汽车恰好 能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步 行的距离之比是多少千米？ （三）、车速变、人速不变 【例 11】甲、乙两班同学到 42 千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学， 已知学生步行速度相同为 5 千米／小时，汽车载人速度是 45 千米／小时，空车速度是 75 千米/ 小时．如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？ 【例 12】有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的 同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学 生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时 4 公里，载学生时车速每小时 40 公里，空车 时车速为每小时 50 公里．问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之 几？ 【例 13】某学校学生计划乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩，按照计划，旅行社的大巴准时从车站出发后 能在约定时间到达学校，搭载满学生在预定时间到达目的地，已知学校的位置在车站和目的地 之间，大巴车空载的时候的速度为 60 千米/小时，满载的时候速度为 40 千米/小时，由于某种原 因大巴车晚出发了 56 分钟，学生在约定时间没有等到大巴车的情况下，步行前往目的地，在途 中搭载上赶上来的大巴车，最后比预定时间晚了 54 分钟到达目的地，求学生们的步行速度． （四）、车速变、人速变 【例 14】（台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）甲、乙二人由 A 地同时出发朝向 B 地前进， A 、 B 两地之距 离为 36 千米．甲步行之速度为每小时 4 千米，乙步行之速度为每小时 5 千米．现有一辆自行车， 甲骑车速度为每小时10 千米，乙骑车的速度为每小时 8 千米．出发时由甲先骑车，乙步行，为 了要使两人都尽快抵达目的地，骑自行车在前面的人可以将自行车留置在途中供后面的人继续 骑．请问他们从出发到最后一人抵达目的地最少需要多少小时？ 模块三、汽车接送问题——借车赶路问题 【例 15】（难度级别 ※※※※※）三个人同时前往相距 30 千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都 是 5 千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为 10 千米每小时。 现先让其中一人先骑车，到中途某地后放车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段 后有放下让最后那人骑行，自己继续前进，这样三人同时到达甲地。问，三人花的时间各为多 少？ 【例 16】(全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛) A 、 B 两地相距 120 千米，已知人的步行速度是每小时 5 千米，摩托车的行驶速度是每小时 50 千米，摩托车后座可带一人．问：有三人并配备一辆摩托 车从 A 地到 B 地最少需要多少小时？(保留—位小数) 【例 17】兄弟两人骑马进城，全程 51 千米。马每时行 12 千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行 5 千 米，弟弟每时步行 4 千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马 的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此地，再上马前进。若他们早晨 6 点动身，则 何时能同时到达城里？ 【巩固】 （难度级别 ※）甲乙两人同时从学校出发去距离 33 千米外的公园，甲步行的速度是每小时 4 千米，乙步行的速度是每小时 3 千米。他们有一辆自行车，它的速度是每小时 5 千米，这辆车 只能载一个人，所以先让其中一人先骑车到中途，然后把车放下之后继续前进，等另一个人赶 到放车的位置后再骑车赶去，这样使两人同时到达公园。那么放车的位置距出发点多少千米？ 【巩固】 A 、 B 两人同时自甲地出发去乙地， A 、 B 步行的速度分别为100 米/分、120 米/分，两人骑车 的速度都是 200 米/分， A 先骑车到途中某地下车把车放下，立即步行前进； B 走到车处，立即 骑车前进，当超过 A 一段路程后，把车放下，立即步行前进，两人如此继续交替用车，最后两 人同时到达乙地，那么 A 从甲地到乙地的平均速度是 米/分． 【例 18】A、B 两地相距 30 千米，甲乙丙三人同时从 A 到 B，而且要求同时到达。现在有两辆自行车， 但不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。已知骑自行车的平均速度 为每小时 20 千米，甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙每小时 4 千米，那么三人需要多少小 时可以同时到达？ 【例 19】设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 3 倍．现 甲从 A 地去 B 地，乙、丙从 B 地去 A 地，双方同时出发．出发时，甲、乙为步行，丙骑车．途 中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、 乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，三人仍按各自原有方向继续前进．问：三人之中谁 最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？ 模块四、汽车接送问题——策略问题 【例 20】两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带 20 桶汽油 （连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进 60 千米，两车都必须返回出发地点，两辆 车均可借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，那么这辆车最远可达到离出发点多少 千米远的地方？ 【巩固】 （难度等级 ※※※※）在一个沙漠地带，汽车每天行驶 200 千米，每辆汽车载运可行驶 24 天 的汽油．现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回．为了让甲车尽 可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给 甲车．求甲车所能开行的最远距离． 【例 21】一个旅游者于是 10 时 15 分从旅游基地乘小艇出发，务必在不迟于当日 13 时返回。已知河水速 度为 1.4 千米/小时，小艇在静水中的速度为 3 千米/小时，如果旅游者每过 30 分钟就休息 15 分 钟，不靠岸，只能在某次休息后才返回，那么他从旅游基地出发乘艇走过的最大距离是＿＿＿ ＿千米。 【例 22】某沙漠通讯班接到紧急命令，让他们火速将一份情报送过沙漠。现在已知沙漠通讯班成员只有 靠步行穿过沙漠，每个人步行穿过沙漠的时间均为 12 天，而每个人最多只能带 8 天的食物，请 问，在假定每个人饭量大小相同，且所能带的食物相同的情况下，沙漠通讯班能否完成任务？ 如果能，那么最少需要几人才能将情报送过沙漠，怎么送？ 【例 23】甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走 20 千米，已知每人最多可携带一个人 24 天的食物和水．⑴ 如果不准将部分食物存放在途中，问其中一人最远可以深人沙漠多少千米（当 然要求二人最后返回出发点）？⑵ 如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用，情况又怎 样呢？ 【例 24】有 5 位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶 312 千米的汽油．显然，5 个人不可能共同穿越 500 千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余 车完全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠，当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽 油．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠？ 【例 25】（小学数学奥林匹克决赛试题）科学考察队的一辆越野车需要穿越一片全程大于 600千米的沙 漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶 600千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点 A ， 越野车装满油从起点 S 出发，到储油点 A 时从车中取出部分油放进 A 储油点，然后返回出发点， 加满油后再开往 A ，到 A 储油点时取出储存的油放在车上，从 A 出发点到达终点 E ．用队长想 出的方法，越野车不用其他车帮助就完成了任务，那么，这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程 是 千米． 【例 26】 (“资优博雅杯”数学竞赛)有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了 300 根香蕉，然后要走1000 米才能到家，如果它每次最多只能背100 根香蕉，并且它每走10 米 就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把 根香蕉带回家？