小学奥数4-3-4 任意四边形、梯形与相似模型（二）.学生版

任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲 板块二 梯形模型的应用 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： A B C D O b a S 3 S 2 S 1 S 4 ① 2 2 1 3: :S S a b ② 2 2 1 3 2 4: : : : : :S S S S a b ab ab ； ③ S 的对应份数为  2a b ． 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结 论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 【例 1】 如图， 2 2S  ， 3 4S  ，求梯形的面积． 【巩固】如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD ，对角线 AC ， BD 交于 O ，已知 AOB△ 与 BOC△ 的面积分 别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是________平方厘米． 35 25 O A B C D 【巩固】如图所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC，BD 相交于点 O。已知 AB=5，CD=3，且梯形 ABCD 的面积为 4，求三角形 OAB 的面积。 【例 2】 梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且三角形 ABO 的面积等于三角形 BOC 面积的 2 3 ，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比． O A B C D 【例 3】 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 1AO  ，并且 3 5 ABD CBD 三角形 的面积 三角形 的面积 ， 那么 OC 的长是多少？ A B C D O 【例 4】 梯形的下底是上底的1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 29cm ，问三角形 AOD 的面积是多少？ A B C D O 【巩固】如图，梯形 ABCD 中， AOB 、 COD 的面积分别为1.2 和 2.7 ，求梯形 ABCD 的面积． O D C B A 【例 5】 在梯形 ABCD 中，上底长 5 厘米，下底长 10 厘米， 20BOCS 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是 平方厘米。 【例 6】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积是11，三角形 BCH 的 面积是 23 ，求四边形 EGFH 的面积． H G F E D C B A H G F E D C B A 【巩固】如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4 比 5，四边形 2 的面积为 36，则三角 形 1 的面积为________． 3 2 1 3 2 1 【例 7】 如图，正方形 ABCD 面积为 3平方厘米， M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积． 【巩固】在下图的正方形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为 1 平 方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米． A B C D E F 【例 8】 如图面积为12 平方厘米的正方形 ABCD 中， ,E F 是 DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积． 【例 9】 如图，在长方形 ABCD 中， 6AB  厘米， 2AD  厘米， AE EF FB  ，求阴影部分的面积． 【例 10】已知 ABCD 是平行四边形， : 3: 2BC CE  ，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米．则阴影部分的面积 是 平方厘米． 【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部 分的面积是 平方厘米． 【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部 分的面积是 平方厘米． 【巩固】E 是平行四边形 ABCD 的 CD 边上的一点，BD、AE 相交于点 F，已知三角形 AFD 的面积是 6，三 角形 DEF 的面积是 4，求四边形 BCEF 的面积为多少？ 4 6 F ED C BA 【例 11】如图所示， BD 、CF 将长方形 ABCD 分成 4 块， DEF 的面积是 5 平方厘米， CED 的面积是 10 平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？ F A B C D E 10 5 F A B C D E 10 5 【巩固】如图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4 块， DEF 的面积是 4 平方厘米， CED 的面积是 6 平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？ 6 4 A B C D E F 6 4 A B C D E F 【巩固】如图，长方形 ABCD 被 CE 、DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余 下的四边形 OFBC 的面积为___________平方厘米． ? 8 5 2 O A B C D E F ? 8 5 2 O A B C D E F 【巩固】正方形 ABCD 的边长为 6 ， E 是 BC 的中点（如图）。四边形 OECD 的面积为 。 【巩固】如图，长方形 ABCD 中， AOB 是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的长是 9．那么四边 形 OECD 的面积是 ． A B C D E O A B C D E O 【例 12】如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70，AB=8,AD=15 四边形 EFGO 的面积为 ______． 【巩固】如图 5 所示，矩形 ABCD 的面积是 24 平方厘米，、三角形 ADM 与三角形 BCN 的面积之和是 7.8 平 方厘米，则四边形 PMON 的面积是 平方厘米。 【例 13】如图， ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正方形 DEFG 的面积 48， : 1:3AK KB  ，则 BKD 的面积是多少？ 【例 14】如图所示，ABCD 是梯形， ADE 面积是1.8 ， ABF 的面积是9， BCF 的面积是27．那么阴影 AEC 面积是多少？ 【例 15】如图，正六边形面积为 6 ，那么阴影部分面积为多少？ 【例 16】如图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点．三角形 ABC 由①～⑥这 6 部分组成， 其中②比⑤多 6 平方厘米．那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？ ⑥ ⑤ ④ ③ ② ① B F E D C A 【例 17】如下图，在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 平行，且 2CD AB ，点 E 、 F 分别是 AD 和 BC 的中点，已 知阴影四边形 EMFN 的面积是 54 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是 平方厘米． 【例 18】 如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在 分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的 面积为 ． 【例 19】如图，在正方形 ABCD 中，E 、F 分别在 BC 与 CD 上，且 2CE BE ， 2CF DF ，连接 BF 、DE ， 相交于点 G ，过 G 作 MN 、 PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG ，设正方形 MGQA 的面积为 1S ， 正方形 PCNG 的面积为 2S ，则 1 2:S S  ___________． Q P N M A B C D E F G Q P N M A B C D E F G 【例 20】下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的 中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m n ，那么， ( )m n 的值等 于 ．