小学奥数4-2-7 格点型面积.学生版

4-2-7.格点型面积 例题精讲 模块一、正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定 是 1 个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶 点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形． 那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算 公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例 题的格点数． 我们能发现如下规律： 12 LS N   ．这个规律就是毕克定理． 毕克定理 若一个格点多边形内部有 N 个格点，它的边界上有 L 个格点， 则它的面积为 12 LS N   ． 【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积． ⑶ ⑵ ⑴ ⑹ ⑸ ⑷ 【例 3】 如图(a)，计算这个格点多边形的面积． III II I ( c ) ( b ) ( a ) 【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积． 【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积． 【巩固】求下列各个格点多边形的面积． 【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？ 【例 7】 右图是一个8 12 面积单位的图形．求矩形内的箭形 ABCDEFGH 的面积． H G F E D C B A 【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______ 【例 9】 右图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ 【巩固】如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？ 【例 10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7 月 21 日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积 是 1，那么 7、2、1 三个数字所占的面积之和是多少？ 【例 11】 5 5 的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选 7 个格点， 要求其中任意 3 个格点都不在一条直线上，并且使这 7 个点用直线连接后所围成的面积尽可能 大．那么，所围图形的面积是 平方厘米． 【例 12】两个边长相等的正方形各被分成 25 个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来， 若左上角的阴影部分(块状)面积为 25.12cm ，右下角的阴影部分(线状)面积为 27.4cm ，求大正方形 的面积． 【例 13】将边长为正整数 n 的正方形平均分成 2n 个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。例如：图 A 中的格点是边长为 2 的正方形的格点。图 B 中，在边长为 12 的正方形中有四个完全相同的直角三 角形。如果三角形的一条直角边是 3，那么这四个三角形各边共经过多少个格点？(每个格点只计 一次) 模块二、三角形格点问题 1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它 的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形． 2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点 数，L 表示图形周界上的格点数，那么有 2 2S N L    ，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数 的 2 倍与周界上格点数的和减去 2． 【例 14】如图(a)，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积． A B C D F E C B A ( b ) ( a ) ' ' ' Ⅰ Ⅱ Ⅲ H G R Ⅲ Ⅱ Ⅰ ( c ) ( d ) A B C E F D C B A 【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的等边三角形，计算△ABC 的面积． 【例 15】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形)． 【例 16】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是 128，求图中粗线 所围成的三角形的面积． 【例 17】如图，如果每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【例 18】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是 2 平方厘米．那么，三角形 ABC 的面积是_____ 平方厘米． 模块三、构造格点进行解题 【例 19】图中正六边形 ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形 CEPQ 的面积． 【例 20】正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米．M 是 AB 中点，N 是 CD 中点，P 是 EF 中点．问：三角 形 MNP 的面积是多少平方厘米？ 【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？ 【例 22】把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个 六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样 就得到图所示的图形．如果这个图形面积是 1，那么原来的正三角形面积是多少?