小学奥数4-2-6 不规则图形的面积.学生版

4-2-6.不规则图形的面积 例题精讲 本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的 方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的 观察能力、动手操作能力、综合运用能力． 【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米) 3 9 9 4 3 9 9 4 3 9 9 4 3 9 9 4 图 1 图 2 图 3 【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米) 30 20 30 40 【巩固】如右图所示，图中的 ABEFGD 是由一个长方形 ABCD 及一个正方形 CEFG 拼成的，线段的长度如图 所示(单位：厘米)，求 ABEFGD 的周长和面积． 【巩固】求图中五边形的面积． 6 4 5 3 【例 2】 这是一个楼梯的截面图，高 280 厘米，每级台阶的宽和高都是 20 厘米．问，此楼梯截面的面积是 多少？ 【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是 20 厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？ 【例 3】 有一块菜地长16 米，宽8米，菜地中间留了宽 2 米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是 多少？ 【例 4】 有 10 张长 3 厘米，宽 2 厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这 10 张纸片所盖 住的桌面的面积是多少平方厘米？ 【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积. 【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积. 【例 6】 如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长 2 米的正方形区域，他从图中的 A 点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过 88 米到达 B 点，恰好把 这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？ B A 1米 1米 【例 7】 右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米． 【例 8】 右图中，矩形 ABCD 的边 AB 为 4 厘米，BC 为 6 厘米，三角形 ABF 比三角形 EDF 的面积大 9 平方 厘米，求 ED 的长． 【巩固】如图所示， 4CA AB  厘米， ABE△ 比 CDE△ 的面积小 2 平方厘米，求 CD 的长为多少厘米？ A B E C D 【巩固】如图，平行四边形 ABCD 种， 10BC cm ，直角三角形 ECB 的边 8EC cm ，已知阴影部分的总面 积比三角形 EFG 的面积大 210cm ，求平行四边形 ABCD 的面积． G F E D C B A 【例 9】 如图，ABCD 是 7 4 的长方形，DEFG 是10 2 的长方形，求 BCO 与 EFO 的面积差． O B C D G F E A 【例 10】有一个长方形菜园，如果把宽改成 50 米，长不变，那么它的面积减少 680 平方米，如果使宽为 60 米，长不变，那么它的面积比原来增加 2720 平方米，原来的长和宽各是多少米？ 【巩固】有一个长方形，如果宽减少 2 米，或长减少 3 米，则面积均减少 24 平方米，求这个长方形的面积？ 【例 11】一块长方形铁板，长 15 分米，宽 12 分米，如果长和宽各减少 2 分米，面积比原来减少多少平方分 米？ 【例 12】一个长方形，如果长减少 5 厘米，宽减少 2 厘米，那么面积就减少 66 平方厘米，这时剩下的部分 恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？ 【巩固】一块长方形纸片，在长边剪去 5cm ，宽边剪去 2cm 后(如图)，得到的正方形面积比原长方形面积少 231cm ．求原长方形纸片的面积． 5 2 【巩固】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加 6 厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原 正方形大 120 平方厘米．求原正方形的面积？ 【例 13】一块正方形的钢板，先截去一个宽 5 分米的长方形，又截去一个宽 8 分米的长方形(如图)，面积 就比原来正方形减少 181 平方分米．原正方形的边长是多少分米？ 8 5 【巩固】一张长方形纸片，先把长剪去 8 厘米，这时面积减少了 72 平方厘米，又把宽剪去 5 厘米，这时面积 又减少了 60 平方厘米，原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？ 【巩固】如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形，再截去宽 7 分米的长方形，所得图形的面 积比原正方形减少 301平方分米．原正方形的边长是______分米． 【例 14】如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大 34 平方厘米，求阴影部分的面积． 【例 15】一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠(如图甲)，阴影部分面积占原纸片面积的 2 7 ；再把左下 角往上折叠(如图乙)，乙图中阴影部分面积占原纸片面积的________(答案用分数表示)． 【巩固】折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5 倍．已知阴影部分面积之和为1，则重叠部分(即 空白部分)的面积是多少？ 【巩固】如图，一张长方形纸片，长 7 厘米，宽 5 厘米．把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未 盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【例 16】如图，大正方形的边长为 10 厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分， 再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘 米？ 【例 17】如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积？ 【例 18】一个边长为 20 厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、 第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？ ? 【巩固】如图是由 5 个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8 ，那么最大 的正方形的边长是 ． 【巩固】图中有 6 个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的 4 边中点连接而成．已知最大的正方形的边 长为16 厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？ 【例 19】已知图中大正方形的面积是 22 平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？ 【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm ，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面 积为 226cm ，最小的正方形的边长为多少厘米？ 【例 20】有一个边长为 16 厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三 个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？ 【例 21】如图，边长为 10 的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为 36 ，则十字中央的小正方形 面积为 ． 图1 【例 22】下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？(单位：厘米) 【巩固】如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是 5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？ 【例 23】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是 6、8、10 厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一 个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？ 10 8 6 丙 乙 甲 【巩固】将 20 张边长为 10 厘米的正方形纸片，按顺序一张一张地摆放在地板上，摆的时候，要求后摆的纸 片必须有一个顶点与前一张的中心重合，且每一张只与其前一张和后一张有重合部分(右图表示已经 摆好的 5 张)．地板被这 20 张纸片所覆盖部分的面积是多少？ 【例 24】有 2 个大小不同的正方形 A 和 B ．如下左图所示的那样，在将 B 正方形的对角线的交点与 A 正方 形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为 A 正方形面积的 1 9 ．求 A 与 B 的边长之比．如果当 按下右图那样，将 A 和 B 反向重叠的话，所重叠部分的面积是 B 的几分之几？ 左图 右图 【例 25】有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是 8 米的草地，草地的面积为 480 平方米， 求水池的边长？ 【巩固】一块长方形草坪(图中阴影部分)长是宽的 2 倍，它的四周围的总面积是 34 平方米的 1 米宽的小路．求 草坪的面积是多少平方米？ 【例 26】如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池．水池长 8米、宽 3米．水池周围用边长 为1米的方砖一圈一圈地向外铺．恰好铺了若干圈，共用了152 块方砖，那么共铺了 圈． 第7题 水池 【例 27】用四个相同的长方形拼成一个面积为 2100cm 的大正方形，每个长方形的周长是多少平方厘米？ 【巩固】如图所示，4 个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形，大正方形的面积是100 平方分米， 小正方形的面积是 36 平方分米，求一个小长方形的面积及周长． 【例 28】四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是 l00 平方分米，小正方形的面积是 l6 平方分 米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？ 16 【巩固】如图，4 个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为 4 平方厘米， 大正方形的面积为 400 平方厘米，则其中长方形的长为 厘米，宽 厘米． 第19题 【例 29】街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽 1 米的甬道(如图)，如果甬道的面积是 12 平方米， 那么中间花坛的面积是多少平方米？ a a a S S 1 1 S 1 S 1 a 【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽 5 米的水池，水池面积为 300 平方米，那么正方形花园的面 积是多少平方米？ 【巩固】有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为1cm ，已知两个长方形之间部分的面积是 216cm ， 且小长方形的长是宽的 2 倍，求大长方形的面积． B A 【例 30】已知大正方形比小正方形边长多 4 厘米，大正方形面积比小正方形面积大 96 平方厘米．问大、小 正方形面积各是多少？ 【巩固】两个正方形的面积相差 29cm ，边长相差1cm ．求两个正方形的面积和． C B A 【巩固】有一大一小两个正方形，它们的周长相差 20 厘米，面积相差 55 平方厘米．小正方形的面积是多少 平方厘米？ 【例 31】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周 长相差16 厘米，面积相差 96 平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？ ( 2 ) 【例 32】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为 44 平方厘米与 28 平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？ b a 【例 33】计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上 3米宽的草坪，草坪的面积为 300 平方米，那么修 建这个花坛需要占地多少平方米？ (2) (1) 【巩固】有大、小两个长方形(右图)，对应边的距离均为1厘米，已知两个长方形之间部分的面积是16 平方 厘米，且小长方形的长是宽的 2 倍，求大长方形的面积． 【巩固】一块长方形的草坪(见图中阴影部分)，长是宽的 2 倍，它的四周围的总面积是 34 平方米的1米宽的 小路，求草坪的总面积是多少平方米？ 【例 34】一块正方形的苗圃(如右图实线所示)，若将它的边长各增加 30 米(如图虚线所示)，则面积增加 9900 平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？ 【例 35】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5 平方米， 请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？ 【巩固】从一个正方形的木板上锯下宽1m 的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为 26m ，问锯下的长方形 木条面积是多少？ 1 m 【巩固】从一块正方形木板锯下宽为 1 2 米的一个木条以后，剩下的面积是 65 18 平方米．问锯下的木条面积是多 少平方米？ 【例 36】图中，甲、乙两个正方形的边长的和是 20 厘米，甲正方形比乙正方形的面积大 40 平方厘米．求乙 正方形的面积． 乙 甲 20 【例 37】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差 40 米，面积相差 220 平方米，那么小正方形试验 田的面积是多少平方米？ 图a 图b 【例 38】如图，边长是整数的四边形 AFED 的面积是 48 平方厘米，FB 为 8 厘米．那么，正方形 ABCD 的 面积是 平方厘米． A B C D E F 48 8 【例 39】如图，一个正方形被分成 4 个小长方形，它们的面积分别是 1 10 平方米、1 5 平方米、 3 10 平方米和 2 5 平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？ 【例 40】长方形 ABCD 的周长是 30 厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方 形的面积之和为 290 平方厘米，那么长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ C 1 D 1 E 1 A 1 E B C D A 【巩固】如图，长方形 ABCD 的周长是 16 厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这 四个正方形的面积和是 68 平方厘米，求长方形 ABCD 的面积？ A B C D I H G F E A B C D 【例 41】一条白色的正方形手帕，它的边长是 18 厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是 2 厘米，这 条手帕白色部分的面积是多少？ 【例 42】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如 果铺满这块地面共用 101 块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？ 图１ 图 2 【例 43】7 个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？ 【巩固】如图所示，7 个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？ 【例 44】如右图所示，在长方形 ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的 面积是__________． 【例 45】若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是 12 厘米，问阴影部分的 总面积是多少平方厘米？ 【例 46】一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面一个长方形是由 9 个小正方形组成的完美长方形．图中正方形 A 和 B 的边长分别是 7 厘米和 4 厘米，那么这个完美 长方形的面积分别是多少平方厘米？ A B A B C D E F G H 【巩固】如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正方形(阴影部分)面积为 281cm ，请问这 个矩形之面积为多少平方厘米？ 【巩固】图中的长方形被分割成 6 个正方形，已知中央小正方形的面积是1平方厘米，求原来长方形的面积． 【巩固】9 个边长分别为 1、4、7、8、9、10、14、15、18 的正方形拼成一个长方形，问这个长方形的长和 宽是多少？并请画出这个长方形的拼接图． 15 18 14 10 9 4 7 8 1 【例 47】图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是 ． ？ 5 12 15 A 5 12 15 【例 48】如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问大 矩形的面积是多少平方厘米？ 12 30 20 16 36 G F E D C B A S 3 S 2 S 1 12 30 20 16 36 G F E D C B A 【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示．现在知道其中三块长方形的面积分别 为 48 平方厘米、 24 平方厘米、 30 平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少？ 【巩固】如图，矩形 ABCD 被分割成 9 个小矩形．其中有 5 个小矩形的面积如图所示．矩形 ABCD 的面积 为 ． 【例 49】有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合(见 下图)．已知露在外面的部分中，红色面积是 20 ，黄色面积是14 ，绿色面积是10 ．求正方形盒底 的面积． 【例 50】如图所示，在正方形 ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是 48 和12 ，且红、绿两个正方形有 一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色 正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是 ． D C B A 绿 黄 红 3 12 【巩固】如图所示，在正方形 ABCD 中，红色，绿色正方形的面积分别是 52 和13 ，且红、绿两个正方形有 一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方 形两条对角线的交点，求黄色正方形面积. 绿 黄 红 D C B A 【例 51】如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A 和 B 是两个正方形的重叠部分，C、D、E 是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是 A：B：C：D：E=1：2：3：4：5，那么这个长 方形的长与宽之比是________． 【例 52】如图如果长方形的面积为 56 平方厘米，且 2MD  厘米、 3QC  厘米、 5CP  厘米、 6BN  厘米， 那么请你求出四边形 MNPQ 的面积是多少厘米？ 【巩固】长方形的广告牌长为 10 米，宽为 8 米， A ，B ，C ，D 分别在四条边上，并且 C 比 A 低 5 米，D 在 B 的左边 2 米，四边形 ABCD 的面积是 平方米． D C B A D C B A 【例 53】直角三角形 PQR 的直角边为5 厘米，9 厘米，问：图中三个正方形的面积之和比 4 个三角形的面积 之和大多少？ 【例 54】如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形 EFGH ，中间阴影为正方形．已知甲、乙、 丙、丁四个长方形面积的和是 232cm ，四边形 ABCD 的面积是 220cm ．⑴求正方形 EFGH 的边长？ ⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和？ 图1 图 2 图3 【例 55】如图，平面上 CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底 23AD  厘米，下底 35BC  厘米．求 三角形 ADE 的面积． F E C B D A H 2 H 1 H A D B C E F 【例 56】右图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是 1，问：这个六边形 的周长是多少? 【例 57】把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形．再将 这个六角形的六个”角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正 三角形，这样就得到如右图所示的图形．如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如 图中整个图形的面积． 图a 中 中 中 大 图b 【例 58】如图，长方形的面积是小于 100 的数．它的内部有三个边长是整数的正方形．正方形②的边长是长 方形长的 5 12 ，正方形①的边长是长方形宽的 1 8 ．那么，图中阴影部分的面积是