小学奥数4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型（二）.学生版

例题精讲 板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积  底 高 2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1 3 ，则三角形面积与原来的一 样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 1 2: :S S a b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACD BCDS S△ △ ； 反之，如果 ACD BCDS S△ △ ，则可知直线 AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 板块二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在 ABC△ 中， ,D E 分别是 ,AB AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)， 则 : ( ) :( )ABC ADES S AB AC AD AE  △ △ 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在 ABC△ 中， ,D E 分别是 ,AB AC 上的点，且 : 2:5AD AB  ， : 4:7AE AC  ， 16ADES △ 平 4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型 方厘米，求 ABC△ 的面积． E D C B A E D C B A 【巩固】如图，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那 么三角形 ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， 4BD DC  ， 3BE  ， 6AE  ，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【例 2】 如图在 ABC△ 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 : 5: 2AB AD  ， : 3: 2AE EC  ， 12ADES △ 平方厘米，求 ABC△ 的面积． E D C B A E D C B A 【例 3】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点， 2AF CF ，三角形 AFE(图中阴影部分)的 面积为 8 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【例 4】 已知 DEF△ 的面积为 7 平方厘米， , 2 , 3BE CE AD BD CF AF   ，求 ABC△ 的面积． F E D C B A 【例 5】 如图 16-4，已知．AE= 1 5 AC，CD= 1 4 BC，BF= 1 6 AB，那么 DEF ABC 三角形 的面积 三角形 的面积 等于多少? 【例 6】 如图，三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米，其中 : 2:5AB BE  ， : 3: 2BC CD  ，三角形 BDE 的面 积是多少？ A B E C D D C E B A 【例 7】 如图所示，正方形 ABCD 边长为 6 厘米， 1 3AE AC ， 1 3CF BC ．三角形 DEF 的面积为_______ 平方厘米． 【例 8】 如图，已知三角形 ABC 面积为1，延长 AB 至 D ，使 BD AB ；延长 BC 至 E ，使 2CE BC ；延 长 CA 至 F ，使 3AF AC ，求三角形 DEF 的面积． F E D C B A A B C D E F 【例 9】 如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形 EFGH 如果 ABCD 的面积是 5 平方 厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米? 【例 10】如图，平行四边形 ABCD ，BE AB ， 2CF CB ， 3GD DC ， 4HA AD ，平行四边形 ABCD 的 面积是 2 ， 求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比． H G A B C D E F H G A B C D E F 【例 11】如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB ，CB BF ， DC CG ， HD DA ，求四边形 ABCD 的面积． H G F E D C B A A B C D E F G H 【例 12】如图，将四边形 ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ，若四 边形 ABCD 的面积为 5，则四边形 EFGH 的面积是 ． A B C D E F G H A B C D E F G H 【例 13】如图，在 ABC△ 中，延长 AB 至 D ，使 BD AB ，延长 BC 至 E ，使 1 2CE BC ，F 是 AC 的中点， 若 ABC△ 的面积是 2 ，则 DEF△ 的面积是多少？ A B C D E F 【例 14】如图， 1ABCS △ ， 5BC BD ， 4AC EC ， DG GS SE  ， AF FG ．求 FGSS ． S G F E D C B A 【例 15】如图所示，正方形 ABCD 边长为 8厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点， G 是 BF 的中点，三 角形 ABG 的面积是多少平方厘米？ A B C D E F G A B C D E F G 【例 16】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积． 【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是 ． B D C E A 【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量 次，就能得出三角形 ABC 和三角形 BCD 的面积比。