小学奥数4-3-5 任意四边形、梯形与相似模型（三）.学生版

任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲 板块三 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ① AD AE DE AF AB AC BC AG    ； ② 2 2:ADE ABCS S AF AG△ △： ． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)， 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 【例 1】 如图，已知在平行四边形 ABCD 中， 16AB  ， 10AD  ， 4BE  ，那么 FC 的长度是多少？ 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC ，AB 的长为15 厘米，AC 被分为 60 等份．如果小玻璃管口 DE 正好对着量具上 20 等份处( DE 平行 AB )，那么小玻璃管口径 DE 是多大？ 60 50 40 30 20 10 0 E A D C B 【例 3】 如图， DE 平行 BC ，若 : 2:3AD DB  ，那么 :ADE ECBS S △ △ ________． A E D C B 【例 4】 如图， ABC△ 中， DE ， FG ， BC 互相平行， AD DF FB  ， 则 : :ADE DEGF FGCBS S S △ 四边形 四边形 ． E G F A D C B 【巩固】如图， DE 平行 BC ，且 2AD  ， 5AB  ， 4AE  ，求 AC 的长． A E D C B 【巩固】如图， ABC△ 中， DE ， FG ， MN ， PQ ， BC 互相平行， AD DF FM MP PB    ， 则 : : : :ADE DEGF FGNM MNQP PQCBS S S S S △ 四边形 四边形 四边形 四边形 ． Q E G N M F P A D C B 【例 5】 已知 ABC△ 中， DE 平行 BC ，若 : 2:3AD DB  ，且 DBCES梯形 比 ADES△ 大 28.5 cm ，求 ABCS△ ． A E D C B 【例 6】 如图： MN 平行 BC ， : 4:9MPN BCPS S △ △ ， 4 cmAM  ，求 BM 的长度 N M P A C B 【巩固】如图，已知 DE 平行 BC ， : 3: 2BO EO  ，那么 :AD AB  ________． O E D C B A 【例 7】 如图， ABC 中， 1 4AE AB ， 1 4AD AC ，ED 与 BC 平行， EOD 的面积是 1 平方厘米．那么 AED 的面积是 平方厘米． A B C D E O 【例 8】 如下图，正方形 ABCD 边长为 l0 厘米，BO 长 8 厘米。AE=____厘米。 【例 9】 如图，已知正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，E 是 CD 边上的中点，连接对角线 AC，交 BE 于点 O， 则三角形 AOB 的面积是（ ）平方厘米。 A、24 B、36 C、48 D、60 【例 10】在图中的正方形中， A ， B ， C 分别是所在边的中点， CDO 的面积是 ABO 面积的几倍？ A B C D O E F A B C D O 【例 11】图 30-10 是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米? 【例 12】 如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 4AD EC  ， 6BD BE  ，那么图中阴影部分面积是多少？ 【例 13】如图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形 ABCD 的面积是16 ， : 3:1BG GC  ，则四 边形 EFGH 的面积  ________． 【例 14】已知三角形 ABC 的面积为 a ， : 2:1AF FC  ， E 是 BD 的中点，且 EF ∥ BC ，交 CD 于 G ，求阴 影部分的面积． 【例 15】已知正方形 ABCD ，过 C 的直线分别交 AB 、AD 的延长线于点 E 、F ，且 10 cmAE  ， 15 cmAF  ，求正方形 ABCD 的边长． F A E D C B 【例 16】如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料，边 120BC  毫米，高 80AD  毫米，要把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这个正方形零件的边长 是多少？ H G N P A D C B 【巩固】如图，在 ABC△ 中，有长方形 DEFG ，G 、F 在 BC 上，D 、E 分别在 AB 、AC 上，AH 是 ABC△ 边 BC 的高，交 DE 于 M ， : 1: 2DG DE  ， 12BC  厘米， 8AH  厘米，求长方形的长和宽． E H G M F A D C B 【例 17】图中 ABCD 是边长为12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C 、D 连成一个三角形，已知这个三角形 在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm ，那么三角形 GDC 的面积是多少？ A B C D E F G N M A B C D E F G 【例 18】如图，将一个边长为 2 的正方形两边长分别延长1和 3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积 是多少？ 【例 19】图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于 52 平方厘米，则阴影部分的面积 是 ． 【例 20】如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3和 4 ，那么阴影部分的一 块直角三角形的面积是多少？ 【例 21】已知长方形 ABCD 的面积为 70 厘米， E 是 AD 的中点， F 、 G 是 BC 边上的三等分点，求阴影 EHO△ 的面积是多少厘米？ 【例 22】 ABCD 是平行四边形，面积为 72 平方厘米， E 、 F 分别为 AB 、 BC 的中点，则图中阴影部分的 面积为 平方厘米． 【例 23】如图，三角形 PDM 的面积是 8 平方厘米，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，M 是 BC 的 中点，则三角形 APD 的面积是 平方厘米． A B C D P M K N A B C D P M 【例 24】如图，长方形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， AF 与 BE 、 BD 分别交于 G 、 H ， OE 垂直 AD 于 E ， 交 AF 于 O ，已知 5 cmAH  ， 3 cmHF  ，求 AG ． A B C D E F G H O 【例 25】右图中正方形的面积为 1， E 、 F 分别为 AB 、 BD 的中点， 1 3GC FC ．求阴影部分的面积． 【例 26】梯形 ABCD 的面积为 12， 2AB CD ，E 为 AC 的中点，BE 的延长线与 AD 交于 F ，四边形 CDFE 的面积是 ． A B C D E F G A B C D E F 【例 27】如图，三角形 ABC 的面积为 60 平方厘米， D 、 E 、 F 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积 是 平方厘米． 【例 28】如图, ABCD 是直角梯形， 4, 5, 3AB AD DE   ，那么梯形 ABCD 的面积是多少? O E D C B A O E D A F C B 【例 29】边长为8厘米和12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？ 【例 30】如右图，长方形 ABCD 中， 16EF  ， 9FG  ，求 AG 的长． D A B C E F G 【例 31】如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4 ， F 是 BC 边的中点， E 是 DC 边上的点，且 : 1:3DE EC  ， AF 与 BE 相交于点 G ，求 ABGS△ G F A E D C B M G F A E D C B G F A E D C B 【例 32】如图所示，已知平行四边形 ABCD 的面积是 1， E 、 F 是 AB 、 AD 的中点， BF 交 EC 于 M ，求 BMG 的面积． M H G F E D C B A I A B C D E F G H M 【例 33】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是 平方厘米． H G F E D C B A M H G F E D C B A 【例 34】如 图 ， 已 知 14ABCS △ , 点 , ,D E F 分 别 在 , ,AB BC CA 上 ， 且 2, 5,AD BD AF FC   ， ABEDBEFS S △四边形 则 ABES△ 是多少？ F E D C B A F E D C B A 【例 35】如图，长方形 ABCD 中，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，DE EC ， 2FB AF ，求 : :PM MN NQ ． P M N Q F E D C B A G P M N Q F E D C B A 【例 36】如下图， D 、 E 、 F 、 G 均为各边的三等分点，线段 EG 和 DF 把三角形 ABC 分成四部分，如果 四边形 FOGC 的面积是 24 平方厘米，求三角形 ABC 的面积． E D O G C F B A E D O G C F B A 【例 37】如图，ABCD 为正方形， 1cmAM NB DE FC    且 2 cmMN  ，请问四边形 PQRS 的面积为多 少？ 【例 38】如图 12-6 所示，在三角形 ABC 中，DC=3BD，DE=EA．若三角形 ABC 的面积是 1．则阴影部分 的面积是多少? 【例 39】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为1: 4: 41．那么， ④、⑤这两块的面积比是______． ⑤ ④ ③ ② ① H K J G I F D C E B A ⑤ ④ ③ ② ① 【例 40】下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的重点， 如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m n ，那么，m＋n 的值等于 __________。 E F G H C D B A E F G H C D B A （A）5 （B）7 （C）8 （D）12 【例 41】如图所示，三角形 AEF，三角形 BDF,三角形 BCD，都是正三角形，其中 AE:BD=1:3,三角形 AEF 的面积是 1.求阴影部分的面积。 【例 42】如图，正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为各边的中点，J 为 GD 的中点，EJ 交 CD 于 I。已知 正方形 ABCD 边长为 10cm，则图中阴影部分的面积是__ ___ cm2.