小学奥数4-3-1 三角形等高模型与鸟头模型（一）.学生版

4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 例题精讲 板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积  底 高 2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1 3 ，则三角形面积与原来的一 样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 1 2: :S S a b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACD BCDS S△ △ ； 反之，如果 ACD BCDS S△ △ ，则可知直线 AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形；⑵ 4 个面积相等的三角形； ⑶6 个面积相等的三角形． 【例 2】 如图，BD 长 12 厘米，DC 长 4 厘米，B、C 和 D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？ 【例 3】 如右图， ABFE 和 CDEF 都是矩形， AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3厘米，那么图中阴影部分的 面积是 平方厘米． 【巩固】(2009 年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米． 【巩固】如下图，长方形 AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD ，长方形 ABCD 的长是 20，宽是 12，则 它内部阴影部分的面积是 ． 【例 4】 如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，点 E 、F 、G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为 AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积． 【巩固】图中的 E 、 F 、 G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部 分的面积是 ． 【例 5】 长方形 ABCD 的面积为 36， E 、 F 、G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是 多少？ 【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分， 分别与 P 点连接,求阴影部分面积． 【例 6】 如右图，E 在 AD 上，AD 垂直 BC， 12AD  厘米， 3DE  厘米．求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？ E D C B A 【例 7】 如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与△BEC 等积的三角形 一共有哪几个三角形？ F D E C B A 【巩固】如图，在△ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与△ABE 等积的三角形一 共有哪几个三角形？ E D C B A 【巩固】如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ O D C B A 【例 8】 如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 3AE AB ， 2BD BC ，三角形 BDE 的面积是多少？ A B E C D D C E B A 【例 9】 如右图，AD DB ，AE EF FC  ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， ABC 的面积是 平 方厘米． 【巩固】图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍．那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？ 【巩固】如图，在长方形 ABCD 中，Y 是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点，如果 24AB  厘米， 8BC  厘米，求 三角形 ZCY 的面积． A B C D Z Y 【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E 和 F 分别是 BC、AC 和 AD 的中点．求三角形 DEF 的面积． F E D C B A 【巩固】如图，在三角形 ABC 中， 8BC  厘米，高是 6 厘米，E、F 分别为 AB 和 AC 的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？ F E C B A 【例 10】如图所示， A 、 B 、C 都是正方形边的中点，△ COD 比△ AOB 大15 平方厘米。△ AOB 的面积为 平方厘米。 【例 11】如图 ABCD 是一个长方形，点 E、F 和 G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是 36 个平 方单位，求三角形 EFG 的面积是多少个平方单位． F E G D C B A F E G D C B A 【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是1， M 是 AD 边的中点， N 在 AB 边上，且 2AN BN .那么，阴影部 分的面积是多少？ 【例 12】如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形 组合而成．求阴影部分的面积． 【例 13】图中 ABCD 是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以 AD 为一边向外作长方形 ADEF，其面积为 6.36 平方厘米。连接 BE 交 AD 于 P，再连接 PC。则图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 (A)6.36 (B)3.18 (C)2.12 （D）1.59 【例 14】如图， BC 是半径为 6 的圆 O 上的弦，且 BC 的长度与圆的半径相等， A 是圆外的一点， OA 的长 度为12 ，且 OA 与 BC 平行，那么图中阴影部分的面积是 。（ π 3.14 ） 【巩固】在下图中，A 为半径为 3 的⊙0 外一点。弦 BC∥A0 且 BC=3。连结 AC。阴影面积等于 .( =3.14) 【例 15】如图，三角形 ABC 中， 2DC BD ， 3CE AE ，三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米，三角形 ABC 的面积是多少？ E D C B A 【例 16】如图，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE 、三角形 BCD 的面积分别是 89，28，26．那 么三角形 DBE 的面积是 ． 【例 17】如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分．三角形 BDC 的面积比三角形 ABD 的面积 大 10 平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米，它们的差是 5 分米．求梯形 ABCD 的面积． D C B A 【例 18】图中 AOB 的面积为 215cm ，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积． O C B D A 【例 19】如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形． D C B A A′ A B C D 【例 20】一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15% ，黄色三角形面积是 221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？ 红 绿 黄 红 【例 21】 O 是长方形 ABCD 内一点，已知 OBC 的面积是 25cm ， OAB 的面积是 22cm ，求 OBD 的面积是 多少？ 【例 22】如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、GH ，若 PBD 的面积为 8 平方分米， 求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？ 【例 23】如右图，正方形 ABCD 的面积是 20 ，正三角形 BPC 的面积是15 ，求阴影 BPD 的面积． 【巩固】如右图，正方形 ABCD 的面积是12 ，正三角形 BPC 的面积是5 ，求阴影 BPD 的面积． 【例 24】在长方形 ABCD 内部有一点 O ，形成等腰 AOB 的面积为 16，等腰 DOC 的面积占长方形面积的 18% ，那么阴影 AOC 的面积是多少？ 【例 25】如右图所示，在梯形 ABCD 中， E 、 F 分别是其两腰 AB 、 CD 的中点，G 是 EF 上的任意一点， 已知 ADG 的面积为 215cm ，而 BCG 的面积恰好是梯形 ABCD 面积的 7 20 ，则梯形 ABCD 的面积 是 2cm ． A B C D E F G A B C D E F G 【例 26】如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等． G F E D C B A G F E D C B A 【巩固】如图所示，正方形 ABCD 的边长为8厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？ A B G C E F D A B G C E F D 【例 27】如图，正方形 ABCD 的边长为 6，AE＝1.5，CF＝2．长方形 EFGH 的面积为 ． 【例 28】如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米．求三角形 CDF 的面 积． A E B F C D D C F B E A 【巩固】如右图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E ，交 DA 延长线于 F ，若 1ADES △ ，求 BEF△ 的面积． A B C D E F A B C D E F 【例 29】梯形 ABCD 中，AE 与 DC 平行， 15ABES  , BCFS  . 【例 30】图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米． 【例 31】如图，有三个正方形的顶点 D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为 10 厘米， 求阴影部分的面积． 【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形 ABC 的面积． 【巩固】如图， ABCD 与 AEFG 均为正方形，三角形 ABH 的面积为 6 平方厘米，图中阴影部分的面积 为 ． 【巩固】正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 【巩固】已知正方形 ABCD 边长为10，正方形 BEFG 边长为6，求阴影部分的面积． 【例 32】于 CF 的三分之一，三角形 CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积． H G F E D C B A H G F E D C B A 【例 33】如下图， E 、 F 分别是梯形 ABCD 的下底 BC 和腰 CD 上的点， DF FC ，并且甲、乙、丙 3个三 角形面积相等．已知梯形 ABCD 的面积是32 平方厘米．求图中阴影部分的面积． 【例 34】如图，已知长方形 ADEF 的面积16 ，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4 ，那么三角 形 ABC 的面积是多少？ F E D C B A F E D C B A F E D C B A 【例 35】如图，在平行四边形 ABCD 中， BE EC ， 2CF FD ．求阴影面积与空白面积的比． 【例 36】如图所示，三角形 ABC 中，D 是 AB 边的中点，E 是 AC 边上的一点，且 3AE EC ，O 为 DC 与 BE 的交点．若 CEO 的面积为 a 平方厘米， BDO 的面积为 b 平方厘米．且 b a 是 2.5 平方厘米，那 么三角形 ABC 的面积是 平方厘米． E b a O D C B A 【例 37】如图，在梯形 ABCD 中， : 4:3AD BE  ， : 2:3BE EC  ，且 BOE 的面积比 AOD 的面积小 10 平 方厘米．梯形 ABCD 的面积是 平方厘米． O A B C D E 【巩固】如图， BD 是梯形 ABCD 的一条对角线，线段 AE 与 DC 平行， AE 与 BD 相交于 O 点．已知三角形 BOE 的面积比三角形 AOD 的面积大 4 平方米，并且 2 5EC BC ．求梯形 ABCD 的面积． O A B C D E O A B C D E 【例 38】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13 ，35 ，49 ．那么图中阴影 部分的面积是多少？ 【例 39】图中是一个各条边分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上 去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？ 【例 40】如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， 2EC DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 【例 41】如图，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF ，交叉处为 D ，张大伯常走这两条小路，他知道 DF DC , 且 2AD DE ．则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是_________． F E D C B A F E D C B A G F E D C B A 【例 42】如图， 45BC  ， 21AC  ， ABC 被分成9 个面积相等的小三角形，那么 DI FK  ． K J I H G F E D C B A 【巩固】如图，在角 MON 的两边上分别有 A 、C 、 E 及 B 、 D 、 F 六个点，并且 OAB 、 ABC 、 BCD 、 CDE 、 DEF 的面积都等于 1，则 DCF 的面积等于 ． 【例 43】 E 、M 分别为直角梯形 ABCD 两边上的点，且 DQ 、CP 、ME 彼此平行，若 5AD  ， 7BC  ， 5AE  ， 3EB  ．求阴影部分的面积． 【例 44】已知 ABC 为等边三角形，面积为 400， D 、 E 、 F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形 HBC ) 【例 45】如图，已知 5CD  ， 7DE  ， 15EF  ， 6FG  ，线段 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是 ． G F E D C B A A B C D E F G 【巩固】如图，点 D 、 E 、 F 在线段 CG 上，已知 2CD  厘米， 8DE  厘米， 20EF  厘米， 4FG  厘米， AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是 67 平方厘米，上边部分面积是166 平方厘米，则 三角形 ADG 的面积是多少平方厘米？ A B C D E F G G F E D C B A 【例 46】如图，正方形的边长为 10，四边形 EFGH 的面积为 5，那么阴影部分的面积是 ． 【巩固】如图，正方形的边长为 12，阴影部分的面积为 60，那么四边形 EFGH 的面积是 ． 【例 47】如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70， 8AB  ， 15AD  ，四边形 EFGO 的面 积为 ． 【巩固】如图所示，矩形 ABCD 的面积为 24 平方厘米．三角形 ADM 与三角形 BCN 的面积之和为 7.8 平方 厘米，则四边形 PMON 的面积是 平方厘米． N O M P D C B A 【巩固】如图所示，矩形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，四边形 PMON 的面积是 3 平方厘米，则阴影部分的 面积是 平方厘米． 【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是 36，E 是 AD 的三等分点， 2AE ED ，则阴影部分的面积为 ． 【例 48】如图，如果长方形 ABCD 的面积是56 平方厘米，那么四边形 MNPQ 的面积是多少平方厘米？ 【例 49】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ． Q P N M H G F E A B C D 【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12 厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方 厘米？ Q P N M H G F E A B C D 【巩固】已知正方形的边长为 10， 3EC  ， 2BF  ，则 ABCDS 四边形 ． F E D C B A N M A B C D E F 【例 50】如图，三角形 AEF 的面积是17 ， DE 、 BF 的长度分别为11、3．求长方形 ABCD 的面积． A B C D E F M H G A B C D E F 【例 51】如图，长方形 ABCD 中， 67AB  ， 30BC  ．E 、F 分别是 AB BC、 边上的两点， 49BE BF  ．那 么，三角形 DEF 面积的最小值是 ． A B C D E F M N O A B C D E F 【例 52】 ABCD 是边长为 12 的正方形，如图所示， P 是内部任意一点， 4BL DM  、 5BK DN  ，那 么阴影部分的面积是 ． 【例 53】如图所示，在四边形 ABCD 中， E ， F ，G ， H 分别是 ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形 PQRS 的面积之比． 【巩固】如图， E 、 F 、G 、 H 分别是四边形 ABCD 各边的中点， FG 与 FH 交于点 O ， 1S 、 2S 、 3S 及 4S 分别表示四个小四边形的面积．试比较 1 3S S 与 2 4S S 的大小． O S 4 S 3 S 2 S 1 H G F E D C B A O S 4 S 3 S 2 S 1 H G F E D C B A 【例 54】如图，四边形 ABCD 中， : : 3: 2:1DE EF FC  ， : : 3: 2:1BG GH AH  ， : 1: 2AD BC  ，已知四边 形 ABCD 的面积等于 4，则四边形 EFHG 的面积  ． H G F E D C B A H G F E D C B A 【拓展】如图，对于任意四边形 ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形 EFGH ，求四边形 EFGH 的面积是四边形 ABCD 的几分之几？ K J P O N M H G A B C D E F 【例 55】有正三角形 ABC ，在边 AB 、 BC 、 CA 的正中间分别取点 L 、 M 、 N ，在边 AL 、 BM 、 CN 上 分别取点 P 、 Q 、 R ，使 LP MQ NR  ，当 PM 和 RL 、 PM 和 QN 、 QN 和 RL 的相交点分别是 X 、Y 、Z 时，使 XY XL ．这时，三角形 XYZ 的面积是三角形 ABC 的面积的几分之几？请写出 思考过程． A B C N M Q R P L X Y Z 【例 56】如图：已知在梯形 ABCD 中，上底是下底的 2 3 ，其中 F 是 BC 边上任意一点，三角形 AME 、三角 形 BMF 、三角形 NFC 的面积分别为14 、 20 、12 ．求三角形 NDE 的面积． C D N F E M B A h C D N F E M B A 【例 57】如图，已知 ABCD 是梯形，AD ∥ BC ， : 1: 2AD BC  ， : 1:3AOF DOES S   ， 224cmBEFS  ，求 AOF 的面积． O F D E C B A 【例 58】如图， ABCD 是一个四边形，M 、 N 分别是 AB 、CD 的中点．如果 ASM 、 MTB 与 DSN 的面 积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为 ． M N T S D C B A M N T S D C B A 【例 59】直角边长分别为 18 厘米,10 厘米的直角△ABC 和直角边长分别为 14 厘米,4 厘米的直角△ADE 如 图摆放．M 为 AE 的中点，则△ACM 的面积为 平方厘米． 【例 60】如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、 GH ，若 PAC 的面积为 6，求平行 四边形 PGDF 的面积比平行四边形 PEBH 的面积大 ． 【例 61】如图，平行四边形 ABCD 与平行四边形 EFCG 是两个形状一模一样的平行四边形，点 G、D、都在 线段 AE 上，三角形 BEF 的面积是 2，那么三角形 ABD 的面积是____. G F E D C B A 【例 62】如图长方形 ABCD，AB = 24，BC = 18，把 AB 边对折到 AC 上与 AC 重合，把 AD 边也对折到 AC 上与 AC 重合，请问得到的新图形的面积是多少？ H G F B D C A E B C D A