小学奥数4-5-3 圆柱与圆锥.学生版

圆柱与圆锥 例题精讲 圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式 立体图形 表面积 体积 圆柱 h r 22 2π 2πS rh r   圆柱 侧面积 个底面积 2πV r h圆柱 圆锥 h r 2 2π π360 nS l r   圆锥 侧面积 底面积 注： l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21 π3V r h圆锥体 板块一 圆柱与圆锥 【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5 米、1米和 0.5 米的 3个圆柱组成一个物体．问这个物体 的表面积是多少平方米？( π 取 3.14 ) 【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的 直径是 4 厘米，孔深5 厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂 多少平方厘米？ 【例 3】 (希望杯 2 试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为 10 厘米和 12 厘米的长方形，那么这个 圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用 π 表示) 【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求 这个油桶的容积．( π 3.14 ) 【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体，这个圆柱体 的底面半径为 10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？( π 3.14 ) 【例 5】 把一个高是 8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表 面积减少12.56 平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短 4 厘米，表面积就减少 50.24 平方厘米．求这个圆柱体的 表面积是多少？ 【例 6】 一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的 表面积大 22008cm ，则这个圆柱体木棒的侧面积是________ 2cm ．( π 取 3.14 ) 【巩固】已知圆柱体的高是10 厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了 40 平方厘 米，求圆柱体的体积．( π 3 ) 【例 7】 一个圆柱体的体积是 50.24 立方厘米，底面半径是 2 厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再 截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ ( π 3.14 ) 【例 8】 右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为 40cm 的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件 的表面积和体积． 【例 9】 输液 100 毫升，每分钟输 2.5 毫升．如图，请你观察第 12 分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容 积是多少毫升？ 【例 10】一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘 米．( π 取 3.14 ) 【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为 26.4π 立方厘米．当瓶子正 放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米．问：瓶内酒精的体积 是多少立方厘米？合多少升？ 【巩固】一个酒瓶里面深 30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时 酒深 25cm ．酒瓶的容积是多少？( π 取 3) 【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10 平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明 的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿． 【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是 12 厘米．其 内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部 5 厘米，那么这个容器的容积是多少 立方厘米？( π 3 ) 【例 11】(希望杯 2 试试题)如图，底面积为 50 平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为 5 厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是 2 厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________ 厘米． 【例 12】有两个棱长为8厘米的正方体盒子， A 盒中放入直径为8厘米、高为 8 厘米的圆柱体铁块一个， B 盒中放入直径为 4 厘米、高为 8 厘米的圆柱体铁块 4 个，现在 A 盒注满水，把 A 盒的水倒入 B 盒， 使 B 盒也注满水，问 A 盒余下的水是多少立方厘米？ 【例 13】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团 先搓成圆柱形面棍，长1.6 米．然后对折，拉长到1.6 米；再对折，拉长到1.6 米……照此继续进行 下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的 1 64 ．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长 有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费) 【例 14】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3 分钟时水面恰好没过长方 体的顶面．再过 18 分钟水灌满容器．已知容器的高为 50 厘米，长方体的高为 20 厘米，求长方体 底面面积与容器底面面积之比． 【例 15】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是 80 平方厘米，高是15 厘米，水深 8 厘米．现将一个底面积 是 16 平方厘米，高为12 厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？ 【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是 80 平方厘米，高是15 厘米，水深10 厘米．现将一个底面积 是 16 平方厘米，高为12 厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？ 【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是 80 平方厘米，高是15 厘米，水深13 厘米．现将一个底面积 是 16 平方厘米，高为12 厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？ 【例 16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 2.5 厘米，玻璃杯内侧的底面积是 72 平方厘米．在这个杯中 放进棱长 6 厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？ 【例 17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米．今将一个底面半径为 2 厘米，高为 17 厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？ 【例 18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10 厘米、20 厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没 着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的 水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？ 【巩固】有一只底面半径是 20 厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是 5 厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从 水桶里取出后，桶里的水下降了 6 厘米．这段钢材有多长？ 【例 19】一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米．今将一个底面半径为 2 厘米，高为 18 厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米? 【例 20】如图 11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥 体积与圆柱体积的比是多少? 【例 21】一个圆锥形容器高 24 厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中， 水面高多少厘米？ 【例 22】(”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水 50 升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容 器最多能装水 升． 【例 23】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的 1 3 ，乙容器中水的高度是锥高的 2 3 ，比较甲、 乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？ 甲 乙 【例 24】张大爷去年用长 2 米、宽 1 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长 3 米宽 2 米的 长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍? 【例 25】 (仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为 20 厘米，中间有一直径为 8 厘 米的卷轴，已知薄膜的厚度为 0.04 厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米． 【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴．已知纸的厚度为 0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？ 【巩固】如图，厚度为 0.25 毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是 180 厘米，内直径是 50 厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？ 【例 26】(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下 底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正 方形，上下底面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积． 板块二 旋转问题 【例 27】如图， ABC 是直角三角形， AB 、 AC 的长分别是 3 和 4．将 ABC 绕 AC 旋转一周，求 ABC 扫 出的立体图形的体积．( π 3.14 ) C B A 4 3 【例 28】已知直角三角形的三条边长分别为 3cm ， 4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立 体图形中，体积最小的是多少立方厘米？( π 取 3.14 ) 【巩固】如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π ，以 AC 边为轴旋转 一周，那么所形成的圆锥的体积为12π ，那么如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积 是多少？ A B C 【例 29】如图，ABCD 是矩形， 6cmBC  ， 10cmAB  ，对角线 AC 、BD 相交 O ．E 、F 分别是 AD 与 BC 的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘 米？( π 取 3) 【巩固】(华杯赛决赛试题)如图， ABCD 是矩形， 6cmBC  ， 10cmAB  ，对角线 AC 、 BD 相交 O ．图中 的阴影部分以 CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？ 【例 30】如图，从正方形 ABCD 上截去长方形 DEFG，其中 AB=1 厘米，DE= 1 2 厘米，DG= 1 3 厘米。 将 ABCGFE 以 GC 边为轴旋转一周，所得几何体的表面积是________平方厘米，体积是 ________立方厘米。(结果用π表示)